板球系統(tǒng)的反步時(shí)變快速終端滑模控制

韓光信,王嘉偉*,孟繁江

(1.吉林化工學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院,吉林 吉林 132022;2.吉林省磐石市建龍鋼鐵有限公司,吉林 磐石 132301)

板球系統(tǒng)是由球桿系統(tǒng)二維拓展而來的,通過與電機(jī)連接的兩個相互垂直的旋轉(zhuǎn)軸控制平板運(yùn)動,進(jìn)而控制小球運(yùn)動。作為典型的非線性欠驅(qū)動系統(tǒng),板球系統(tǒng)可以驗(yàn)證各種控制算法對小球軌跡跟蹤的控制效果,其研究成果也可以應(yīng)用于其他非線性系統(tǒng)[1,2]。在對板球系統(tǒng)軌跡跟蹤控制的研究中,文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了一種采用極點(diǎn)分配方法的狀態(tài)反饋控制器,控制小球在平面上的期望位置;文獻(xiàn)[4]研究了一種針對高階非線性系統(tǒng)的級聯(lián)自抗擾控制方法,使用板球系統(tǒng)得到驗(yàn)證;這兩種方法的實(shí)用性較強(qiáng)但控制精度較低。文獻(xiàn)[5-7]在板球系統(tǒng)軌跡跟蹤控制研究中運(yùn)用了滑模控制算法,文獻(xiàn)[5]研究了抑制滑模抖動的方法,然而控制器輸出仍有小幅度的抖動;文獻(xiàn)[6,7]提高了板球系統(tǒng)的控制精度,卻忽略了滑模的抖動問題;文獻(xiàn)[8]針對板球系統(tǒng)PID控制人工整定PID參數(shù)煩瑣的問題,研究了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自整定參數(shù)相結(jié)合的方案,該方法的穩(wěn)定性和魯棒性均優(yōu)于常規(guī)PID和 BP-PID,但未考慮板球X,Y方向耦合作用以及未知擾動可能會使控制精度降低;文獻(xiàn)[9]提出了一種基于交互式ESO的反演控制方法實(shí)現(xiàn)了板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制,但系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間較長;文獻(xiàn)[10]提出了基于三步法的滑模控制方案,實(shí)現(xiàn)板球系統(tǒng)軌跡跟蹤控制的同時(shí),避免了滑模控制中存在的抖振現(xiàn)象,并有效抑制外界擾動,但小球到達(dá)圓軌跡的時(shí)間較長;文獻(xiàn)[11]提出一種級聯(lián)分?jǐn)?shù)階滑模控制器,此控制器在跟蹤精度、響應(yīng)速度、抖振效應(yīng)和能效方面優(yōu)于滑模控制器,但系統(tǒng)抗擾能力沒有得到提升;文獻(xiàn)[12]結(jié)合低通濾波器,基于反步法設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)反步滑模控制方法,對比了有擾動和無擾動的情況,該方法提高了板球系統(tǒng)軌跡跟蹤控制的控制精度,但多次低通濾波器會增加系統(tǒng)參數(shù)整定的難度;文獻(xiàn)[13]結(jié)合低通濾波器重新構(gòu)建板球系統(tǒng)模型,再采用反演控制方法對板球系統(tǒng)進(jìn)行軌跡跟蹤控制,該方法能更快趨于穩(wěn)定,且抗擾能力更強(qiáng),但系統(tǒng)趨于穩(wěn)定跟蹤控制時(shí)間較長。

以上文獻(xiàn)中學(xué)者在對板球系統(tǒng)軌跡跟蹤控制的研究中多采用了滑模控制,本文為提高板球系統(tǒng)軌跡跟蹤控制精度,提升系統(tǒng)的抗擾能力,根據(jù)文獻(xiàn)[14-18]提出了一種時(shí)變快速終端滑模面,并設(shè)計(jì)了一種基于反步法的板球系統(tǒng)時(shí)變快速終端滑模控制器。由反步法推出板球系統(tǒng)的反步控制規(guī)律,結(jié)合時(shí)變快速終端滑模控制器,消除跟蹤誤差,并通過使用雙曲正切函數(shù)抑制滑模的抖動,最后,使用低通濾波器進(jìn)一步抑制控制器輸出的抖動。仿真結(jié)果證明,相較于反步滑模控制,該控制方案有更好的軌跡跟蹤控制效果。

1 問題描述

1.1 板球系統(tǒng)建模描述

板球系統(tǒng)主要由伺服系統(tǒng)、兩個驅(qū)動器、機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)、平板、小球、電源和視覺系統(tǒng)構(gòu)成,通過兩個伺服電機(jī)控制平板在X,Y兩個方向傾斜,從而控制小球在平板上的位移與速度。圖1所示為加拿大QUANSER公司生產(chǎn)的板球?qū)嶒?yàn)裝置。

