斜波壓縮下錫的相變和層裂行為1)

種濤 莫建軍 傅華 李濤 羅斌強

(中國工程物理研究院流體物理研究所,四川綿陽 621900)

引言

武器、航空航天飛行器、汽車等工程結構受到內爆加載、高速撞擊等動態載荷時會發生相變、層裂等現象,因此相變、層裂損傷及兩者的相互關聯研究是國防工業、基礎科研的熱點問題.錫是低熔點低強度[1]金屬,具有豐富的相結構,常被做為相變和損傷研究的典型材料.相圖中錫有4 個固體相和1 個液態相,針對其復雜的相結構人們已開展了實驗[2-6]和理論[7-12]研究.靜高壓實驗觀測到錫的β-γ相變壓力約9.4 GPa[13-14],且伴隨約?2.6%的體積間斷[3,15-17],說明β-γ 相變為一級相變.錫在約40 GPa[4-5]時開始γ-bcc 相變,此相變會造成約?0.76%[1]體積間斷.沖擊加載實驗中,錫的卸載熔化和沖擊熔化壓力分別為23 GPa 和49 GPa[14].Davis 等[18]利用Z 裝置完成了錫的斜波壓縮實驗,速度波剖面出現了β-γ 相變對應的特征波形,Davis 還基于Hayes 多相模型[19]開展了數值計算工作,計算結果不能很好描述相變過程.種濤等[20-21]開展了錫的斜波加載實驗,也獲取了含有β-γ 相變信息實驗結果,與Davis 結果基本吻合.文獻[13,22-23]先后開展了錫的多相Gruneisen 模型研究,Khishchenko[24]構建了錫的多相自由能模型,Zhang 等[25]建立了錫的β 和γ 兩相的完全物態方程.利用考慮了包氏效應的多相本構模型,Song 等[26]對錫的沖擊實驗開展了數值模擬研究,計算結果可以很好地描述實驗加載和卸載過程.

目前學者們利用靜高壓和沖擊加載技術開展錫的相變行為實驗研究,利用沖擊加載技術開展錫的層裂損傷研究,斜波加載實驗技術在材料相變動力學研究方面具有優勢[21,27],但是斜波壓縮下錫在卸載段是否發生層裂現象,若發生與沖擊加載下層裂是否有所不同這一物理問題并不清楚.本工作采用斜波加載實驗技術,同時開展錫相變、層裂的實驗和數值模擬研究.結合由錫的多相Helmholtz 自由能計算的多相狀態方程、Hayes 相變動力學方程和損傷度理論,對斜波壓縮實驗過程進行一維流體動力學數值模擬.

1 斜波壓縮實驗設計

CQ-4 是緊湊型磁驅動加載裝置,可輸出上升沿400～ 600 ns、峰值約4.0 MA 的光滑脈沖電流[28].實驗負載區結構見圖1 所示,加載電流通過由兩個極板組成的U 型回路,在兩電極板之間的縫隙產生感應強電磁場,電磁場再與加載電流相互作用產生垂直于載流面、向外的洛倫茲力,即磁壓力,磁壓力通過加載電極板傳入樣品.為了保證錫樣品在實驗過程中一維應變且其內部不形成沖擊波,需對實驗負載區結構和具體尺寸進行設計,具體方法見文獻[21,29].本文實驗的負載區結構布局及磁驅動加載原理示意圖如圖1 所示.實驗有四個測速位置,其中三個位置測量不同厚度錫的后表面速度,一個測量極板Al/LiF 窗口界面速度.實驗主要條件見表1.

圖1 磁驅動加載原理及樣品布局Fig.1 Schematic diagram of magnetically driven ramp wave loading and layout of the samples

表1 實驗條件Table 1 Experimental condition

2 實驗結果與分析

圖2 為實驗獲取的三個錫樣品和鋁極板后表面速度波剖面數據.其中圖2(a)為加載電極鋁/LiF 窗口界面速度,與實驗加載電流波形相似、都近似正弦波,這是由裝置放電參數決定的[28].由圖2(a)得,速度5%到95%上升沿約600 ns,從1.16 μs 開始出現了較強的卸載、速度急劇下降,這是由于內表面卸載稀疏波到達Al/LiF 界面造成的,速度峰值到卸載時間T01≈ 0.27 μs.

