彎曲波寬頻分波超柵拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)和表征1)

李林 張雪彬 劉濤 章俊

(重慶大學(xué)航空航天學(xué)院,重慶 400044)

引言

自由地控制波的傳播一直是波動(dòng)調(diào)控領(lǐng)域中的熱門(mén)話題,如利用透鏡[1]、光纖[2]、消聲器[3]等對(duì)光波/聲波的調(diào)控.作為一種亞波長(zhǎng)準(zhǔn)二維超材料,超表面[4]的出現(xiàn)使得波的各種反常、新穎調(diào)控變得可能,最近十幾年得到了眾多科研工作者的關(guān)注.超表面研究始于電磁波領(lǐng)域[5],隨后被引入到聲波[6-7]和固體彈性波領(lǐng)域[8-9].作為一種經(jīng)典的彈性波,彎曲波在工程中十分常見(jiàn),是梁板類(lèi)工程結(jié)構(gòu)在橫向動(dòng)態(tài)載荷激勵(lì)下產(chǎn)生的一種波動(dòng)形式.利用超表面/超材料對(duì)彎曲波進(jìn)行調(diào)控在梁板類(lèi)結(jié)構(gòu)隔振減振[10-11]、基于梁板類(lèi)結(jié)構(gòu)開(kāi)發(fā)振動(dòng)能量收集裝置[12-15]和各種傳感器以及結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用.截至目前,科研工作者利用超表面/超材料已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了彎曲波的聚焦[16-21]、反常折射和反射[22-25]、隱身[26-35]、完美吸收[36]、分波[37-38]、非對(duì)稱(chēng)傳輸[39-40]和拓?fù)浔Ｗo(hù)[41-42]等調(diào)控.

通過(guò)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)或材料某種參數(shù)可改變的微結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)成超表面的子功能單元是目前常用的手段,利用這一參數(shù)的改變來(lái)調(diào)控彈性波在子功能單元中的等效相速度,從而實(shí)現(xiàn)超表面中每個(gè)子功能單元的透射/反射波相位滿足一定的空間分布,達(dá)到波前調(diào)控目的.截止目前,基于上述思想設(shè)計(jì)的彎曲波超表面子功能單元主要有以下幾類(lèi): 組合梁型[23]、附著臺(tái)柱直梁型[24,43]、變厚度梁型[25]和鋸齒形聲子晶體梁型[21,44].組合梁型子功能單元由兩部分不同材料的直梁軸向拼接而成,通過(guò)改變這兩部分直梁的長(zhǎng)度比來(lái)調(diào)節(jié)彎曲波在其中的傳播速度.附著臺(tái)柱直梁型子功能單元由直梁上附著不同幾何尺寸的柱狀體構(gòu)成,附著柱狀體幾何尺寸的不同會(huì)改變彎曲波有效相速度.變厚度梁型子功能基于梁中彎曲波相速度與梁厚度相關(guān)這一事實(shí)而提出.鋸齒形聲子晶體梁型子功能單元為波紋型梁,通過(guò)改變波紋狀輪廓曲線的高度來(lái)調(diào)節(jié)梁的等效彎曲剛度,從而調(diào)節(jié)彎曲波有效相速度.有關(guān)超表面的更多細(xì)節(jié),讀者可以參考北京交通大學(xué)陳阿麗教授課題組最近發(fā)表的綜述文章[4].

隨著對(duì)超表面研究的深入,研究人員發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射角大于某一臨界角時(shí),用來(lái)預(yù)測(cè)折射型超表面行為的廣義斯涅耳定理(GSL)不再適用.因此,表達(dá)式如下的高階衍射理論[45-47]被提了出來(lái),即

其中kt,r和ki分別為透射/反射波和入射波波數(shù),G=2π/Γ,Γ為超表面中單個(gè)超胞在其排布方向的寬度.一般情況下,單個(gè)超胞由多個(gè)子功能單元(subunit)組成,且這些子功能單元的透射/反射波相位覆蓋[0,2π]區(qū)間且滿足一定的空間分布規(guī)律.n表示衍射波階次,為第n階衍射波角度.在本文中入射波和衍射波具有相同的波數(shù),將ki=2π/λi代入式(1)可以得到如下關(guān)系

