不同類型水平彈簧組合剛度非線性吸振器的性能分析及穩定性研究1)

陳依林 杜敬濤,2) 崔海健 趙雨皓 劉 楊

* (哈爾濱工程大學動力與能源工程學院,哈爾濱 150001)

? (武漢第二船舶設計研究所,武漢 430064)

引言

動力吸振器DVA 從最早被提出到現在已有一個世紀,研究人員對其進行了系統全面的研究,目前DVA 已是一種趨于成熟的振動控制手段并得到了廣泛的工程應用.傳統的DVA 能夠有效抑制主系統的窄帶響應,但對于寬帶振動的抑制效果卻不盡人意.為了拓寬DVA 的有效吸振頻帶,多種改進措施被提出,例如: 離散分布式DVA[1-2]、主動式DVA[3-4]、可調頻機構[5]等.但通常這些措施會導致系統質量的增加或者系統結構的復雜化,而非線性吸振器因其附加質量小、減振頻帶寬和魯棒性好等優點受到專家學者們的廣泛關注.

非線性吸振器的理論研究經過多年的發展,已經獲得了豐富的成果.Arnold[6]研究非線性吸振器的穩態振動響應,發現其能夠在較寬的頻帶范圍內有效地吸收并通過阻尼耗散受控質量的振動能量.Vakakis[7]將能夠使振動能量從主體結構單向傳遞至耗能元件的吸振器命名為非線性能量阱(nonlinear energy sink,NES),并嘗試用于振動控制.Gendelman等[8]研究了非線性能量阱靶向能量傳遞的形成機理.Ding 等[9]綜述非線性能量阱的設計、分析、應用以及重要的振動控制特性,并強調結構附加非線性能量阱后可能導致的復雜動力學行為.張文勇等[10]采用具有二級串聯結構的等質量非線性能量匯裝置,分析結果表明引入串聯非線性能量匯結構較單級結構在沖擊激勵下能獲得更好的減振效果.李晨等[11]提出一種杠桿型并聯非線性能量阱的吸振系統,基于諧波平衡法和偽弧長延伸法得到了系統的幅頻響應曲線并分析了參數變化對其的影響.王國旭等[12]研究簡諧激勵下雙彈簧非線性能量阱的優化問題,采用差分進化算法和參數分析方法優化了NES 的參數.

值得注意的是,目前大量關于非線性吸振器的文獻所研究模型均為本質非線性吸振器(吸振器的線性剛度為零),即使存在線性剛度[7-9,13-18]其剛度值也比較小,起到吸振器與主系統之間弱耦合或者平衡重力等作用,對主系統實際振動響應的影響較弱.Chang 等[19]設計了一種準零剛度非線性吸振器,采用對稱水平彈簧和豎直支撐彈簧構造準零剛度機構,吸振器剛度包括殘余線性剛度與非線性剛度,取得了很好的超低頻振動抑制效果.目前關于較大線性剛度和非線性剛度結合的組合剛度吸振器的研究報道較少,尚未見到針對組合剛度吸振器進行安裝形式影響研究方面的工作.雖然與線性吸振器相比,本質非線性吸振器即非線性能量阱展現出了卓越的減振性能,但其也有一定的應用局限性.在共振頻率附近,線性吸振器相比NES 可以實現更優的減振效果[13].因此,本文在設計中將線性剛度與非線性剛度相結合,并且考慮實際工程中吸振器的不同安裝形式,希望保留線性吸振器在主共振頻率附近的優良減振效果的同時又拓寬其減振頻帶,從而擴大非線性吸振器的適用范圍.

在工程實際和振動實驗中,有許多非線性彈性元件的具體實現形式被提出,這些元件引入的非線性恢復力大多都是立方非線性的形式.例如,歐拉屈曲梁[16]、柔性索[20-21]、圓形鉗定薄板[22]等,其中非常典型的一種引入立方非線性剛度的元件是對稱水平彈簧[9,13,23].Hao 等[24]研究由一個豎直彈簧和對稱水平彈簧所構成準零剛度機構的復雜動力學行為,通過局部和全局分岔分析揭示了系統的復雜動態現象,并展示了參數空間中系統各種響應的拓撲結構.Gourdon 等[25]利用對稱水平彈簧構建了本質非線性吸振器,將其附加在建筑模型上進行了理論和實驗研究,得到線性吸振器會在系統共振頻率兩側產生新的共振峰,而本質非線性吸振器能夠在較寬的頻帶內吸收主系統的振動能量.Zhao 等[26]研究兩種水平彈簧構建的非線性吸振器對一般約束梁結構動力學特性的影響.對稱水平彈簧具有便于安裝、方便調節結構參數等優點,因此本文采用對稱水平彈簧在線性吸振器的基礎上進行線性剛度和非線性剛度的組合.

