淺談高中數學邏輯推理素養的提升

申媛媛

(渦陽縣第二中學 安徽亳州 233600)

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出：邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養。新課標對高中數學所有必修和選修知識點，都提出了重點提升邏輯推理素養的學業要求。在以往灌輸式教學模式下，學生的學習主動性不強，學習效率不高，邏輯推理素養不能得到有效提升。因此，教師需要轉變教學模式，采取恰當的教學策略提升學生的邏輯推理核心素養。

一、高中生邏輯推理素養提升的價值

(一)邏輯推理素養的育人價值

數學最本質的特征是邏輯的嚴密性，邏輯推理素養是邏輯嚴密性的重要體現，在形成和發展人的理性思維和科學精神中發揮著重要的作用。許多學生在進入工作后會發現，平時真正用到數學中的概念、公式、定理的很少，但是在學習數學過程中養成的言必有據、合乎邏輯、條理清晰的數學習慣，卻在發揮著大作用。

(二)邏輯推理素養的數學學科價值

在數學結論的獲得和數學體系的建立中，邏輯推理起到重要的作用。數學概念的形成，需要對研究對象進行抽象，再利用邏輯的嚴謹性、規律性進行準確表達。數學結論的獲得，需要對具體問題進行觀察，再運用類比推理和歸納推理大膽猜想，通過演繹推理小心求證。因此，通過典型的數學問題，理解數學概念的生成過程，通過自主探索活動，“再創造”數學知識，形成用嚴謹推理的方式分析和解決問題的習慣，為學生未來的學習和生活打下堅實的基礎。

二、高中生邏輯推理素養水平影響因素

影響高中生在數學課程學習中邏輯推理素養提升的因素趨于多樣化，但主要來自以下三個方面：

(一)學生學習動機

當下的教育越來越關注學生的學習興趣、態度對學習的影響，從而提高學生的核心素養。一些學生學習數學的興趣不高、自信心不足，這些情緒上的問題都會影響學生數學邏輯推理核心素養的提升。學生的好奇心和求知欲能夠被學習興趣強烈喚起，生動有趣、個性活潑的數學課堂，能夠引導學生主動、自發地參與到課堂中去，學生樂于參與其中，“各路人馬”才能夠大顯神通。

(二)數學學習策略

在數學教學的過程中，總會遇到一些缺乏靈活性、創新性的“書呆子”型學生。這些學生表現出的邏輯推理素養水平明顯偏低，學習知識靠記憶，解題技能靠訓練，勤于模仿，卻懶于思考，殊不知記憶會消減，訓練會生疏。這些學生的數學學習策略導致他們并沒有真正掌握數學中的概念和結論，更談不上使用這些概念和結論解題了。數學學習中幾乎所有的新知識，都是由舊知識推導出來的，以前的知識也很重要，知識儲備不足，推理也會無從下手。例如通過觀察、分析、歸納、推理得到的知識，學生能夠牢固掌握，再用這些知識去推理新知識，不但使知識儲備更多，還訓練了思維，邏輯推理能力自然就提高了。教師在日常教學中，要引導學生制定適合自己的學習策略，提高數學學習效率，從而提高邏輯推理素養。

(三)教師教學策略

高中生數學邏輯推理素養的提升，需要學生自身的努力，更需要教師的正確引導。教師日常教學中的教學方法、教學模式、教學思路等會影響到每一個學生。老師新奇有趣的授課方式、多樣化的授課內容、清晰嚴謹的授課思路，能充分調動學生積極性，讓學生真正融入到課堂教學中去，發展數學邏輯推理核心素養。例如，探究式教學就可以凸顯學生的主體性和教師的主導性，增強課堂的知識性和趣味性，促進邏輯推理素養的有效生成和落地。

三、高中生邏輯推理素養提升的教學策略

(一)巧妙創設情境，激發求知欲

時常聽到學生抱怨：“學習數學有什么用，夠我買菜就行了！”類似的問題已經存在于學生心中很久了，買菜用到的是簡單的數學運算，可是買什么樣的菜就要用到邏輯推理思維了，通過情境將邏輯推理與生活中的問題結合起來，數學中的邏輯推理能力在生活中的地位就凸顯出來了。

