基于Hermite插值的管片拼裝機(jī)軌跡規(guī)劃

呂志斌，秦東晨，朱強(qiáng)，陳江義

(鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南鄭州 450001)

0 前言

近幾年，隨著國(guó)內(nèi)區(qū)域經(jīng)濟(jì)一體化的不斷發(fā)展，軌道交通建設(shè)越來(lái)越熱火朝天。同時(shí)，各大城市不斷加大對(duì)地下空間的開(kāi)發(fā)利用，使對(duì)周邊環(huán)境影響小、施工速度快、工程質(zhì)量?jī)?yōu)良、施工安全環(huán)保、適用范圍廣的盾構(gòu)施工法越來(lái)越受到歡迎[1]，為盾構(gòu)機(jī)打開(kāi)了一個(gè)空前繁榮的市場(chǎng)。近年來(lái),盾構(gòu)機(jī)的國(guó)產(chǎn)化取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展,國(guó)內(nèi)多家單位都能完成盾構(gòu)機(jī)的獨(dú)立設(shè)計(jì)及制造[2]。管片拼裝機(jī)是盾構(gòu)機(jī)的重要組成部分，在管片拼裝過(guò)程中，盾構(gòu)停止掘進(jìn)，主機(jī)處于靜止?fàn)顟B(tài)[3]。在盾構(gòu)向前掘進(jìn)一環(huán)后，按預(yù)定要求將混凝土管片拼裝成環(huán)，形成襯砌，以此來(lái)支護(hù)剛開(kāi)挖的隧道表面[4]。其拼裝質(zhì)量、精度及效率直接影響隧道施工安全和進(jìn)程[5]。

目前，KOSUGE等[6]進(jìn)行了面向任務(wù)的盾構(gòu)管片拼裝力控系統(tǒng)的研究；程永龍等[7]提出了微型盾構(gòu)半自動(dòng)拼裝技術(shù)；劉飛香[8]研究了智能化抓取以及智能化拼裝方法；王明斗等[9]對(duì)矩形盾構(gòu)的串聯(lián)式管片拼裝機(jī)進(jìn)行了軌跡優(yōu)化。另外隧道股份上海隧道工程有限公司研發(fā)了中國(guó)首臺(tái)推拼同步盾構(gòu)機(jī)[10]；李杰等人[11]對(duì)管片拼裝機(jī)提升系統(tǒng)同步性能進(jìn)行了研究。綜合來(lái)看，這些學(xué)者在管片拼裝機(jī)的液壓仿真以及微調(diào)機(jī)構(gòu)等方面做出了大量工作，但是對(duì)其進(jìn)行軌跡優(yōu)化的研究較少。王明斗等采用的是B樣條曲線，它在兩點(diǎn)間最高只能構(gòu)造二階函數(shù)。文中的研究對(duì)象是成都11號(hào)線盾構(gòu)機(jī)的管片拼裝機(jī)，為雙提升臂拼裝機(jī)。結(jié)合Hermite插值算法對(duì)其進(jìn)行時(shí)間最優(yōu)的軌跡優(yōu)化，提出一種新的拼裝軌跡規(guī)劃方法，可以在條件較少的情況下構(gòu)造高階函數(shù)，使軌跡平滑，從而在降低啟動(dòng)沖擊的同時(shí)，提升管片拼裝機(jī)的拼裝效率。

1 雙提升臂拼裝機(jī)

