完全非彈性碰撞一個結論的妙用

尚 英

(山東省青島第九中學)

完全非彈性碰撞是碰撞中很重要的一種,具有碰撞后共速,且損失動能最多的特點,很多問題中均會涉及.那么損失的動能跟什么有關呢? 這類問題又存在什么規律呢? 在平時學習的過程中,如果我們多思考、多總結,就會發現一些小的結論,可以用來快速解決問題,使復雜的問題簡單化.筆者對完全非彈性碰撞中動能的損失做了一些深入的思考,獲得了一些感悟,分享給讀者.

1 結論的推導

如圖1所示,質量為mA的A球以速度vA向右運動,質量為mB的B球以速度vB向右運動,兩個小球發生完全非彈性碰撞,碰后兩小球以共同的速度向右運動,求系統損失的動能.

圖1

A、B兩球組成的系統在碰撞過程中,根據動量守恒定律可得

根據能量守恒定律有

聯立解得

將此結果代入式②中,解得

結論完全非彈性碰撞中損失的動能是按照被撞物體質量占總質量的份數進行分配的,即

其中EkAB＝為A球相對于B球的動能.

若vB＝0,則即為一“動”撞一“靜”的情況,則根據上面兩個式子可得,碰撞后小球的速度大小

系統損失的動能為

這個結論是由動量守恒定律和能量守恒定律的聯立方程組解出來的.如果能夠熟練掌握此結論就會在很多題目中從解方程的煩瑣計算中解脫出來,起到快速準確得到答案的目的,尤其對于選擇題更是方便快捷.

2 結論的應用

例1如圖2所示,光滑水平直軌道上有三個滑塊A、B、C,質量分別為mA＝m,mB＝2m,mC＝4m,開始時均靜止.先讓滑塊A以初速度v0與滑塊B發生碰撞并粘在一起,然后又一起與滑塊C發生碰撞并粘在一起,則前后兩次碰撞中損失的動能之比為( ).

圖2

A.1∶4 B.4∶1 C.7∶2 D.2∶7

解析

常規解法取向右方向為正方向,設A、B粘在一起后向右運動的速度為v1,A、B、C粘在一起后向右運動的速度為v2.第一次碰撞過程中,系統的動量守恒,則有mv0＝3mv1,解得

由能量守恒定律可得損失的動能

第二次碰撞過程中,系統的動量守恒,則有

損失的動能為

故前后兩次碰撞中損失的動能之比

結論法由結論可知

AB碰完以后剩余的動能為

所以第二次碰撞過程中動能的損失

故前后兩次碰撞中損失的動能之比

點評

對比兩種解法,第一種常規解法,雖然思路清晰,但是兩次碰撞,兩個動量守恒定律方程,兩個能量守恒定律方程,四個方程依次計算求得結果,計算量大,采用結論法直接代入公式很容易求出第一次碰撞損失的動能,剩余的動能等于總動能減去損失的動能,然后再次套入結論,就很快解出來了第二次損失的動能.對比之下,結論法更快捷.

例2如圖3所示,位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q都可視作質點,P的質量為m,Q的質量為3m,Q與輕質彈簧相連.Q原來靜止,P以一定初動能E向Q運動并與彈簧發生碰撞.在整個過程中,彈簧具有的最大彈性勢能等于( ).

圖3

解析

常規解法設P物體的初速度為v0,由已知可得與Q碰撞過程,兩物體速度相等時,彈簧壓縮量最大,此時彈性勢能最大,整個過程滿足動量守恒定律,設共同速度為v1,則

此時最大彈性勢能

結論法P、Q速度相同時,彈簧具有的彈性勢能最大,其中減少的動能轉化為彈簧具有的最大彈性勢能,則

點評

完全非彈性碰撞的動能損失的結論可以應用到類完全非彈性碰撞中去,那么損失的動能就可能等于彈簧增加的彈性勢能.

例3如圖4 所示,質量為m的滑環套在足夠長的光滑水平滑桿上,質量為M＝3m的小球(可視為質點)通過長為L的輕質細繩與滑環連接.將滑環固定時,給小球一個水平沖量,小球擺起后剛好碰到水平桿;若滑環不固定,仍給小球同樣的水平沖量,則小球擺起的最大高度為( ).

圖4

解析

滑環固定時,給小球一個水平沖量,小球擺起后剛好碰到水平桿,可知小球的初動能全部轉化為小球的重力勢能,即Ek0＝mgL;若滑環不固定,仍給小球同樣的水平沖量,小球擺起到最大高度的過程,類似完全非彈性碰撞.小球擺到最大高度時,系統損失的動能轉化為小球的重力勢能,即

完全非彈性碰撞中動能損失的公式,其實是完全非彈性碰撞的進階學習,熟練掌握此公式一方面可以避免雙守恒方程的聯立求解的麻煩——尤其是遇到一“動”碰一“動”的情境,解方程更為復雜——掌握此結論就顯得較為簡便了;另一方面也可以快速解決類完全非彈性碰撞中彈簧的最大彈性勢能、物體上升的最大高度、子彈進入木塊的深度等問題.所以在平時的學習中要多思考、多總結,這樣才能使解題更加快捷高效!

(完)