關于不定方程x2-3y4=p(p=13,37,61,73)

管訓貴

(泰州學院 數理學院,江蘇 泰州 225300)

0 引言

設D,M為給定的整數,且D>0為非平方數,N(D,M)表示不定方程

x2-Dy4=M

(1)

的正整數解的個數。

文獻[1]首先證明了N(5,44)=1,N(5,11)=2,N(5,-44)=3。后來,文獻[2]證明了N(3,46)=2;文獻[3]證明了N(3,22)=2;文獻[4]證明了N(3,97)=1;文獻[5]證明了N(3,166)=2;文獻[6]證明了N(3,286)=2;文獻[7]證明了N(7,93)=2;文獻[8]證明了N(2,17)=2,N(2,41)=0,N(2,73)=0,N(2,89)=2,N(2,97)=0。當N(D,M)≥1時,文獻[1-8]均給出了方程(1)的全部正整數解。

1 主要結論

本文對D=3,M=p為奇素數且p<100的情形進行探究,發現僅當p=13,61,73和97時,式(1)有正整數解,對于其他的p,式(1)均無正整數解。由于p=3,5,11,17,23,29,41,47,53,59,71,83,89時,模3知不可能;p=7,19,31,43,67,79時,方程x2-3y2=p無基本解;且p=97已在文獻[4]中解決。故只需考慮p=13,37,61,73的情形。

利用遞歸序列、同余式以及平方剩余的有關性質,證明了如下結果。

定理1N(3,13)=2;(x,y)=(4,1),(16,3)。

定理2N(3,37)=0。

定理3N(3,61)=2;(x,y)=(8,1),(44,5)。

定理4N(3,73)=2;(x,y)=(11,2),(29,4)。

2 定理的證明

2.1 定理1的證明

設相應的不定方程為

x2-3y4=13。

(2)

易知,方程X2-3Y2=13的一般解可由以下2個非結合類給出:

或

若式(2)有整數解,必有n使得

y2=±(un+4vn)或y2=±(un-4vn)=±(u-n+4v-n),

當n≥0時,un+4vn>0;當n<0時,un+4vn<0。因此可歸結為

y2=un+4vn,n≥0

(3)

或

y2=-un+4vn,n>0。

(4)

容易驗證下列關系:

un+2=4un+1-un,u0=1,u1=2;

(5)

vn+2=4vn+1-vn,v0=0,v1=1;

(6)

un+r=unur+3vnvr,vn+r=unvr+vnur;

(7)

(8)

(9)

un+2kr≡(-1)kun(modur),vn+2kr≡(-1)kvn(modur)。

(10)

先討論式(3)。(為節省篇幅,下文中的“T”表示取模后所得剩余序列的周期)

當式(3)成立時,利用(5)、(6)兩式對式(3)取模4得T=4,且當n≡1,2,3(mod 4)時,un+4vn≡2,3,2(mod 4)均為4的平方非剩余,故排除,剩n≡0(mod 4)。

對式(3)取模5得T=3,且當n≡2(mod 3)時,un+4vn≡3(mod 5)為5的平方非剩余,故排除,剩n≡0,1(mod 3),即n≡0,1,3,4,6,7,9,10,12,13(mod 15)。

對式(3)取模29得T=15,且當n≡4,7,10(mod 15)時,un+4vn≡2,11,19(mod 29)均為29的平方非剩余,故排除,剩n≡0,1,3,6,9,12,13(mod 15)。

對式(3)取模19得T=5,且當n≡3(mod 5)時,un+4vn≡10(mod 19)為19的平方非剩余,故排除n≡3,13(mod 15),剩n≡0,1,6,9,12(mod 15),結合n≡0(mod 4),得n≡0,16,36,24,12(mod 60)。

對式(3)取模61得T=60,且當n≡12,16,36(mod 60)時,un+4vn≡18,23,43(mod 61)均為61的平方非剩余,故排除,剩n≡0,24(mod 60),從而n≡0(mod 3),即n≡0,3,6(mod 9)。

對式(3)取模53得T=9,且當n≡3,6(mod 9)時,un+4vn≡33,19(mod 53)均為53的平方非剩余,故排除,剩n≡0(mod 9),結合n≡0(mod 4),得n≡0(mod 36)。

若n≠0,令n=0+2×3t(6l±2)(t≥2),并取m=3t,此時m≡9(mod 18),則由式(3)結合式(10)得

y2=un+4vn≡-(u?2m+4v?2m)≡-(u2m?4v2m)(modu3m)。

(11)

