外彈道學在反斜面上駐扎點計算的應用

金莫迪 胡恒睿 (指導教師 王清禮)

(遼寧省沈陽市遼寧省實驗中學)

1 背景介紹與問題重述

外彈道是一個軍事術語,指的是彈丸在離開身管后的運動和行為,簡單來說,就是炮彈在空中的飛行軌跡.反斜面也是一個軍事術語,指的是山地攻防戰中背向敵方、面向我方的一側山坡,使用得當可以大幅削減敵軍直射炮火對我軍的殺傷.

2 模型建立

2.1 研究對象及符號說明

本文以美式M101105 mm 榴彈炮為研究對象,下面對它進行基本介紹.

M101105mm 榴彈炮,炮彈初速度為472 m·s－1,口徑為105mm,射角－0.087～1.152,最大射程15km,發射的M1高爆彈重19.08kg.本文以這一型號為參考,在MATLAB 平臺上進行數據計算,在接下來的模型建立中,本文將采用以上數據代入計算.

本文引入以下參量,下面對其符號進行說明:

v0—炮彈的初速度

h—山頂垂直高度(以x軸為基準面的相對高度)

v—炮彈的瞬時速度

a—炮彈加速度

s—炮與山頂的水平距離

t—飛行時間

α—炮彈發射的角度

g—重力加速度

β—后方山坡傾角

c—阻力系數

θ—炮彈瞬時速度與水平方向夾角

ρ—空氣密度

S—炮彈的橫截面積

2.2 不考慮空氣阻力

2.2.1 假設

在研究本問題時,為了簡化模型,本文做出以下假設.1)不考慮空氣阻力,即將炮彈軌跡簡化為拋物線.2)氣溫、氣壓對空氣密度的影響,地球曲率會在一定程度上影響炮彈的外彈道,但這兩項因素相比火炮射程來說較小,所以忽略.3)長達數十千米的炮彈射程遠大于十幾米的傷害半徑,所以炮彈爆炸攻擊的范圍可以忽略.4)由于彈丸的起始擾動,彈軸即炮彈中軸并不與速度矢量完全重合,其間的夾角便稱為炮彈的攻角(或章動角).攻角也會影響外彈道,然而實際上,對于飛行穩定的彈丸,其攻角總是不大的,因而彈丸圍繞質心的運動對其質心運動的影響比較小,所以可以忽略.5)出于高中知識限制和模型簡便考慮,本文忽略地轉偏向力,忽略炮彈在火炮身管內的運動情況對外彈道的影響,忽略彈丸旋轉,假設空氣為靜止狀態,即忽略風的影響.

2.2.2 公式推導

以炮彈發射點為原點,水平方向為橫軸,豎直方向為縱軸,構建平面直角坐標系,由速度定義式及勻加速直線運動位移公式得

將式①代入式②中,可得炮彈的軌跡方程

2.2.3 數據代入

在推出上述公式的基礎上,將g、v0等常量代入公式中,得到炮彈軌跡方程.其中,g取10 m·s－2,v0＝472m·s－1.

下面進行代入,在不考慮空氣阻力的情況下,可得以下炮彈軌跡方程:

2.2.4 初級模型檢驗

下面運用MATLAB軟件進行數值模擬.

陸抑非（1908—1997），名翀，初字一飛，江蘇常熟人。早年師從李西山、陳加盦，后游于吳湖帆門下，1937年由吳湖帆改字“抑非”，后以抑非字行。上世紀四五十年代，陸抑非先生在滬上與唐云、江寒汀、張大壯有“江南花卉四才子”的美稱，與陸儼少、陸維釗并稱浙江美術學院（中國美術學院前身）“三陸”。陸抑非先生不但是花鳥畫大家，也是一位杰出的藝術教育家，在國畫教育領域勤勤懇懇耕耘六十余年，桃李滿天下。

圖1 不考慮空氣阻力的炮彈軌跡

根據實際情況,α取值范圍為0～1.152(弧度).

通過數值模擬,找到和反斜面頂點(即山頂)相切時炮彈初速度與水平方向的夾角α＝0.4088(弧度),由數據模擬分析可知,在炮彈出射角范圍內,對于最高點而言,若炮彈發射高于該點,必然引起落地點(y＝0)向右偏移,從而減小了對反斜面的轟炸范圍.這一結果也是符合軍事常識的,由于本文的研究對象為M101榴彈炮,為直射火力炮,其射程通常在一定范圍內隨出射角度的增大而增大.所以,對于進攻方而言,當炮彈軌跡與最高點相切時,有最大轟炸范圍,那么我們就稱該角度為炮手的最佳角度.