綜上,目前關于組合剛度非線性吸振器不同安裝形式影響研究方面的工作尚處于初步階段.本文在線性吸振器的基礎上,利用水平預壓縮彈簧引入立方非線性剛度構成組合剛度非線性吸振器.考慮水平彈簧的實際安裝形式,分別建立水平彈簧接地安裝、水平彈簧不接地安裝的非線性吸振器系統模型.利用諧波平衡法結合弧長延拓法預報非線性吸振器系統的穩態動力學響應,比較分析不同安裝類型非線性吸振器的吸振性能,重點分析吸振器參數對接地類型組合剛度非線性吸振器幅頻響應及穩定性的影響,最后研究不穩定區的復雜動力學響應.

1 組合剛度非線性吸振器

如圖1 所示,在線性吸振器兩端安裝對稱水平彈簧進行線性剛度與非線性剛度的組合.水平彈簧的兩個連接端帶有滑套,使得水平彈簧兩端能夠自由旋轉,從而防止彈簧彎曲產生扭矩.

圖1 線性吸振器兩端安裝水平彈簧Fig.1 Horizontal springs are installed at both ends of the linear vibration absorber

對稱水平彈簧的剛度為k3,原長度為l0,安裝后的預壓縮長度為l,豎直彈簧的剛度為k2,集中質量m的位移為x.系統沿x方向的彈性恢復力和非線性剛度的表達式為

在系統位移較小的情況下[13],彈性恢復力F可以近似等效為以下形式

其中,kL為吸振器的等效線性剛度,kN為吸振器的等效非線性剛度,其具體形式為

當等效線性剛度kL=0 時,吸振器只含立方非線性剛度項,此時吸振器為本質非線性吸振器.值得注意的是,本文研究吸振器的等效線性剛度kL大小由線性吸振理論確定,即

式中,k1和m1分別為主系統的剛度和質量.

根據式(1)～ 式(4)以及表1 中的參數將非線性恢復力和非線性剛度特性繪制如圖2 所示.由圖2(a) 可以看出非線性恢復力近似公式(2) 與精確公式(1a)吻合良好.由圖2(b)可以看出吸振器在靜平衡位置(x=0 mm)處有較大的線性剛度,其大小實際上等于吸振器等效線性剛度kL.kL的大小由線性吸振理論確定,目的是保留與線性吸振器類似的在受控結構共振頻率處的優良吸振效果.在此基礎上,非線性剛度特性以及吸振器的安裝形式被用來拓寬吸振頻帶.

圖2 非線性恢復力與剛度特性: (a)非線性恢復力曲線和(b)非線性剛度特性曲線Fig.2 Nonlinear restoring force and stiffness characteristics.(a) Nonlinear restoring force curve and (b) nonlinear stiffness characteristic curve

表1 系統模型參數表Table 1 Table of model system parameters

2 水平彈簧的兩種不同安裝形式

考慮實際工程中水平彈簧可能的安裝方式,構建兩種安裝形式不同的二自由度非線性系統.模型A 中吸振器的水平彈簧與固結在地面上的支撐裝置相連,如圖3(a)所示.模型B 中吸振器的水平彈簧與固結在受控質量m1上的支撐裝置相連,如圖3(b)所示.

圖3 水平彈簧的不同安裝形式Fig.3 Different installation forms of horizontal spring

受控質量的線性剛度和黏性阻尼分別為k1和c1.吸振器質量為m2,水平彈簧的剛度為k3,原長度為l0,預壓縮長度為l.吸振器質量通過豎直彈簧和黏性阻尼與受控質量連接在一起,剛度值和阻尼值分別為k2,c2.作用在主系統上的外激勵的幅值為F0,x1和x2分別是受控質量的位移和吸振器的位移.

