特性Riccati微分方程解的探討

章慧芬

（揭陽職業技術學院，廣東 揭陽 522051）

0 引言

1724年，意大利數學家里卡蒂給出了Riccati微分方程的特殊形式。1763 年法國數學家達朗貝爾給出其一般形式

并把它稱為Riccati微分方程，其中P(x)、Q(x)、R(x) 為自變量x的連續函數，且P(x)R(x)≠0（若P(x)=0，方程（1）為可解的一階線性微分方程；若R(x)=0，方程（1）為可解的伯努利微分方程）。Riccati 微分方程是一種描述流體運動的方程，可以用來研究氣象、海洋、地球物理學等領域中的流體運動。例如，科學家們可以利用Riccati微分方程來研究海洋中的洋流運動，從而預測海洋中的氣候變化和海洋生態系統的變化。對于這種被廣泛應用于解決實際問題與理論問題的Riccati微分方程，早期數學家們都試圖用初等積分法去求解，然歷經一百多年都未求得其解，甚至如y′=y2+x2都長期不能求解。直至法國數學家劉維爾（Liouville）在1841年證明了其一般沒有初等解法，并證明了如能找到方程（1）的一個特解(x)，則可做變量變換y=u+使方程轉化為可求解的伯努利微分方程［1］，然而求特解技巧性高，不是易事，該方法不能從根本上解決方程（1）的求解問題。劉維爾的工作促使學者們尋求新的方法來研究方程的解問題。近年來眾多學者研究特殊形式的方程（1），研究其解存在的充要條件及如何用初等函數或超越函數來表示它解的公式［2-8］。例如2015 年，張瑋瑋給出了特殊類型的方程（1）的通解的公式［2］；何雨蔚根據特解變換給出了方程（1）的幾種特殊形式的解［3］。2018年，王明建等給出了方程（1）通解的幾個結論［4］。2019 年，倪華等研究了幾類方程（1），利用變量變換法化為伯努利方程或分離變量方程進而求得其解［5］；2020年，戴偉等通過變量變換給出了含有指數函數的方程（1）的通解存在的充要條件，對特殊的方程（1）的求解給出了一些思路［6］；納文等在解決最優控制問題上給出了求解方程（1）的迭代公式［7］。2022 年，趙臨龍提出了“遞推解法”，運用不變量關系給出特型方程（1）的通解表達式［8］。2023 年，章慧芬運用變量變換法給出一類特型方程（1）的通解表達式［9］。

特殊形式的Riccati 微分方程求解問題是一個開放性的課題，借鑒前人的研究思路，本文從系數函數P(x)，Q(x)，R(x) 形式入手，研究當系數函數P(x)，Q(x)，R(x)中的兩個函數可以由第三個函數表示，或者3個系數函數能滿足某些等式，則可通過不同的變量變換法，將方程（1）變為簡單形式的變量分離方程，從而給出了方程（1）的通解表達式。

1 主要結果與證明

為了將方程（1）轉化為變量分離方程，現設z=u(x)y，u(x)是x的待定函數，微分有dz=u′(x)ydx+u(x)dy，將其代入方程（1）整理得（P(x)y2+Q(x)y+R(x)），即

定理1對于方程（1），若其系數函數P(x)，Q(x)能被R(x)表示為，則方程（1）可通過變量變換化為變量分離方程，從而求得其解為

將定理已知條件代入上式得

從而方程（1）的解為

定理2對于方程（1），若其系數函數Q(x)，R(x)能被P(x)表示為則方程（1）可通過變量變換化為變量分離方程，從而求得其解為

證明：由定理1同理可證。

定理3對于方程（1），若其系數函數P(x),Q(x)，R(x)滿足關系式R(x)=P(x)e2∫Q(x)dx，則方程（1）可通過變量變換z=e-∫Q(x)dx·y化為變量分離方程，從而求得其解為

將定理已知條件代入上式得

方程（4）為變量分離方程，變量分離解得arctanz=

從而方程（1）的解為

將定理已知條件代入上式得

方程（5）為變量分離方程，當z+1≠0 變量分離解得，即

2 應用舉例

解：本方程為Riccati 微分方程，方程的系數為P(x)=sinx,Q(x)=1,R(x)=e2xsinx，從而有P(x)e2∫Q(x)dx=e2xsinx=R(x)，由此符合定理3 的條件，根據定理3的解公式可得方程的解

y=extan(ex(sinx-cosx)+c)，c是積分常數。

解：本方程為Riccati 微分方程，方程的系數為P(x)=1,Q(x)=2ex+1,R(x)=e2x，從而有，由此符合定理4 的條件，根據定理4的解公式可得方程的解及y=-ex，c是積分常數。

3 結論

本文從方程的系數函數P(x)，Q(x)，R(x)形式入手，給出了P(x)、Q(x)能被R(x)表示的具體形式，Q(x)、R(x) 能被P(x) 表示的具體形式及P(x)、Q(x)、R(x)滿足某些特殊關系式時，方程（1）的求解過程及通解公式，并給出了相應的例題驗證結論的有效性和正確性。總之，系數函數P(x)、Q(x)、R(x)是某些特殊函數或它們滿足某些特殊關系時，方程可通過變量變換法轉化為可解的方程類型，如何找出盡可能多的特殊函數和關系是當下研究Riccati 微分方程的方向，對特型Riccati 微分方程的求解問題還有待于進一步解決。