其中 η=λi/Γ,λi為入射波波長(zhǎng).當(dāng)n=1 時(shí),高階衍射定理即退化為GSL.與GSL 相比,高階衍射定理除了可以預(yù)測(cè)第1 階衍射波,還可以預(yù)測(cè)其他階次的衍射波,因此高階衍射定理可被用來(lái)設(shè)計(jì)分波超表面.基于高階衍射定理設(shè)計(jì)的超表面又稱(chēng)為超柵(metagratings),因其具有類(lèi)似光柵的周期結(jié)構(gòu).根據(jù)式(2)中 η值,基于高階衍射定理設(shè)計(jì)的超柵可以分為三類(lèi): η >2.0,1.0<η<2.0和η <1.0.由式(2) 可知,第一類(lèi)超柵中只存在0 階衍射模式,而且與入射角無(wú)關(guān),因此這一類(lèi)超柵可以實(shí)現(xiàn)全角度反射[8,10].第二類(lèi)超柵中存在0 階和±1 階模式,但由于0 階在子功能單元中傳播次數(shù)最多[36],很容易被阻尼耗散掉,因此0 階可以忽略,+1 階對(duì)應(yīng)透射波模式,?1 階模式為透射波還是反射波取決于超胞中子功能單元的數(shù)目,如果子功能單元的數(shù)目為奇數(shù),為透射波,反之為反射波.因此,這類(lèi)超柵可用來(lái)實(shí)現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)傳輸調(diào)控[48].第三類(lèi)超柵中的衍射模式比前兩類(lèi)超柵都多,因此這類(lèi)超柵更容易實(shí)現(xiàn)分波功能[38,49].

不論是超表面還是超柵,目前的設(shè)計(jì)大多基于理論直覺(jué)、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和兩者的結(jié)合,這樣設(shè)計(jì)出的超表面和超柵調(diào)控性能往往不是最優(yōu).此外,此類(lèi)方法往往只針對(duì)單一頻率進(jìn)行設(shè)計(jì),導(dǎo)致設(shè)計(jì)出來(lái)的超表面和超柵工作頻率范圍非常窄,嚴(yán)重限制它們?cè)趯?shí)際工程中的應(yīng)用.為了解決這個(gè)問(wèn)題,目前提出了兩種辦法: 一種是引入主動(dòng)控制技術(shù)[50];另一種為實(shí)施拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).主動(dòng)調(diào)控技術(shù)通常需要引入額外的結(jié)構(gòu)或裝置,這將增大超表面的復(fù)雜性.作為一種被動(dòng)寬頻調(diào)控技術(shù),拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)[51]將數(shù)學(xué)優(yōu)化算法引入到超表面的設(shè)計(jì)中,通過(guò)對(duì)子功能單元微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)來(lái)滿足透射/反射波相位和幅值要求.例如,Rong 等[52-53]建立了基于多目標(biāo)遺傳算法NSGA-II 的彈性波超表面拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)框架,通過(guò)在目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置多個(gè)目標(biāo)相移,優(yōu)化得到了不同頻率下具有不同相位的子功能單元,提出了一種在不同頻率有不同調(diào)控功能的彈性波超表面.Li等[38]基于遺傳算法設(shè)計(jì)了一類(lèi)超胞由兩個(gè)子功能單元組成的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單超表面,實(shí)現(xiàn)了單一頻率下彎曲波的分波和聚焦調(diào)控.目前,基于拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)超表面得到了越來(lái)越多的關(guān)注,但寬頻超表面的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)工作還較少.拓?fù)鋬?yōu)化所得到的結(jié)構(gòu)形狀一般比較復(fù)雜,加工是個(gè)難題,慶幸的是隨著3D打印技術(shù)的發(fā)展,這類(lèi)結(jié)構(gòu)的加工難度在逐漸降低.因此,結(jié)合拓?fù)鋬?yōu)化和3D 打印技術(shù)開(kāi)展彈性波寬頻超表面研究變得可行.