圖2 實驗速度曲線Fig.2 Experimental velocity curve

圖2(b)為不同厚度錫樣品后表面速度波形,三個波形大體相同,只是進行了時間上的平移,隨著進入錫樣品中應力波壓力的提升,速度波形平滑上升,加載段先后出現了彈塑性轉變和相變對應的特征波形,卸載后又出現了由層裂損傷造成的振蕩特征波形.圖中彈塑性轉變、相變和層裂三個物理現象對應的特征值具體見表2.三種厚度錫樣品彈塑性轉變對應的特征速度基本一致、約40 m/s,計算得到屈服強度約0.194 GPa,與沖擊實驗結果基本吻合[30].隨著錫樣品厚度的增加,相變對應的特征速度從670.3 m/s 減小到639.0 m/s,相變起始壓力從7.54 GPa 減小到7.14 GPa,這是由于相變波在薄的樣品中還處于非穩定態,變化趨勢與沖擊實驗結果吻合.在卸載區,三個厚度樣品第一個振蕩周期(T)大致相等約0.29 μs,可得層裂片厚度δ≈C0T/2=2.59 × 0.29/2=0.38 mm.由圖可提取三個錫樣品峰值速度和回跳速度,兩者之差為回拉速度(Δu),由層裂強度計算公式σs=ρ0C0Δu/2 可得其層裂強度約1.1 GPa,相同加載壓力峰值下,沖擊實驗中錫的層裂強度約0.65 GPa[31].沖擊加載下錫的層裂強度低,首先是由于沖擊應變率高、相同加載壓力下引起的沖擊溫升大于斜波壓縮過程,本文斜波壓縮實驗15 GPa峰值壓力下錫的溫升約50 °C,而15 GPa 沖擊加載下錫的溫升約200 °C.其次,沖擊實驗中的錫后表面會反射強卸載沖擊波,強卸載沖擊波也會造成巨大的溫升,實驗發現20 GPa 附近卸載沖擊波會造成錫卸載熔化,導致其層裂強度快速減小.

表2 速度波剖面上的特征值Table 2 The typical characteristic physical variables in the wave profiles

3 數值模擬與分析

為了再現本實驗中錫的彈塑性轉變、相變和層裂這三個物理過程,數值模擬需要同時考慮彈塑性模型、相變速率方程、多相狀態方程和損傷模型.本文采用率相關的非平衡相變動力學方程、基于Helmholtz 自由能的多相狀態方程和基于材料微觀損傷的材料損傷演化方程來描述相變和層裂兩個物理過程.由于實驗過程為一維應變,數值模擬采用自編的一維流體動力學程序完成.

錫的本構關系采用Steinberg 模型[30],由于錫強度較低,對相變和層裂兩個物理過程影響較小,因此本文忽略錫兩相強度的差異,模型及其參數兩相相同,初始屈服強度由本文實驗結果確定.由實驗結果得,錫的相變是在一定時間內完成,因此本文采用Hayes 非平衡相變速率方程[19,21],相變弛豫時間與Hayes 多相狀態方程數值計算時的值[20]相等.

3.1 錫基于Helmholtz 自由能的多相狀態方程

在一定比容V和溫度T下,錫的Helmholtz 自由能[23]具體表達式為

式中,三項依次為固體的結合能、晶格的振動自由能和電子的自由能.

第一項固體結合能只是比容的函數,其具體形式為

式中,VR為參考比容,BR和為分別為絕對零度時固體在參考比容處的體積模量及體積模量對壓強的一階導數,PR為參考比容時的壓強,Φ0(VR)為參考比容時的結合能.

第二項晶格的振動自由能在準諧振子近似下,具體形式為

式中,N為固體單位質量的原子數,kB為波爾茲曼常數,Θ (V)為德拜溫度,D(z)為德拜積分.

第三項電子的自由能的具體表達式為

確定錫的β 和γ 兩相Helmholtz 自由能表達式具體形式后,由熱力學關系可計算錫在給定熱力學狀態下各相的壓力和熵,其表達式為

式中,i=β 或γ,Pi為各相的壓力,Si為各相的熵.

聯立式(1)～ 式(5),可獲得錫基于Helmholtz 自由能的多相狀態方程,具體表達式為

錫的β 和γ 兩相Helmholtz 自由能參數具體見表3.表中Φ0(VR)需要說明,數值模擬中需要的是兩相參數的差值,并不需要每一相的準確值.

表3 錫的Helmholtz 自由能參數[20-21,23]Table 3 The parameters of Helmholtz free energy of Tin[20-21,23]

3.2 損傷演化方程

為了聯系微觀損傷理論和宏觀物理模型,建立了損傷度(D)這一內變量,其定義為含空穴介質中空穴體積(Vold)與總體積(Vol)之比,其定義式為

式中,Vols為實體物質體積.

本文損傷演化方程采用袁福平[32]建立的適用于延性金屬材料的損傷模型,該模型同時考慮了空穴成核和生長兩種因素對損傷演化的貢獻,具體形式為

式中,N和a分別為空穴成核和空穴長大損傷因子,σs為微損傷處拉應力,σ0為空穴成核和長大的閾值應力,λ為損傷率對相對閾值應力的依賴指數.

假設材料發生宏觀層裂的極限損傷值為Dc,層裂條件可寫為

當損傷達到極限損傷的時候材料發生層裂.結合式(8)和式(9)可開展材料中微損傷的演化和層裂發生的描述,錫的損傷演化模型具體參數見表4.其中 σ0與實驗結果計算的層裂強度相當,Dc由實驗結果確定.