由模擬結果可知,在不考慮空氣阻力的理想情況下,炮彈的理論射程為16252m.然而在實際作戰中,炮兵陣地通常不會設置在極限射程處,據此,設定s＝15000m,h＝500m,即定點(15000,500)為山頂位置坐標.

若反斜面(圖1 中A點)底端點橫坐標大于16252m,則反斜面可以被火力攻擊到.所以,發射角度α在實際所取范圍內時:當反斜面傾斜角β＜0.38(弧度)時,則防守方的反斜面有危險,會被火力覆蓋;當反斜面傾斜角β≥0.38(弧度)時,則防守方的反斜面完全安全,敵方的火炮在α取值范圍內,無論以什么角度射擊,都無法攻擊到反斜面.

由此,可以得到以下結論:對于炮手方,存在最佳角度α＝0.4088(弧度).對于防守方,β≥0.38(弧度),則絕對安全.

2.2.5 初級模型的不足

在實際作戰中,空氣阻力對炮彈軌跡的影響非常大.現實中炮彈在橫向的速度隨時間的推移越來越慢,為不對稱的曲線軌跡.而上述模擬中,炮彈軌跡被簡化成二次函數,為對稱曲線.

2.3 考慮水平方向空氣阻力

2.3.1 假 設

2.3.2 公式推導

以炮彈發射點為原點,水平方向為橫軸,豎直方向為縱軸,構建平面直角坐標系,如圖2所示,由受力分析得

圖2 炮彈受力情況

由拋體運動規律可知

2.3.3 數據說明及代入

在推出公式的基礎上,將m、g、c、ρ、S、v0等常量代入公式中,得到炮彈軌跡方程.其中m＝19.08kg,g取10m·s－2,v0＝472m·s－1.S可利用炮彈口徑來計算,S＝πr2＝π×(0.105m)2＝,ρ取0 ℃101kPa下的標準密度1.297kg·m－3,c按照資料取近似值為0.4.

下面進行代入,可得以下炮彈軌跡方程,考慮水平方向空氣阻力

2.3.4 模型檢驗

運用MATLAB軟件進行數值模擬.

根據實際情況,α取值范圍為0～1.152(弧度).

通過數值模擬,找到和反斜面頂點(即山頂)相切時炮彈初速度與水平方向的夾角α＝0.4088(弧度),由數據模擬分析可知,在炮彈出射角范圍內,對于最高點而言,若炮彈發射高于該點,必然引起落地點(y＝0)向右偏移,從而減小了對反斜面的轟炸范圍.這一結果也是符合軍事常識的,由于本文的研究對象為M101榴彈炮,為直射火力炮,其射程通常在一定范圍內隨出射的角度增大而增大.所以,對于進攻方而言,當炮彈軌跡與最高點相切時,有最大轟炸范圍,那么我們就稱該角度為炮手的最佳角度.

由模擬結果可知,在考慮水平方向空氣阻力的情況下,炮彈的理論射程為15871m.然而在實際作戰中,炮兵陣地通常不會設置在極限射程處,所以本節設定s＝15000m,h＝500m,即定點(15000,500)為山頂位置坐標.

若反斜面(圖3 中B點)底端點橫坐標大于15871m,則反斜面可以被火力攻擊到.所以,在發射角度α在實際所取范圍內時:當反斜面傾斜角β＜0.5218(弧度)時,則防守方的反斜面有危險,會被火力覆蓋;當反斜面傾斜角β≥0.5218(弧度)時,則防守方的反斜面完全安全,敵方的火炮在α取值范圍內,無論以什么角度射擊,都無法攻擊到反斜面.

圖3 考慮水平方向上空氣阻力的炮彈軌跡

由此,可以得到以下結論:對于炮手方,存在最佳角度α＝0.4597(弧度).對于防守方,β≥0.5218(弧度),則絕對安全.由此可見,隨著引入水平方向的阻力,彈道末端炮彈飛行的軌跡下墜更加迅速,對反斜面的要求更苛刻.