本文基于拓?fù)鋬?yōu)化方法提出一種彎曲波寬頻分波超柵設(shè)計(jì)方法.具體地,利用多目標(biāo)算法NSGAII 搭建一套二維平面應(yīng)力穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題拓?fù)鋬?yōu)化框架,然后利用這套優(yōu)化平臺(tái)優(yōu)化超柵子功能單元,最后對(duì)優(yōu)化得到的超柵進(jìn)行數(shù)值表征、利用3D 打印技術(shù)制備試件開(kāi)展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,并與其他設(shè)計(jì)方法進(jìn)行比較,進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的設(shè)計(jì)方法的優(yōu)勢(shì).

1 基于高階衍射定理的彎曲波寬頻分波超柵拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)和表征

在前面的引言中已經(jīng)提到,當(dāng) η ≥2 時(shí),n≡0,此時(shí)衍射波場(chǎng)中只有0 階通道存在.隨著η的減小,衍射階次會(huì)增多.圖1 所示為根據(jù)式(2)計(jì)算得到的兩個(gè)不同 η值情況下衍射角與入射角之間的關(guān)系.從圖中可知,當(dāng) η <1時(shí),存在多個(gè)衍射階次,且不同階次的衍射波有不同的傳播方向.因此,可以設(shè)計(jì)η值小于1.0 的超柵來(lái)實(shí)現(xiàn)分波功能.本文考慮設(shè)計(jì)一種彎曲波寬頻分波超柵.

圖1 不同衍射階次的衍射角與入射角的關(guān)系Fig.1 Relationship between diffraction angles of different diffraction orders and incident angles

為了制備簡(jiǎn)單起見(jiàn),本文設(shè)計(jì)的分波超柵每個(gè)超胞由2 個(gè)子功能單元組成,且第一個(gè)子功能單元選為與主板等厚度的直梁,其尺寸為長(zhǎng)度L=50 mm,沿y方向的寬度W=34.36 mm,厚度h=2 mm.第二個(gè)子功能單元由優(yōu)化得到,優(yōu)化目標(biāo)為在設(shè)定頻率范圍內(nèi)由這兩個(gè)子功能單元所組成的分波超柵功能保持不變.本文設(shè)定頻率范圍為: 中心頻率為 ωc=2.4 kHz,上下限在中心頻率基礎(chǔ)上各偏移10%,即[2160,2640] Hz.圖2 所示為第二個(gè)子功能單元的二維平面應(yīng)力優(yōu)化模型,其中左右兩邊灰色區(qū)域代表與超柵相連接的主板,中間黃色區(qū)域?yàn)榈诙€(gè)子功能單元的優(yōu)化區(qū)域.此優(yōu)化區(qū)域由5 個(gè)胞元周期排列構(gòu)成,優(yōu)化區(qū)域的總長(zhǎng)度為L(zhǎng),總高度為H.考慮到拓?fù)鋬?yōu)化可能得到的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性,灰色區(qū)域和黃色區(qū)域采用同一種材料.本文具體采用的是3D 打印材料VeroPureWhite,這樣即使優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜,也可通過(guò)現(xiàn)有的3D 打印技術(shù)進(jìn)行制備.VeroPureWhite 材料的實(shí)測(cè)楊氏彈性模量E=3.2394 GPa,密度ρ=1185 kg/m3,泊松比 ν=0.4185[21].在有限元模擬中,沿著z方向的單位位移加載在圖中的黑色虛線上.為了減少反射波,模型的左右兩端設(shè)定為完美匹配層(PML).本文考慮了三種不同的優(yōu)化區(qū)域總高度H,目的是想研究不同H情況下能否得到工作機(jī)制不同的胞元結(jié)構(gòu).子功能單元確定之后,按照?qǐng)D3 排列即可形成超柵整體結(jié)構(gòu).超胞中相鄰子功能單元間留有間隙,本文中間隙設(shè)為1 mm.