當式(4)成立時,利用(5)、(6)兩式對式(4)取模4得T=4,且當n≡0,1,3(mod 4)時,-un+4vn≡3,2,2(mod 4)均為4的平方非剩余,故排除,剩n≡2(mod 4),即n≡2,6,10,14,18,22,26(mod 28)。

對式(4)取模2 521得T=28,且當n≡6,10,18,26(mod 28)時,-un+4vn≡1 769,321,2 394,2 498均為2 521的平方非剩余,故排除,剩n≡2,14,22(mod 28),從而n≡2,0,1(mod 7)。

對式(4)取模71得T=7,且當n≡0(mod 7)時,-un+4vn≡70(mod 71)為71的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2(mod 7),即n≡1,2,8,9,15,16(mod 21)。

對式(4)取模2 017得T=21,且當n≡8,15,16(mod 21)時,-un+4vn≡435,1 580,819(mod 2 017)均為2 017的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2,9(mod 21)。

對式(4)取模5得T=3,且當n≡1(mod 3)時,-un+4vn≡2(mod 5)為5的平方非剩余,故排除n≡1(mod 21),剩n≡2,9(mod 21),從而n≡2(mod 7)。結合n≡2(mod 4)得n≡2(mod 28)。

若n≠2,令n=2+2×2×7×3t(3l±1)(t≥0),并取m=2×7×3t,此時m≡14,42(mod 56),則由式(4)結合(7)、(10)兩式得

y2=-un+4vn≡±(-u2?2m+4v2?2m)≡±(-9u2m±16v2m)(modu3m),

于是有

(12)

綜上,方程(2)僅有正整數解(x,y)=(4,1),(16,3)。

2.2 定理2的證明

設相應的不定方程為

x2-3y4=37。

(13)

易知,方程X2-3Y2=37的一般解可由以下2個非結合類給出:

或

若方程(13)有整數解,必有n使得

y2=±(2un+7vn)或y2=±(2un-7vn)=±(2u-n+7v-n)。

當n≥0時,2un+7vn>0;當n<0時,2un+7vn<0。因此可歸結為

y2=2un+7vn,n≥0

(14)

或

y2=-2un+7vn,n>0。

(15)

當式(14)成立時,利用(5)、(6)兩式對式(14)取模5得T=3,且當n≡0,2(mod 3)時,2un+7vn≡2(mod 5)為5的平方非剩余,故排除,剩n≡1(mod 3),即n≡1,4,7(mod 9)。

對式(14)取模53得T=9,且當n≡4,7(mod 9)時,2un+7vn≡3,39(mod 53)均為53的平方非剩余,故排除,剩n≡1(mod 9),即n≡1,10(mod 18)。

對式(14)取模17得T=18,且當n≡1,10(mod 18)時,2un+7vn≡11,6(mod 17)均為17的平方非剩余,故排除,因此式(14)不成立。

當式(15)成立時,利用(5)、(6)兩式對式(15)取模5得T=3,且當n≡0,1(mod 3)時,-2un+7vn≡3(mod 5)為5的平方非剩余,故排除,剩n≡2(mod 3),即n≡2,5,8(mod 9)。

對式(15)取模53得T=9,且當n≡2,5(mod 9)時,-2un+7vn≡14,50(mod 53)均為53的平方非剩余,故排除,剩n≡8(mod 9),即n≡8,17(mod 18)。

對式(15)取模17得T=18,且當n≡8,17(mod 18)時,-2un+7vn≡11,6(mod 17)均為17的平方非剩余,故排除,因此式(15)不成立。

綜上,方程(13)無正整數解。

2.3 定理3的證明

設相應的不定方程為

x2-3y4=61。

(16)

易知,方程X2-3Y2=61的一般解可由以下2個非結合類給出:

或

若方程(16)有整數解,必有n使得y2=±(un+8vn)或y2=±(un-8vn)=±(u-n+8v-n)。當n≥0時,un+8vn>0;當n<0時,un+8vn<0。 因此可歸結為

y2=un+8vn,n≥0

(17)

或

y2=-un+8vn,n>0。

(18)

當式(17)成立時,利用(5)、(6)兩式對式(17)取模8得T=4,且當n≡1,2,3(mod 4)時,un+8vn≡2,7,2(mod 8)均為8的平方非剩余,故排除,剩n≡0(mod 4),即n≡0,4,8(mod 12)。

對式(17)取模3得T=6,且當n≡4(mod 6)時,un+8vn≡2(mod 3)為3的平方非剩余,故排除n≡4(mod 12),剩n≡0,8(mod 12)。