雙提升臂拼裝機(jī)的粗調(diào)機(jī)構(gòu)是由平移系統(tǒng)、回轉(zhuǎn)系統(tǒng)和提升系統(tǒng)三部分組成。回轉(zhuǎn)系統(tǒng)搭載在平移系統(tǒng)之上，隨平移系統(tǒng)一起運(yùn)動(dòng)；提升系統(tǒng)搭載在回轉(zhuǎn)系統(tǒng)之上，從而實(shí)現(xiàn)平移和回轉(zhuǎn)。其中平移系統(tǒng)和提升系統(tǒng)由對(duì)稱的雙液壓缸來(lái)驅(qū)動(dòng)；回轉(zhuǎn)系統(tǒng)由對(duì)稱的雙液壓馬達(dá)驅(qū)動(dòng)，在保證驅(qū)動(dòng)力的同時(shí)，確保其精確度。管片拼裝機(jī)的三維模型如圖1所示。管片拼裝時(shí)，平移系統(tǒng)控制水平位移，回轉(zhuǎn)系統(tǒng)控制回轉(zhuǎn)角度，提升系統(tǒng)控制管片高度。通過(guò)粗調(diào)機(jī)構(gòu)到達(dá)指定位置附近，再由微調(diào)機(jī)構(gòu)調(diào)整管片位姿偏差，完成管片拼裝。

圖1 管片拼裝機(jī)三維模型Fig.1 Three dimensional model of segment assembler

由于對(duì)接機(jī)器視覺(jué)，其輸出參數(shù)為直角坐標(biāo)系下的三維向量(X,Y,Z)，而管片拼裝機(jī)的輸入?yún)?shù)為(l,θ,d)。其中：l為平移系統(tǒng)的位移，θ為回轉(zhuǎn)系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)角度，d為提升系統(tǒng)的位移。因此需要求管片拼裝機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解。根據(jù)管片拼裝機(jī)的結(jié)果易得其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(1)

式中：r1為機(jī)械結(jié)構(gòu)在徑向上的偏移距離；r2為機(jī)械結(jié)構(gòu)在軸向上的偏移距離。

因此其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解為

(2)

2 軌跡規(guī)劃方法

由于管片質(zhì)量達(dá)到了4 t，因此其空載和負(fù)載的受力有很大不同，空載時(shí)可以提高管片拼裝機(jī)運(yùn)行速度，負(fù)載時(shí)降低其運(yùn)行速度，故將管片拼裝的動(dòng)作分為抓取、遞送、安裝以及回原點(diǎn)4個(gè)部分，從而充分發(fā)揮各階段的特點(diǎn)，優(yōu)化各階段的軌跡，并且消除累計(jì)誤差對(duì)管片拼裝機(jī)自動(dòng)拼裝的影響。

2.1 軌跡規(guī)劃方案

在始末速度優(yōu)化中常用的方法為擺線輪廓速度法[12]，但是通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)采用Hermite插值法將進(jìn)一步降低沖擊力。以啟動(dòng)時(shí)間1 s、最大速度1 m/s為例，對(duì)比兩者的速度和加速度曲線如圖2所示。

圖2 兩者速度(a)和加速度(b)對(duì)比

通過(guò)對(duì)比擺線輪廓速度法，發(fā)現(xiàn)在相同時(shí)間內(nèi)提升到相同的速度三次Hermite插值法的加速度較小，減小了4.5%左右。也就是說(shuō)在負(fù)載的情況下，啟動(dòng)沖擊力減小了2 kN左右。

因此本文作者選用Hermite插值法對(duì)管片拼裝機(jī)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，其流程如圖3所示。

圖3 軌跡規(guī)劃流程Fig.3 Trajectory planning flow chart

為了提高管片拼裝效率，本文作者在保證加速度安全的前提下，采用三次Hermite插值算法將其速度平穩(wěn)而快速地提升。由于每個(gè)動(dòng)作都是由管片拼裝機(jī)的平移、回轉(zhuǎn)以及提升系統(tǒng)共同作業(yè)完成的，因此可以將其分解為3條速度-時(shí)間曲線。首先基于最大加速度的限制比較出各自的最快完成時(shí)間，選取用時(shí)最長(zhǎng)的作為時(shí)間基準(zhǔn)，其他兩個(gè)動(dòng)作基于這個(gè)時(shí)間基準(zhǔn)和已知的位移量。為了保證拼裝機(jī)高效率和平穩(wěn)的運(yùn)行，其運(yùn)動(dòng)軌跡曲線一般需要具有C2連續(xù)性[13]，因此采用五次Hermite插值算法規(guī)劃出路徑，從而使其在達(dá)到最優(yōu)速度的前提下進(jìn)一步降低其加速度。