圖2 超柵子功能單元二維拓?fù)鋬?yōu)化模型示意圖Fig.2 Schematic of topology optimization 2D models for the subunits in a supercell

圖3 薄板彎曲波超柵整體結(jié)構(gòu)俯視圖,本文中子功能單元數(shù)為2Fig.3 Top view of metagratings for flexural waves in thin plates.In this paper,the number of subunits is 2

1.1 定義適應(yīng)度函數(shù)

優(yōu)化胞元區(qū)域被離散成一定密度的像素塊集合,每個(gè)像素塊的質(zhì)量密度都是一個(gè)獨(dú)立的設(shè)計(jì)變量,并通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)最小化來(lái)確定像素塊的密度分布.在本文中,適應(yīng)度函數(shù)定義如下

其中,S為頻率區(qū)間[2160,2640] Hz 內(nèi)的采樣頻率點(diǎn)數(shù).考慮到數(shù)值計(jì)算成本,本文中S=3,對(duì)應(yīng)的頻率分別為頻率區(qū)間的下限、中心頻率和頻率區(qū)間的上限.其中和是第j個(gè)采樣頻率下的目標(biāo)相移和目標(biāo)透射率;?j和Tj是優(yōu)化過(guò)程中第j個(gè)采樣頻率下的可行相移和可行透射率.可行相移 ?j=?s·k0,?s為經(jīng)過(guò)第一和第二兩個(gè)子功能單元的透射波相應(yīng)波峰或波谷的位置差,Tj等于透射波幅值之比.由于本文研究的是透射分波超柵,所以目標(biāo)透射率=1(j=1,2,···,S).不同頻率下,目標(biāo)相移是不一樣的,具體由以下公式確定

式(3)中的vios為罰函數(shù).在本文中,它由兩部分組成.第一部分為

其中nd,Ad分別為非連通區(qū)域的數(shù)量和非承載區(qū)域的像素?cái)?shù)量.f1,f2為相應(yīng)的罰參數(shù).在本文中,f1=0.5,f2=0.1.罰參數(shù)滿足f1>f2以便有效地促進(jìn)結(jié)構(gòu)的連通性.這一部分罰函數(shù)的作用是對(duì)不可行的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行懲罰,比如斷開(kāi)的拓?fù)湫螤睢⒉荒芴峁┏休d作用的像素[54-55].第二部分為

其中ft=0.1 是罰參數(shù),nt為薄弱連接區(qū)域的個(gè)數(shù).在本文中,通過(guò)判斷沿x和y方向單列連續(xù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度是否小于預(yù)設(shè)的最小加工尺寸來(lái)確定薄弱連接.這一部分的作用是為了提高拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的可制造性和可靠性.除了這些罰函數(shù)外,在計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)之前,還應(yīng)對(duì)拓?fù)湫螤钪械你q接情況進(jìn)行處理以提高優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)的承載能力和可加工性.

本文采用了“粗?細(xì)”策略的遺傳算法[56],在第一階段,優(yōu)化區(qū)域x方向被劃分為20 個(gè)網(wǎng)格,在第二階段則被劃分為 40 個(gè)網(wǎng)格.y方向的網(wǎng)格密度與x方向始終保持一致.在這兩個(gè)階段,染色體種群的個(gè)體數(shù)均為Np=100,染色體交叉概率為Pc=0.9,變異概率為Pm=0.02,總的迭代次數(shù)設(shè)定為1000 次.

具體的拓?fù)鋬?yōu)化流程與已有文獻(xiàn)報(bào)道中的流程基本一致[57],但是本文在子代的選擇方面做了一些改變,并沒(méi)有完全采用精英化策略[54],而是在輪盤(pán)賭和精英化策略之間采用概率選擇.具體地,在本文中,輪盤(pán)賭和精英化選擇的概率各為50%.這樣處理的好處是可以避免遺傳算法過(guò)早地收斂.