根據牛頓第二定理得到模型A 和模型B 的運動微分方程.

模型A: 水平彈簧接地安裝

模型B: 水平彈簧不接地安裝

在系統振動位移幅值較小時,將對稱水平彈簧的恢復力等效后,對式(4)和式(5)進行無量綱化處理,得到無量綱控制方程.

模型A: 水平彈簧接地

其中的無量綱化參數為

3 穩態響應的求解與驗證

采用諧波平衡法[27-28]結合弧長延拓法[29-30]對無量綱化之后的方程式(6)和方程式(7)進行穩態響應的求解,利用Floquet 理論[31]結合改進的龍格庫塔法[32]計算一個周期末端的轉移矩陣,并由其特征值的性質判斷解的穩定性,值得注意的是,這種方法具有較快的收斂速度,但通常其報告的邊界比較保守[32].根據諧波平衡法,將傅里葉展開為如下形式

將方程(9)代入無量綱化方程(6)和式(7),令相同諧波前的系數相等,可以得到包含相應模型幅頻關系的非線性代數方程組,具體形式如附錄所示.隨后利用弧長延拓法進行求解獲得幅頻特性曲線.求得解析結果后,利用數值積分方法來進行結果驗證.驗證參數為表1 所對應的無量綱參數,驗證結果如圖4所示.可以看出當n=3 時,0～ 3 階諧波解析結果與正反向掃頻數值解結果吻合良好,因此,在接下來的求解當中,考慮將方程諧波解的形式設定為0～ 3 階.

圖4 解析解與數值解結果驗證Fig.4 Verification of analytical and numerical results

此外,如圖4 所示,安裝水平彈簧后,系統為非線性系統,出現共振峰彎曲以及不穩定解等非線性特征.

4 不同類型吸振器的性能分析

參考文獻[16,17]中主系統和吸振器的設計參數,本文的系統模型參數取值如表1 所示.表1 中的彈簧參數均能夠在工程中實現,并且彈簧參數之間的關系滿足式(4).表1 所對應的無量綱參數為μ=0.1,ξ1=0.02,ξ2=0.04,=0.367,=1.2,=0.9,=0.02.模型A 和模型B 的系統參數取值相同,本文后續研究中均采用無量綱化參數進行分析.

代入系統參數,水平彈簧不同安裝形式下受控質量的幅頻特性曲線如圖5 所示.可以看出,模型A 與模型B 相比,其幅頻曲線的第一階共振峰處于更加低頻的位置且峰值更低,同時第二階共振峰向高頻移動,由此在主共振區的吸振性能更優.模型B 僅在主共振頻率處有較好的吸振效果,在略低于主共振頻率處會產生較高的峰值,導致吸振效果不佳.

圖5 兩種安裝形式的幅頻特性曲線比較Fig.5 Comparison of amplitude-frequency characteristic curves of two installation forms

圖6 為與線性吸振器的比較,線性吸振器的剛度大小與組合剛度吸振器的等效線性剛度kL相等.可見相比線性吸振器,模型A 的第一、二階共振峰分別向低頻、高頻方向移動,且峰值與線性吸振器接近,極大的拓寬了主共振頻率附近的吸振帶寬,提升了吸振器的魯棒性.此外,模型A 在主共振區附近的有效吸振頻帶內具有比線性吸振器更好的振動抑制效果,在保留了線性吸振器優勢的同時又改善了其吸振頻帶窄的缺點.而模型B 與線性吸振器相比,第一階共振峰向主共振頻率處移動且峰值顯著升高,第二階共振峰略有降低,整體吸振性能較差.

圖6 與線性吸振器的比較Fig.6 Comparison with linear vibration absorber

圖7 為模型A 與本質非線性吸振器NES 的效果比較.通過調整豎直彈簧剛度k2的大小使得NES 的等效線性剛度kL=0,NES 的其他參數選取與模型A 一致.NES 沒有固有頻率,其諧振頻率隨主振系變化,不會引入額外的共振峰,僅會使原共振峰峰值大幅降低,具有優良的寬頻吸振效果.模型A 與本質非線性吸振器相比,因具有線性剛度,所以會引入額外的共振峰,但引入的峰值相比原結構峰值有很大程度的減小,且在受控結構共振頻率附近的較寬頻帶內(無量綱頻率0.53～ 1.40),模型A 能夠將受控結構的振動抑制在很低的水平上,其吸振性能優于本質非線性吸振器.因此與本質非線性吸振器相比,模型A 更加適用于外激勵頻率分布于主共振頻率附近(中頻段)情況下的設備不利振動控制.