2.2 加速度計(jì)算

將已知條件列表1如下。

表1 已知參數(shù)Tab.1 Known parameters

對(duì)于平移系統(tǒng)，只需考慮推力。

由F=ma可得，負(fù)載工況下

(3)

空載工況下

(4)

但是由于管片拼裝機(jī)的額定功率為55 kW，經(jīng)過(guò)計(jì)算在抓取階段實(shí)際功率超出額定功率。經(jīng)調(diào)整，空載工況下的加速度也改為4.17 m/s2。

對(duì)于回轉(zhuǎn)系統(tǒng)，為了保證所求的角加速度在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都能達(dá)到，必須考慮其極限工況。即當(dāng)回轉(zhuǎn)角度為±90°時(shí)，重力扭矩最大，總扭矩最小。由T=Jα可得，負(fù)載工況下

(5)

空載工況下

(6)

其中：T1為管片重力產(chǎn)生的扭矩；T2為提升系統(tǒng)自重產(chǎn)生的扭矩；J1為管片繞回轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2為提升系統(tǒng)繞回轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J3為回轉(zhuǎn)系統(tǒng)繞回轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

經(jīng)過(guò)計(jì)算在回原點(diǎn)階段實(shí)際功率超出額定功率。經(jīng)調(diào)整，空載工況下的加速度改為2.8 rad/s2。

對(duì)于提升系統(tǒng)，只需考慮提升力與重力。

由F=ma可得，負(fù)載工況下

12.84 m/s2

(7)

空載工況下

(8)

由于提升系統(tǒng)用時(shí)不長(zhǎng)，通常不作為基準(zhǔn)，不會(huì)滿負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)，因此加速度不做調(diào)整。

2.3 軌跡規(guī)劃方法

為了降低起停沖擊，提高管片拼裝機(jī)的運(yùn)行平穩(wěn)性，將起始位置和末尾位置的速度以及加速度設(shè)為零。

在平移過(guò)程中，假設(shè)其運(yùn)行時(shí)間為t1，最高速度為v1，先用三次Hermite插值法表達(dá)出速度與時(shí)間的表達(dá)式

(9)

同理，回轉(zhuǎn)和提升的表達(dá)式分別為

(10)

(11)

然后根據(jù)算出的最大加速度和輸入的位移量，分別對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行求導(dǎo)和積分，解出時(shí)間t和速度v。

通過(guò)對(duì)比三者的時(shí)間，選取時(shí)間最長(zhǎng)的為基準(zhǔn)動(dòng)作，可得出該動(dòng)作速度與時(shí)間的曲線。對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行求導(dǎo)和積分，可得到加速度與時(shí)間的曲線以及位移與時(shí)間的曲線。

對(duì)于其他兩個(gè)動(dòng)作，根據(jù)已知的位移量和時(shí)間基準(zhǔn)t，采用五次Hermite插值算法分別對(duì)位移進(jìn)行分析，可計(jì)算出其余兩個(gè)動(dòng)作位移與時(shí)間的曲線，求導(dǎo)可得到速度與時(shí)間的曲線以及加速度與時(shí)間的曲線。

3 計(jì)算結(jié)果

通過(guò)管片拼裝機(jī)的設(shè)計(jì)圖紙，確定了各個(gè)動(dòng)作的平移量、回轉(zhuǎn)角度和提升量。其中液壓缸伸出為正，縮回為負(fù)；順時(shí)針回轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針回轉(zhuǎn)為負(fù)。

以K管片為例[14]，其中遞送時(shí)需注意，當(dāng)提升系統(tǒng)快達(dá)到管片厚度時(shí)，平移系統(tǒng)和回轉(zhuǎn)系統(tǒng)均要到達(dá)指定位置，以防碰到已裝好的管片。粗調(diào)參數(shù)列于表2中。