對式(17)取模37得T=36,且當n≡8,20,32(mod 36)時,un+8vn≡20,35,19(mod 37)均為37的平方非剩余,故排除n≡8(mod 12),剩n≡0(mod 12)。

若n≠0,令n=0+2×3t(6l±2)(t≥1),并取m=3t,此時m≡3,9(mod 12),則由式(17)結合式(10)得

y2=un+8vn≡-(u?2m+8v?2m)≡-(u2m?8v2m)(modu3m)。

(19)

當式(18)成立時,利用(5)、(6)兩式對式(18)取模8得T=4,且當n≡0,1,3(mod 4)時,-un+8vn≡7,6,6(mod 8)均為8的平方非剩余,故排除,剩n≡2(mod 4),即n≡2,6(mod 8)。

對式(18)取模7得T=8,且當n≡6(mod 8)時,-un+8vn≡3(mod 7)為7的平方非剩余,故排除,剩n≡2(mod 8)。

又由n≡2(mod 4)得n≡2,6,10(mod 12)。

對式(18)取模3得T=6,且當n≡0(mod 6)時,-un+8vn≡2(mod 3)均為3的平方非剩余,故排除n≡6(mod 12),剩n≡2,10(mod 12),即n≡2,10,14,22,26,34(mod 36)。

對式(18)取模37得T=36,且當n≡10,22,26,34(mod 36)時,-un+8vn≡20,19,22,35(mod 37)均為37的平方非剩余,故排除,剩n≡2,14(mod 36),故n≡2(mod 3),結合n≡2(mod 8)得n≡2(mod 24)。

若n≠2,令n=2+2×3×2t×(2l+1)(t≥2),并取

此時,m≡1,4(mod 5),則由式(18)結合(7)、(10)兩式得

y2=-un+8vn≡±(-u2+2m+8v2+2m)≡±(25u2m+44v2m)≡±44v2m(modu2m)。

(20)

注意到4|m時,u2m≡um≡1(mod 8),um≡1(mod 3),結合(8)、(20)兩式給出

綜上,方程(16)僅有正整數解(x,y)=(8,1),(44,5)。

2.4 定理4的證明

設相應的不定方程為

x2-3y4=73。

(21)

易知,方程X2-3Y2=73的一般解可由以下2個非結合類給出:

或

若方程(21)有整數解,必有n使得

y2=±(3un+10vn)或y2=±(3un-10vn)=±(3u-n+10v-n),

當n≥0時,3un+10vn>0;當n<0時,3un+10vn<0。 因此可歸結為

y2=3un+10vn,n≥0

(22)

或

y2=-3un+10vn,n>0。

(23)

當式(22)成立時,利用(5)、(6)兩式對式(22)取模5得T=3,且當n≡0(mod 3)時,3un+10vn≡3(mod 5)為5的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2(mod 3),即n≡1,2,4,5(mod 6)。

對式(22)取模3得T=6,且當n≡4,5(mod 6)時,3un+10vn≡2(mod 3)為3的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2(mod 6),即n≡1,2,7,8,13,14,19,20(mod 24)。

對式(22)取模193得T=24,且當n≡2,7,8,14,19,20(mod 24)時, 3un+10vn≡61,39,76,132,154,117(mod 193)均為193的平方非剩余,故排除,剩n≡1,13(mod 24)。

對式(22)取模7得T=8,且當n≡5(mod 8)時,3un+10vn≡5(mod 7)為7的平方非剩余,故排除n≡13(mod 24),剩n≡1(mod 24)。

若n≠1,令n=1+2×3×2t×(4l±1)(t≥2),并取m=3×2t,此時m≡12,9,3,6(mod 15),則由式(22)結合(7)、(10)兩式得

y2=3un+10vn≡3u1±2m+10v1±2m≡16u2m±29v2m≡±29v2m(modu2m)。

(24)

又4|m時,um≡1(mod 4),u2m≡1(mod 8),設2s‖vm,則有

由式(24)得

當式(23)成立時,仿式(22)的討論,對式(23)分別取模5,排除n≡0(mod 3);取模3,排除n≡4,5(mod 6);取模193,排除n≡2,7,8,14,19,20(mod 24);取模7,排除n≡13(mod 24),最后剩n≡1(mod 24)。

若n≠1,令n=1+2×3×2t×(4l±1)(t≥2),并取

此時m≡1,4(mod 5),則由式(23)結合(7)、(10)兩式得

y2=-3un+10vn≡-3u1±2m+10v1±2m≡4u2m±11v2m≡±11v2m(modu2m)。

(25)

綜上,方程(21)僅有正整數解(x,y)=(11,2),(29,4)。