1.2 胞元優(yōu)化結(jié)果

圖4 所示為在中心頻率2.4 kHz 下,優(yōu)化區(qū)域高度為H=3h情況下的胞元拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)進(jìn)化歷程,從此圖可以看到,優(yōu)化從隨機(jī)生成的連接性較差的結(jié)構(gòu)開(kāi)始,經(jīng)過(guò)一百代左右優(yōu)化之后,拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的連通性明顯改善.之后,遺傳算法搜索到有效的拓?fù)涮卣鞑⒙莼Y(jié)構(gòu),結(jié)構(gòu)連通性在整個(gè)演化過(guò)程中逐漸提高.

圖4 優(yōu)化區(qū)域高度H=3h,在2.4 kHz 中心頻率激勵(lì)下的胞元拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的進(jìn)化歷程Fig.4 Evolutionary history of topological structure of a unit cell as the optimization region height H=3h and under excitation of a 2.4 kHz loading

圖5 所示為三種不同優(yōu)化區(qū)域高度下胞元的最終拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu).圖6 所示為以圖5 中三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為胞元分別形成的三種一維聲子晶體梁的能帶圖,其中最低的黑色擴(kuò)散曲線對(duì)應(yīng)彎曲波模式.擴(kuò)散曲線結(jié)果顯示這三種聲子晶體梁的工作機(jī)理相同,均為通過(guò)改變等效彎曲剛度從而實(shí)現(xiàn)有效相速度的改變.圖7 所示為由圖5 中三種優(yōu)化結(jié)構(gòu)分別組成的子功能單元在2.4 kHz 中心頻率激勵(lì)下的透射模擬結(jié)果.圖8 所示為由這三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所構(gòu)成的子功能單元在三個(gè)采樣點(diǎn)頻率下的透射率和相移與目標(biāo)值的比較.在中心頻率下,每個(gè)胞元準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)了所需的相移;在其他兩個(gè)頻率點(diǎn),實(shí)際相移與目標(biāo)相移存在小的偏差,這樣的結(jié)果符合預(yù)期;透射率均大于0.9,表明所設(shè)計(jì)的透射超柵將具有較高的透射率.總的來(lái)說(shuō),H=2h情況下優(yōu)化得到的胞元(見(jiàn)圖5(a))性能最優(yōu).

圖5 三種不同優(yōu)化區(qū)域高度下所得到的胞元最終拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.5 The optimized topological structures of unit cells under three different optimization region heights

圖6 以圖5 中三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為胞元分別形成的三種一維聲子晶體梁的能帶圖Fig.6 Band structures of the three 1D phononic crystals constituted by the three units presented in Fig.5

圖6 以圖5 中三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為胞元分別形成的三種一維聲子晶體梁的能帶圖(續(xù))Fig.6 Band structures of the three 1D phononic crystals constituted by the three units presented in Fig.5 (continued)

圖7 三種拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)分別組成的子功能單元在中心頻率激勵(lì)下透射波行為數(shù)值模擬表征結(jié)果Fig.7 Numerical characterization of wave transmission behavior through three subunits composed by each of the three optimized structures under the central frequency excitation

圖8 分別由三種拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)構(gòu)成的三種子功能單元在三個(gè)采樣點(diǎn)頻率下的(a)相移和(b)透射率Fig.8 (a) Phase shifts and (b) transmittances of subunits composed by the three optimized structures at three different frequencies