圖7 與本質非線性吸振器的比較Fig.7 Comparison with intrinsically nonlinear vibration absorber

由以上分析可以得出,模型A 與模型B 以及線性吸振器相比總體上有更好的吸振效果,模型A 與本質非線性吸相比,在主共振頻率附近的較寬中頻段內吸振性能更優.因此后續重點對模型A 展開研究.

5 參數變化分析

相比線性吸振器,水平彈簧引入了兩個額外的設計參數,水平彈簧剛度以及預壓縮長度.此外,阻尼參數對非線性吸振器的振動控制效果有重要影響,過小的非線性吸振器阻尼可能反而導致原結構的振動更加劇烈[18].因此本節研究水平彈簧剛度、水平彈簧預壓縮長度以及阻尼變化對模型A 受控質量幅頻曲線以及穩定性的影響.

圖8 為水平彈簧剛度變化的影響,無量綱水平彈簧剛度變化范圍為[0,2],變化間隔為0.2.由圖可以看出,當=0 時,模型A 幅頻曲線與線性吸振器一致,且不存在不穩定區,驗證了求解的正確性.隨著水平彈簧剛度的增大,幅頻曲線第一階共振峰向低頻方向移動,同時峰值有先升高后降低再升高的現象,直至最后系統響應趨于不穩定.第二階共振峰隨著水平彈簧剛度的增大逐漸向高頻方向移動,峰值基本不變,當剛度增大到一定程度后,系統響應同樣趨于不穩定.隨著水平彈簧剛度的增加,幅頻曲線的不穩定區域逐漸增多,在不穩定區間內,存在跳躍、對稱和非對稱周期解以及準周期運動和混沌運動等復雜動力學行為,這些復雜動力學行為會給系統帶來問題,因此最好從系統響應中消除[33].綜合以上分析,理論上可以選取合適的水平彈簧剛度,使得系統振動共振峰峰值較低的同時,頻響曲線不穩定運動區域的范圍也較小,例如圖8 中=1.2 時所示的頻響曲線.

圖8 水平彈簧剛度變化的影響Fig.8 Influence of horizontal spring stiffness change

圖9 為水平彈簧預壓縮長度變化的影響,無量綱水平彈簧預壓縮長度變化范圍為[0.8,1].從圖中可以看出,水平彈簧預壓縮長度減小對受控結構幅頻曲線的影響與水平彈簧剛度增大的影響效果十分相似,這可以由第一節中的式(3b)和式(4)得到解釋: 等效線性剛度kL的大小由式(4)決定在參數變化過程中保持不變,而水平彈簧預壓縮長度減小與水平彈簧剛度增大都會導致等效非線性剛度kN增大,因此對系統響應會產生類似的影響,且因為式(3b)中預壓縮長度項為三次方,所以系統響應對水平彈簧預壓縮長度大小的變化更加敏感.

圖9 水平彈簧預壓縮長度變化的影響Fig.9 Influence of horizontal spring pre-compression length change

圖10 為吸振器阻尼變化對受控質量幅頻響應曲線的影響,無量綱阻尼ξ2的變化范圍為[0.01,1].由圖10(a) 可以看出,吸振器阻尼增大,會使模型A 受控質量幅頻曲線的第一階共振峰降低,第二階共振峰也迅速降低直至消失.當吸振器阻尼非常大時,在靠近零頻率附近的低頻處仍有一定的幅值,但其大小較小.此外,隨著阻尼的增大,幅頻曲線的不穩定區間越來越少,最后完全消失.圖10(b)為安裝線性吸振器時阻尼變化的影響,可以看出與模型A 有很大區別,當阻尼增大時,其最大峰值會先降低后升高,當阻尼設置合適時(調諧阻尼),會使峰值最小.而模型A 的最大峰值隨著阻尼增大持續降低,直至最后幾乎穩定.