表4 錫的Steinberg 模型[20,30]和損傷演化方程參數Table 4 Steinberg model[20,30] and damage evolution equation parameters of Tin

損傷度大于零后,需要對壓力和強度進行修正,具體形式為

式中,P和Y分別是不考慮損傷時計算的壓力和屈服強度,PD和YD分別是損傷度修正后的壓力和屈服強度.

3.3 數值計算結果

數值模擬以鋁極板內表面壓力歷史為邊界條件,結合Al/LiF 界面速度數據和反積分數據處理方法可獲取壓力歷史,見圖3(a),加載壓力峰值約15 GPa,波形上升沿約550 ns.由壓力邊界計算的Al/LiF 界面速度波形與實驗結果重合,驗證了該方法的正確性.圖3(b)為計算和實驗速度波形,三個樣品的計算和實驗結果整體吻合,計算結果可以很好地再現斜波壓縮下錫樣品依次經歷的彈塑性轉變、相變和層裂三個物理過程,其中計算波形中的彈塑性轉變對應的特征速度、相變起始對應的特征速度、速度峰值、層裂對應的回拉速度及層裂片中應力波振蕩周期等關鍵數據都與實驗結果吻合,驗證了物理模型及其參數的正確性.需說明,雖然實驗過程包含了三個物理過程,但三個物理過程對應的物理模型及其參數并非強關聯.錫的強度有一定的硬化效應,但其最大值小于0.25 GPa,對7.5 GPa 附近的相變過程和15 GPa 峰值壓力后卸載段的層裂過程影響基本可以忽略.通過數值計算人為控制相變發生,分析相變對層裂強度的影響,發現相變對錫的層裂強度影響很小,結合沖擊實驗結果說明錫層裂強度的主控因素是溫度.

圖3 計算和實驗數據Fig.3 The calculated and experimental data

圖4(a)為1.51 mm 厚錫樣品加載面附近中心點的兩相質量分數演化圖,相變速率模型中的相變弛豫時間為6 ns,計算結果得在相變前全部為初始β 相,從相變起始壓力7.5 GPa 開始,逐漸出現新相γ 相,γ 相質量分數隨著樣品中壓力的提高逐漸增加,說明錫的β-γ 相變是率相關的非平衡相變.圖4(b)為以本文物理模型計算的高壓聲速?壓力曲線與其他計算或實驗結果,本文數據依次出現了彈塑性轉變、相變對應的聲速變化,其中起始階段聲速從3.3 km/s 快速降低到2.6 km/s 對應的彈塑性轉變,隨后應力波以體波聲速傳播,在約7.5 GPa 處聲速減小是由β-γ 相變造成的體積間斷引起的,相變后應力波恢復到體波聲速傳播.本文計算的高壓聲速數據和其他文獻數據整體趨勢相同,都出現了相變引起的聲速波動,本文計算聲速和文獻[22]計算的體波聲速數據相近,但是相變完成后兩者有一定差異,這是由于物理模型及其參數不同.

圖4 數值計算結果Fig.4 The calculated data

由于斜波加載實驗中對樣品進行連續的壓縮,單發實驗可獲取樣品從初始狀態到終態的準等熵線.圖5(a)為在壓力?比容熱力學平面本文計算的準等熵線與等溫線、沖擊Hugoniot 實驗數據對比,相變前、7.5 GPa 以下低壓段等溫線、沖擊絕熱數據和準等熵線基本重合,與理論預估吻合[38].相變開始后,本文計算的準等熵線與等溫線數據基本重合、都位于絕熱沖擊數據下方,這是由于斜波壓縮過程無強的間斷面出現、樣品中溫升低.圖5(b)為在溫度?壓力熱學平面相圖中本文計算的準等熵線路徑和沖擊絕熱線路徑,對比得斜波壓縮過程中樣品中的溫升明顯小于相同壓力下的沖擊加載過程,且兩種情況下的溫度差異隨著壓力的增加而變大.溫度的差異是造成沖擊和斜波加載下錫層裂強度巨大差異的主要原因.

圖5 不同熱力學平面錫的等熵線Fig.5 Quasi isentropic lines of tin in different thermodynamic planes

4 總結

利用電磁加載CQ-4 裝置,開展了錫的動態實驗研究,首次在斜波壓縮實驗中獲取包含彈塑性轉變、相變和層裂三個物理行為信息的速度波剖面數據.實驗結果顯示,錫的屈服強度約0.194 GPa,相變起始壓力隨著錫厚度的增加從7.54 GPa 減小到7.14 GPa.在卸載段出現了明顯的層裂損傷,層裂強度約1.1 GPa,與相同加載壓力下沖擊實驗結果有巨大差異.結合由錫的多相Helmholtz 自由能計算的多相狀態方程、Hayes 相變動力學方程和損失度理論,對金屬錫的斜波壓縮過程進行了一維流體動力學數值模擬,計算結果可以很好描述錫的彈塑性轉變、相變和層裂三個物理過程.

致謝

感謝吳剛、胥超、稅榮杰對 CQ4 實驗裝置的運行和鄧順益在實驗數據測試中的幫助！