2.4 考慮水平和豎直方向空氣阻力

2.4.1 假 設

在本條件下,做出以下假設.1)僅考慮水平和豎直方向空氣阻力.2)忽略氣溫、氣壓、地球曲率的影響.3)忽略炮彈爆炸攻擊的范圍.4)由于彈丸的起始擾動,彈軸即炮彈中軸并不與速度矢量完全重合,其之間的夾角便稱為炮彈的攻角(或章動角).攻角也會影響到外彈道,然而實際上,對于能保證飛行穩定的彈丸,其攻角總是不大的,因而彈丸圍繞質心的運動對其質心運動的影響比較小,所以可以忽略.5)出于高中知識限制和模型簡便考慮,本文假設空氣阻力系數為固定值,忽略地轉偏向力,忽略內彈道即炮彈在火炮身管內的運動情況對外彈道的影響,忽略彈丸旋轉,假設空氣為靜止狀態,即忽略風的影響.

2.4.2 公式推導

以炮彈發射點為原點,水平方向為橫軸,豎直方向為縱軸,構建平面直角坐標系.由受力分析得,

上升階段:

由加速度定義式代入式⑦中,得

等式兩邊同取不定積分,得

由初態vy＝v0,代入上式得

所以

下降階段:

2.4.3 數據說明及代入

在推出上述公式的基礎上,將m、g、c、ρ、S、v0等常量代入公式中,得到炮彈軌跡方程.其中m＝19.08 kg,g取10m·s－2,v0＝472m·s－1,S利用炮彈口徑來計算S＝πr2＝π×(0.105m)2＝m2,ρ取0 ℃101kPa下的標準密度1.297kg·m－3,c通過資料查找取0.4.

2.4.4 模型檢驗

運用MATLAB 軟件進行數值模擬得到炮彈軌跡如圖4所示.

圖4 考慮水平和豎直方向上空氣阻力的炮彈軌跡

根據實際情況,α取值范圍:0～1.152(弧度).

通過數值模擬,找到和反斜面頂點(即山頂)相切時炮彈初速度與水平方向的夾角α＝0.4088(弧度),由數據模擬分析可知,在炮彈出射角范圍內,對于最高點而言,若炮彈發射高于該點,必然引起落地點(y＝0)向右偏移,從而減小了對反斜面的轟炸范圍.這一結果也是符合軍事常識的,由于本文的研究對象為M101榴彈炮,為直射火力炮,其射程通常在一定范圍內隨出射角度的增大而增大.所以,對于進攻方而言,當炮彈軌跡與最高點相切時,有最大轟炸范圍,那么我們就稱該角度為炮手的最佳角度.

由模擬結果可知,在考慮水平和豎直方向空氣阻力的情況下,炮彈的理論射程為18490m.然而在實際作戰中,炮兵陣地通常不會設置在極限射程處,所以本節設定s＝15000 m,h＝500 m,即定點(15000,500)為山頂位置坐標.

若反斜面(圖4 中C點)底端點橫坐標大于18490m,則反斜面可以被火力攻擊到.

所以,發射角度α在實際所取范圍內時,當反斜面傾斜角β＜0.142(弧度)時,則防守方的反斜面有危險,會被火力覆蓋.當反斜面傾斜角β≥0.142(弧度)時,則防守方的反斜面完全安全,敵方的火炮在α取值范圍內,無論以什么角度射擊,都無法攻擊到反斜面.由此,可以得到以下結論:對于炮手方,存在最佳角度α＝0.3288(弧度);對于防守方,β≥0.142(弧度),則絕對安全.由數值模擬結果可知,隨著豎直方向上阻力的引入,炮彈下降過程變得更加平緩,反倒是給防守方選擇反斜面提供了更加寬松的條件.

3 參數的靈敏度分析

由于戰場實際情況的不確定性,本文通過“假設”的方式將未知情況明確化,人為設置了一些參數,下面本文將對參數進行靈敏度分析,進而探討本文提出的數學模型的可靠性.

3.1 s 對結果的影響

本文在模型檢驗部分中,提到了“在實際作戰中,炮兵陣地通常不會設置在極限射程處,所以本節設定s＝15000m”,可見,本文是在對火炮最大射程模擬后,根據實際情況,確定了代表值15000m.考慮到戰場中,火炮陣地的變化可能會很大,所以下面,令參數s在15000上下各改變10%和20%,分別計算反斜面安全角度,由數據模擬可得到表1.