表2 K管片粗調(diào)參數(shù)Tab.2 K segment rough adjustment parameters

運(yùn)用MATLAB算法得出管片拼裝機(jī)的Hermite插值函數(shù)，將其導(dǎo)入ADAMS進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真，繪制出K管片整體動(dòng)作管片的位移、速度以及加速度的曲線如圖4所示。

圖4 運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線

從圖4中可以看出：在K管片拼裝過(guò)程中，管片拼裝機(jī)運(yùn)行平穩(wěn)。拼裝分速度最大出現(xiàn)在回原點(diǎn)階段的Y軸方向，約為2.7 m/s；合速度最大出現(xiàn)在回原點(diǎn)階段，約為2.7 m/s。加速度曲線連續(xù)且無(wú)突變，能夠使運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，從而顯著降低了系統(tǒng)沖擊。其最大分加速度出現(xiàn)在回原點(diǎn)階段X軸方向，約為5 m/s2。最大合加速度出現(xiàn)在回原點(diǎn)階段，約為5 m/s2。

通過(guò)已知數(shù)據(jù)計(jì)算出各動(dòng)作的大致運(yùn)行時(shí)間，列于表3中。

表3 運(yùn)動(dòng)時(shí)間 單位：s

由表3可以看到，目前常用的擺線輪廓法作業(yè)各個(gè)系統(tǒng)在運(yùn)行期間的總用時(shí)大致為40.639 s；即使采用3個(gè)系統(tǒng)并行運(yùn)行，其總用時(shí)大致也要26.097 s；不限速度后的總用時(shí)大致為10.377 s。而采用文中的方法其總用時(shí)大致為9.519 s。相比于現(xiàn)在遙控拼裝常用的擺線輪廓法作業(yè)，總用時(shí)降低了30.82 s，約75.8%；就算采用并行運(yùn)行，總用時(shí)也降低了16.278 s，約62.4%。相比于不限速度的擺線輪廓法，總用時(shí)降低了0.858 s，約8.3%。因此文中采用的五次Hermite插值法拼裝效率最高。

由于大多學(xué)者沒(méi)有對(duì)此進(jìn)行深入研究，因此沒(méi)有過(guò)多的數(shù)據(jù)對(duì)比。且由于管片拼裝機(jī)的微調(diào)整和后續(xù)環(huán)節(jié)主觀性太大，無(wú)法用具體數(shù)據(jù)進(jìn)行精確分析，文中做了相應(yīng)的簡(jiǎn)化，僅做了管片拼裝機(jī)粗調(diào)整的軌跡規(guī)劃，但也大大提升了管片拼裝機(jī)的拼裝效率。

4 結(jié)論

(1)建立了管片拼裝機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并基于Hermite插值算法提出了一種應(yīng)用于管片拼裝機(jī)的軌跡規(guī)劃方法，其加速度曲線連續(xù)，運(yùn)行平穩(wěn)，能大大提高管片拼裝機(jī)的拼裝效率并有效降低沖擊。

(2)編輯了基于Hermite算法的MATLAB程序，輸入平移量、旋轉(zhuǎn)量、提升量以及動(dòng)作序號(hào)可得到平移、回轉(zhuǎn)以及提升系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)函數(shù)。將其導(dǎo)入ADAMS仿真軟件，得出管片拼裝時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線。不僅通過(guò)仿真得出了直觀的運(yùn)動(dòng)學(xué)曲線；還可以為以后接入機(jī)器視覺(jué)輸入、實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化施工[15]和智能控制打下基礎(chǔ)。

(3)采用Hermite插值算法規(guī)劃了一條平穩(wěn)的拼裝路徑，相比于擺線輪廓法減小了4.5%的啟動(dòng)沖擊，更是將拼裝效率提升了約75.8%。就算將來(lái)引入智能化拼裝，采用擺線輪廓法并行運(yùn)行，拼裝效率也提升了約62.4%；即使打破速度限制，拼裝效率也提升了約8.3%。