1.3 超柵整體結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬表征

基于圖5 中優(yōu)化得到的胞元,形成第二個(gè)子功能單元(見(jiàn)圖7),然后將超胞(第一和第二個(gè)子功能單元)沿y方向周期排列即可形成超柵(見(jiàn)圖3).考慮到數(shù)值模擬和實(shí)際加工成本以及加工技術(shù)限制,本文中的超柵由四個(gè)超胞組成,胞元沿y方向的寬度為34.36 mm.因此,中心頻率下超柵的 η=0.707.圖9 所示為由圖5 中三種胞元分別形成的三種超柵整體結(jié)構(gòu).為了后面表述方便,這三種超柵分別被稱(chēng)為超柵1、超柵2 和超柵3.為了驗(yàn)證這三種分波超柵的性能,建立如圖10 所示有限元數(shù)值模型,彎曲波由線源激發(fā),單位載荷沿z方向加載.圖11 展示了這三種分波超柵在三個(gè)采樣點(diǎn)頻率激勵(lì)下的響應(yīng)結(jié)果.從圖中可以清晰地看出,正入射的彎曲波在經(jīng)過(guò)超柵之后被分成了兩束,傳播角度與高階衍射理論預(yù)期角度(圖中標(biāo)注值)非常吻合,且在三個(gè)頻率下的角度基本一致,說(shuō)明超柵在本文關(guān)注的頻率范圍內(nèi)功能保持不變.

圖9 由圖5 中三種胞元分別形成的三種超柵整體結(jié)構(gòu)Fig.9 Three metagratings constituted by each of the three unit cells presented in Fig.5

圖10 超柵結(jié)構(gòu)有限元數(shù)值模擬模型Fig.10 Numerical simulation models of metagratings with the finite element method

圖11 三種超柵在三個(gè)采樣點(diǎn)頻率激勵(lì)下響應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果Fig.11 Numerical simulation results for the three metagratings under excitation of three different frequencies

1.4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文基于優(yōu)化設(shè)計(jì)所得到的寬頻超柵性能,本文利用3D 打印技術(shù)制備了兩種試件.一種是與圖9(b)所對(duì)應(yīng)的超柵整體結(jié)構(gòu),另外一種是基于優(yōu)化所得到的單個(gè)子功能單元,如圖12 所示.實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)如圖13 所示,主要設(shè)備包含一套激光掃描測(cè)振儀系統(tǒng)(Polytec PSV-600)、一個(gè)功率放大器、一個(gè)相位轉(zhuǎn)換裝置(自制)和一臺(tái)信號(hào)發(fā)生器(ATA-308,Agitek).為了產(chǎn)生彎曲波,在試件正反面相同位置各粘一排壓電片(無(wú)錫海鷹).由信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的電壓信號(hào)經(jīng)過(guò)功率放大器放大,然后經(jīng)過(guò)相位轉(zhuǎn)換裝置出來(lái)電壓相反的兩路信號(hào).隨后,這兩路信號(hào)分別輸入到正反面的壓電片上,在相反的兩個(gè)電壓作用下,上下表面的壓電片將產(chǎn)生反向的面內(nèi)變形,相當(dāng)于對(duì)試件施加一諧變彎矩,從而產(chǎn)生彎曲波.離面質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度由激光測(cè)振儀測(cè)量.為了減少邊界的反射波,試件的邊界被粘上一層阻尼材料(Blu-Tack).整個(gè)試件使用彈性繩懸掛在框架上.

圖12 實(shí)驗(yàn)試件Fig.12 Experiment specimens

圖12 實(shí)驗(yàn)試件(續(xù))Fig.12 Experiment specimens (continued)

圖13 本研究實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)Fig.13 Experimental setup in this study

圖14～ 圖16 所示為超柵整體結(jié)構(gòu)在三個(gè)采樣點(diǎn)頻率激勵(lì)下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.結(jié)果表明,在三個(gè)頻率下,入射波經(jīng)過(guò)超柵之后均被分成兩束,這兩束透射波相對(duì)入射波的折射角度為 ±45°,與理論值和前面的數(shù)值模擬結(jié)果均一致,表明本文基于拓?fù)鋬?yōu)化所設(shè)計(jì)的超柵確實(shí)在設(shè)定的寬頻范圍內(nèi)具有所設(shè)計(jì)的功能.