圖10 阻尼變化的影響Fig.10 Influence of damping variation

6 復雜動力學響應分析

第5 節從頻域角度分析了參數變化對系統受控質量幅頻曲線以及穩定性的影響.但從頻域角度無法揭示不穩定區域存在的各種復雜動力學行為,為了對非線性系統(模型A)有更加深刻的認識,本節利用4 階龍格庫塔法從時域角度對非線性系統進行穩態周期響應的求解,從而研究系統的各種復雜動力學響應.其結果可作為諧波平衡法求解結果的補充,以體現非線性振動系統在觀測頻率下可能出現的穩態振動行為.

圖11 模型A 頻響曲線Fig.11 Frequency response curve of model A

圖12 不同觀測點下的時域圖、相軌跡和龐加萊點Fig.12 Time domain diagram,phase trajectory and Poincare point under different observation points

由圖12 可以看出,Ω=0.18 時相圖上有3 個獨立的龐加萊點且相軌跡、時域波形均穩定,說明模型A 穩態響應曲線呈現3 周期運動狀態.當Ω=0.23 時,由相圖與時域圖結果可知,龐加萊點呈現無序狀態且相軌跡、時域波形均不穩定,上述現象說明模型A 穩態響應曲線呈現混沌振動狀態.Ω=0.63 時相圖上有兩個獨立的龐加萊點,說明模型A 穩態響應曲線呈現二周期運動狀態,同時由時域波形可以看出在此頻率下出現了對稱性破壞[18],存在非對稱周期響應.Ω=1.0 時相圖上有一個獨立的龐加萊點,說明由龍格庫塔方法求出的模型A 穩態響應曲線呈現單周期運動狀態,由時域圖看出在此頻率下也存在非對稱周期響應.當Ω=1.63 時,由相圖與時域圖結果可知,龐加萊點組成一條閉合曲線且相軌跡趨于穩定.上述現象說明模型A 穩態響應曲線呈現準周期振動狀態.需要注意的是,準周期振動狀態介于多周期振動狀態與混沌振動狀態之間,準周期振動狀態易在外界擾動的作用下轉換為混沌振動狀態.

綜上,在不穩定區內,主結構的振動存在多種復雜動力學行為,選取合適的水平彈簧參數可以使不穩定運動區域的范圍較小從而抑制這些復雜動力學行為的產生,對振動控制產生有益效果.

7 結論

本文在線性吸振器的基礎上,利用水平預壓縮彈簧的對稱排布引入立方非線性剛度構成組合剛度非線性吸振器,在保留線性吸振器優勢的同時改善其吸振頻帶窄的缺點.考慮水平彈簧的實際安裝形式,分別建立水平彈簧接地安裝、水平彈簧不接地安裝的非線性吸振器系統模型.采用諧波平衡法結合弧長延拓法等方法預報不同模型的幅頻響應特性以及穩定性,并與數值結果進行對比,驗證了本文方法的正確性與可靠性.

在上述基礎上,開展了吸振性能分析、參數變化分析以及穩定性分析,具體結論如下.

(1)模型A 與模型B 以及線性吸振器相比總體上有更好的吸振效果,模型A 與本質非線性吸振器相比,在主共振頻率附近的較寬中頻段內吸振性能更優.

(2)水平彈簧預壓縮長度減小對受控結構幅頻曲線的影響與水平彈簧剛度增大的影響效果十分相似,合適的水平彈簧參數能夠使得系統振動共振峰峰值較低的同時,頻響曲線不穩定區域的范圍也較小.

(3)模型A 吸振器阻尼變化的影響與線性吸振器有很大區別.模型A 的最大峰值隨著阻尼增大持續降低,直至最后幾乎穩定,而線性吸振器的阻尼增大時,其最大峰值會先降低后升高.

(4)不穩定區內存在倍周期響應、非對稱周期響應、準周期運動、混沌振動等復雜動力學行為,選取合適的水平彈簧參數可以抑制這些復雜動力學行為的產生,從而對振動控制產生有益效果.

附錄

附錄中的參數均為無量綱參數,限于篇幅,這里僅列出模型A 式(6)中第一個方程所對應的非線性方程組,第二個方程對應非線性方程組的推導過程與其完全相同

模型B 方程組比較復雜,這里列出式(7)中第一個方程中諧波分量cos(3Ωτ)對應的非線性方程

其中,kL和kN分別代表無量綱化后的等效線性剛度和等效非線性剛度.