例如，在教學新教材選擇性必修第三冊第七章第一節“條件概率”時，可以給出這樣一個問題情境：如果有種疾病，人群中總體發病率是萬分之一，針對這種疾病的檢查，準確率高達99.95%。張三被檢查為陽性，請問張三患病的概率比較大還是比較?。?/p>

此時學生會傾向于認為張三很大可能是患病了。此時老師可以進一步渲染一下氛圍：“這種病發病率如此之低，在科技發達的今天，儀器檢測精度又如此之高，這個張三估計是要倒霉了！”大家肯定也感覺這時候張三可以回家吃頓好的了，但結果是張三得病的概率不足六分之一。學生對于這個結果會非常疑惑，想要知道為什么，此時教師再進一步帶領學生分析情境(多媒體展示很多抽象出來的藍色小人，假設有一萬人)，按照情境中的敘述，這10000個人中平均會有1個人患病，這一個人被檢測為陽性概率為99.95%(多媒體中第一個藍色小人變紅)，剩下9999個正常的人，相應地被測出來為陰性的概率是99.95%，這就意味著正常人被檢測出陽性的概率為萬分之五，那么如果將這9999個人都拉去檢測，大約會有5人會被誤診為陽性，但實際上他們為正常的人(多媒體中五個藍色小人變黃)，那么現在被檢測為陽性的有六個人，而這六個人中真正患病的只有一個人，于是在被檢測為陽性的情況下，真正患病的概率大約只有六分之一，如果進行精確計算的話，結果會比六分之一還要小一點。這種在張三被檢測為陽性的前提下，求他患病的概率就是今天要學習的“條件概率”問題。

這樣3分鐘左右的情境引入，得到顛覆學生認知的結果，引發學生思考，將生活中的問題與數學知識“條件概率”聯系起來，將感性的生活材料理性化，轉變學生思考問題的方式，進而產生邏輯推理的愿望，養成重依據、講道理的思維習慣。

(二)優化教學內容，理清思維脈絡

新教材更加注重單元教學，注重知識之間的邏輯關系，注重完整知識網絡的構建。因此，在進行日常備課時，教師要理清單元、模塊的知識體系結構，從學生已有的知識中尋求增長點，引導學生主動建構新知識，逐漸實現學生邏輯推理素養的提升。

例如，在進行新教材必修第二冊第六章第三節“平面向量基本定理”教學時，可以提出這樣一些問題：

問題1：你們知道音樂有幾個基本音符嗎？不同的音樂會給我們不一樣的感覺，但所有的音樂都只有7個基本音符。那么在平面向量的世界里，能不能找到一些向量來表示所有的向量呢？

問題2：在數乘向量中我們還學到了一個重要的定理：向量共線定理，向量共線定理中向量b與非零a共線的等價條件是什么？

問題3：從這個定理我們知道，位于同一條直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示。如果給定一個非零向量a，位于同一直線上的b可以由a來確定呢？

問題4：這是在一維直線上，在二維平面中有沒有類似的結論？也就是說在平面中任何一個向量可不可以由一些向量來表示？用一個向量表示可不可以？那既然是二維平面上，兩個可不可以呢？

問題5：兩個向量要是共線就不可以，這樣又回到一維直線上去了，那兩個不共線的向量可不可以表示平面內所有的向量呢？

問題6：兩個共線的向量如何表示平面內所有的向量呢？

問題7：兩個向量表示一個向量，我們其他學科有沒有學過類似的過程？

問題8：物理中兩個力可以合成一個力，那反過來，一個力是不是可以分解為兩個力？

問題9：力的合成與力的分解都需要作平行四邊形，這兩種作平行四邊形的方式一樣嗎？

問題10：我們的向量可不可以也這樣，通過作平行四邊形，把一個向量分解到兩個不共線的向量上去呢？

這里通過類比音樂的“基本音符”得到平面向量中也會有“基本向量”，通過類比“向量共線定理”得到平面內兩個不共線的向量可以表示所有的向量，通過類比力的分解過程得到可以通過作平行四邊形將一個向量分解到兩個不共線的向量上去。這里三次用到類比的思想，根據學生的“最近發展區”設計問題，化繁為簡，讓多數學生想去“試一試”，能去“跳一跳”。問答方式能夠激發求知欲，引導學生積極思考、主動參與。此外，教師還可以借助思維導圖等，幫助學生理清思維脈絡，培養邏輯推理能力。