圖14 激勵(lì)頻率為2160 Hz 時(shí),測(cè)得的三個(gè)時(shí)刻的超柵離面速度場(chǎng)Fig.14 Snapshots of measured out-of-plane velocity fields under the excitation of 2160 Hz at three instants

圖15 激勵(lì)頻率為2400 Hz 時(shí),測(cè)得的三個(gè)時(shí)刻的超柵離面速度場(chǎng)Fig.15 Snapshots of measured out-of-plane velocity fields under the excitation of 2400 Hz at three instants

圖16 激勵(lì)頻率為2640 Hz 時(shí),測(cè)得的三個(gè)時(shí)刻的超柵離面速度場(chǎng)Fig.16 Snapshots of measured out-of-plane velocity fields under the excitation of 2640 Hz at three instants

除了上面的超柵整體結(jié)構(gòu),本文還測(cè)試了單個(gè)子功能單元的結(jié)果.圖17 所示為第一個(gè)子功能單元和由圖5(b)胞元所構(gòu)成的第二個(gè)子功能單元在三個(gè)不同頻率激勵(lì)下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.從圖中可以清楚地看到經(jīng)過(guò)它們之后的透射波相移與理論預(yù)期非常吻合,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文基于拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)寬頻超柵的可行性.

圖17 三個(gè)采樣點(diǎn)頻率激勵(lì)下,拓?fù)鋬?yōu)化梁與直梁實(shí)測(cè)相位比較Fig.17 Comparison of phases of transmitted waves between optimized beams and straight beams at three different frequencies

2 與其他方法設(shè)計(jì)的超柵的寬頻優(yōu)勢(shì)比較

為了進(jìn)一步展示本文拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)超柵的寬頻特性,把本文的方法與已有的兩種彎曲波超柵設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了對(duì)比.第一種方法為前面引言中提及的鋸齒形聲子晶體梁方法;另一種方法為變厚度梁方法[10,25].基于這兩種方法本文設(shè)計(jì)了相應(yīng)的超柵結(jié)構(gòu),分別稱(chēng)為鋸齒型超柵和直梁型超柵.然后對(duì)超柵整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值表征,并與本文的超柵進(jìn)行對(duì)比.兩種超柵的超胞均由兩個(gè)不同高度的子功能單元構(gòu)成,根據(jù)相位要求,兩直梁高度分別為2 mm 和6.4 mm,兩個(gè)鋸齒形聲子晶體梁的高度分別選為1h和3.9h,其他參數(shù)與本文的超柵一致.圖18 和圖19 分別展示了直梁型和鋸齒型分波超柵在[2160,2640] Hz 范圍內(nèi)的數(shù)值模擬結(jié)果.可以看出,直梁型分波超柵的性能較差,鋸齒型分波超柵在前兩個(gè)頻率激勵(lì)下的性能也不太理想,兩者均無(wú)法在本文所考慮的寬頻范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的分波功能.本節(jié)內(nèi)容表明本文提出的基于拓?fù)鋬?yōu)化的寬頻超柵設(shè)計(jì)方法非常有必要,為寬頻超柵設(shè)計(jì)提供了一種可行路徑.

圖18 直梁型分波超柵數(shù)值模擬結(jié)果Fig.18 Numerical simulation results of straight-beam-type wave-splitting metagratings

圖19 鋸齒型分波超柵數(shù)值模擬結(jié)果Fig.19 Numerical simulation results of zigzag-type wave-splitting metagratings

3 結(jié)論

本文提出了一種基于拓?fù)鋬?yōu)化的彎曲波寬頻超柵設(shè)計(jì)方法.利用遺傳優(yōu)化算法設(shè)計(jì)一系列滿足高階衍射理論的亞波長(zhǎng)胞元結(jié)構(gòu),這些胞元組成的超胞產(chǎn)生的相位能夠覆蓋[0,2π]范圍,并在目標(biāo)寬頻范圍內(nèi)具有高透射率.然后將這些超胞組合以形成具有特定相位梯度的超柵,并通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了超柵的分波功能和寬頻特性.此外,通過(guò)與直梁型分波超柵和鋸齒型分波超柵進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)本文的超柵寬頻性能明顯優(yōu)于這兩種超柵,顯示出本文提出的基于拓?fù)鋬?yōu)化的寬頻超柵設(shè)計(jì)方法的必要性和有效性.本文提出的方法同樣也適用于其他寬頻超柵的設(shè)計(jì).