表1

其表明,當s增加10%時,β變化約為18%,當s每減少10%時,β變化約為－15%.可見,s對結果的影響較大,當s減少時,對我軍反斜面的傾角要求更寬松,當s增大時,對我軍反斜面的傾角要求更苛刻.但根據資料,M101榴彈炮最大的射程約為15km,所以在本模型設定的參數下得到的反斜面傾角,基本可以達到我軍防守安全的要求.

圖5展現了在不同s下炮彈飛行的軌跡.

圖5 不同s 下炮彈飛行的軌跡

3.2 h 對結果的影響

本文在設置h時,選500為代表值,下面令參數h在500m 上下各改變5%和10%,分別計算反斜面安全角度,由數據模擬可得到表2.

表2

其表明,當h變化5%時,β變化不大,這說明對h的設置是合理的,同時,在實際戰場中,這一結論也方便了我方觀察員選取反斜面的過程.

圖6展現了在不同h下炮彈飛行的軌跡.

圖6 不同h 下炮彈飛行的軌跡

3.3 m 對結果的影響

本文在設置m時,參考了M101榴彈炮的參數,得到m＝19.08kg,考慮到軍工產品制造時對制式彈的精確度要求比較大,所以下面令參數m在19.08kg上下各改變1%和5%,分別計算反斜面安全角度,由數據模擬可得到表3.

表3

其表明,當m每變化5%時,β總是變化不大,這說明對m的設置是合理的,這也很好地說明了,當物體質量較大時,其運動時所受空氣阻力對物體運動情況影響不大.

3.4 方位角θ 對結果的影響

考慮雙方炮兵陣地較遠,方位角變化1°,著彈點就會產生15000m×tan1°＝261.8m 的偏移,但實際上,對于炮彈水平方向上的偏移僅有

對于計算反斜面安全傾角的影響微乎其微,故可忽略.實際上,在真實戰場中,敵方炮兵對我軍陣地的炮火覆蓋不可能僅發射一發炮彈.

4 模型的更多優化空間

本文對考慮水平和豎直方向上空氣阻力的炮彈飛行軌跡進行了初步分析,事實上,考慮到現實戰場上更復雜的情況,本模型還有許多不足和優化空間.

4.1 炮彈攻角

火炮在實際飛行時,其彈軸即炮彈中軸與速度矢量并不重合.彈軸與速度矢量間的夾角稱為攻角.當攻角不等于0時,會進一步對彈丸軌跡產生干擾.

圖7

4.2 風

風也是干擾炮彈外彈道的重要因素之一,在本文中假定空氣靜止,即不考慮風,然而實際情況中,這種理想情況是很難出現的.

圖8 有風時的炮彈受力分析和有風時的炮彈彈道

風大致可分為橫風和縱風.橫風是通過改變空氣阻力的方向來影響彈道.風既能影響阻力的大小,又能影響阻力的方向,故而改變射程.

4.3 地轉偏向力

我們都知道,地球在自轉時,會產生地轉偏向力,但在射程較小時可以忽略.考慮到本文研究對象為中短程火炮,其對炮彈彈道的影響較小.限于篇幅,本文不贅述.

4.4 彈丸旋轉

本文在建立模型中,忽略了彈丸旋轉.事實上,不論是滑膛炮(炮管內無膛線),還是線膛炮(炮管內有膛線),彈丸在飛行過程中都會繞其質心自轉.這種自轉會對炮彈軌跡造成影響.

4.5 其他因素

除了上述的幾個主要因素外,還有其他的因素也會影響到最終結果,如地球曲率、炮彈形狀、炮彈爆炸范圍等,但是這些因素相較于長達十數千米的火炮射程來說影響極小,所以在這里不做贅述.

5 總結與展望

本文分析了無空氣阻力、考慮水平方向空氣阻力、考慮水平和豎直方向的空氣阻力三種情況下的彈丸彈道以及對應的防御陣地范圍,并利用計算機模擬來精確驗證公式的準確性,給出數值上的最優解.通過每一次的優化與推導,逐步精確了防御陣地范圍.

目前,本文僅以空氣阻力對彈丸彈道軌跡的影響為主體優化方向進行了幾次優化.但由于現實中環境的復雜性,該模型仍需通過考慮其他因素進一步加以優化.如前文中所述,炮彈攻角、風、地轉偏向力、彈丸旋轉等因素在理論上對彈丸彈道的影響仍然存在,在具體的科研實踐中,仍需利用優化數學模型以及結合具體實驗,來更精確地描述炮彈飛行軌跡.

(完)