(三)注重交流與評價，培養思維表達能力

數學中的邏輯推理主要是依靠數學語言進行的，學生如果不能準確使用數學語言，就無法表達自己思考的過程，就會制約學生邏輯推理素養的提升。而新版數學教材(人教2019年版)必修和選擇性必修部分刪掉了“推理與證明”這部分內容，這讓培養學生的思維表達沒有了抓手。此時，在日常教學中，教師可以多給學生一些表達思維過程的機會，加強生生交流、師生交流，糾正學生在邏輯用語使用上的錯誤，規范數學語言表達，提高用準確、簡潔的數學語言表達思維過程的能力。

例如，教師在教學“平面向量基本定理”時，可以展示課堂探究問題：設e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，a是這一平面內與e1、e2都不共線的向量，將a按e1、e2的方向分解。問一問學生有什么發現，讓學生動手畫一畫。教師借助希沃授課助手展示學生成果，學生講解分解過程。但這里作的平行四邊形不是所有的情況，對于其他情況下這個式子不是還成立？可以讓學生自己動手操作，畫完后同桌之間交流，教師再通過希沃授課助手展示一位同學交流成果，學生到講臺講解每種情況。教師再運用幾何畫板動畫演示a在e1、e2的右上、左上、左下、右下區域，與其中一個向量共線，以及a為零向量時都可以表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，說明了表示形式a=λ1e1+λ2e2中系數的存在性，但是表示形式中系數的唯一性，只是看到幾何畫板演示的結果，如何對系數的唯一性進行證明，作為平面向量基本定理學習的難點，可以讓學生進行小組合作交流，再到講臺上分享交流成果。最后教師給出唯一性的規范證明過程。

這里教師三次讓學生展示推理過程，充分留給學生論述邏輯推理過程的機會。與此同時，臺下學生和教師可以隨時提出自己的質疑，臺上學生解答，讓學生發現自身的不足之處。然后教師再適當點撥、評價，糾正學生在邏輯語言使用上經常會出現的一些錯誤，最后教師規范學生用數學語言表達，講清楚證明方法的解題步驟、基本規則和思維方式等。這里對于表示形式中系數的唯一性的證明采用的是反證法，教師在提供規范證明過程的同時，可以滲透反證法的解題步驟和思路，引導學生用準確、簡潔的數學語言表述思維過程、書寫解題步驟。

(四)注重思想方法教學，提高思維水平

數學思想方法具有概括性和普適性。對于數學中的一些知識點，教師在教學中，引導學生掌握一些思想方法。這樣能讓學生更快速地獲取知識，更深刻地理解知識。在教學過程中要注意滲透解題方法、拓寬解題思路、提高解題能力，提升邏輯推理素養。

例如，在立體幾何中，要證明線面平行時，可以根據條件轉化為線線平行。例如：如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點。求證：EF∥平面BCD。

在教學中教師可以引導學生分析解題思路，學生會根據點E、F分別為所在邊中點這一特點，想到連接BD,利用三角形中位線定理，得到線線平行，再根據線在面外，得證結論。教師在教學中要注意捕捉學生說出的“轉化”等字眼，并給予表揚并強調。因為幾何圖形的平面畫法平行性保持不變，可以試著引導學生將直線向要平行的平面中“推”，找到“平移法”證明線面平行問題。教師可以再進一步追問，將點E、F的位置變到所在線段上靠近A點的三等分點、四等分點，還有沒有這一結論？將平面ABD繞直線BD旋轉，但始終保持四邊形為空間四邊形，還有沒有這一結論？讓學生發現這些方法的普遍適用性。因此，在日常教學中教師要滲透“類比”“歸納”“轉化”“數形結合”等思想的教學，并加以應用強化，從而提高邏輯推理水平。

總之，培養高中階段學生的邏輯推理素養非常重要，教師要對此引起足夠的重視，在日常教學中。采用恰當的教學策略，激發學習熱情，拓展思維結構，提升邏輯推理素養。