圖1 QUANSER板球?qū)嶒?yàn)平臺

根據(jù)歐拉-拉格朗日方程,忽略小球與平板之間的摩擦以及小球自身滾動的摩擦,建立板球系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)模型[19]:

(1)

其中,(x1,x2)和(x5,x6)分別為小球在平板X方向和Y方向上的位移與速度;x3,x7分別為平板在小球在X,Y方向上的轉(zhuǎn)動角度;x4,x8分別為小球在X,Y方向上的角速度;系統(tǒng)的控制輸入為小球的角加速度,即ux,uy。d1,d2分別表示板球系統(tǒng)在X,Y軸方向上受到的未知擾動。B=m/(m+Jb/r2),m為小球質(zhì)量,Jb是小球的轉(zhuǎn)動慣量,r是小球半徑,y是系統(tǒng)的位置輸出。一般條件下平板的傾斜角度較小,不會超過±6°,小球無滑動現(xiàn)象,所以式(1)中的x1x4x8,x4x5x8可以忽略不計(jì),令k=-Bg,系統(tǒng)經(jīng)解耦、線性化處理后得到如下系統(tǒng)的簡化模型:

(2)

(3)

1.2 控制方案

由于小球在平板上不受約束,當(dāng)小球以較大速度運(yùn)動時(shí),攝像頭采集小球位置存在滯后現(xiàn)象,且由于小球X,Y兩軸具有強(qiáng)耦合性,以及自身和外部擾動因素,都會影響系統(tǒng)穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的控制精度。為提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,提升系統(tǒng)的抗干擾能力,減小系統(tǒng)誤差,本文針對四階板球系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)了一種基于反步法的誤差時(shí)變快速終端滑模控制器。首先通過反步控制器獲得系統(tǒng)的各狀態(tài)變量的誤差狀態(tài)變量zi,zj,再通過時(shí)變快速終端滑模控制器消除誤差,獲得板球系統(tǒng)在X,Y方向上的控制規(guī)律ux,uy。針對滑模的抖動問題,在時(shí)變快速終端滑模控制器部分使用了雙曲正切函數(shù),并設(shè)計(jì)了一階低通濾波器過濾高頻信號,最終實(shí)現(xiàn)板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制。控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 反步時(shí)變快速終端滑模控制結(jié)構(gòu)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 反步時(shí)變快速終端滑模控制器設(shè)計(jì)

反步法實(shí)際上是利用逆推方法,遞進(jìn)式地選擇合適的Lyapunov函數(shù),在每一個子系統(tǒng)中,將復(fù)合系統(tǒng)的狀態(tài)變量和所設(shè)計(jì)的虛擬函數(shù)聯(lián)系起來進(jìn)行逐步推導(dǎo),得出控制規(guī)律后設(shè)計(jì)反饋控制器,最后證明整個系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的[20]。板球系統(tǒng)在X,Y方向上是對稱分布的,故對X方向的控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)即可,Y方向上的控制器設(shè)計(jì)參考X方向。以X方向?yàn)槔?

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

得到反步控制規(guī)律為

(13)

設(shè)計(jì)時(shí)變快速終端滑模面為

s=z1+c5|z1+z2+z3+z4|r1sgn(z1+z2+z3+z4) 。

(14)

其中,c5=1/β,β>0。設(shè):

(15)

(16)

對式(14)求導(dǎo)得

(17)

采用指數(shù)趨近律:

(18)

聯(lián)立式(17)、(18)可得時(shí)變快速終端滑模控制規(guī)律為

(19)

為了抑制滑模的抖動,使用式(21)所示的雙曲正切函數(shù)tanh(s/δ)替代符號函數(shù)sgn(s)[21]:

(20)

雙曲正切函數(shù)有以下特點(diǎn):

1.χeχ/δ≥0 ;

其中,δ>0。由ux=ux1+ux2,結(jié)合式(13)、(19),并將式(4)和虛擬控制量α1、α2、α3及其一階微分代入,可得最終得到板球系統(tǒng)在X方向上的控制規(guī)律:

(21)

f1=1+2c2+c3,f2=(2+k+kc1+2k2c1+c1+c2+2c3+2c1c2+c1c3+c2c3+2c1c2c3)/k,

f3=1+4c2+2c3+c4,f4=(2+k+k2+kc1+2k2c1+2c2+2c3+2c1c2+2c2c3+2c1c2c3)/k,

f5=(k+c1+c2+c3)/k,f6=(3+k+2k2+2c1+2c2+c3+2c1c2+2c1c3+2c2c3)/k,

f7=(2+2c1+2c2+2c3)/k,f8=(1+k+k2+kc1+kc2+c1c2+c1c3+c2c3)/k,

f9=(1+k2c1+c3+c1c2+c1c2c3)/k,f10=(1+k+kc1+k2c1+c1c2+c3+c1c2c3)/k,

f11=(1+k+k2+2c2+c1c2+2c2c3)/k,f12=3+k+k2+4c2-c3+2c1c2+4c2c3。

2.2 低通濾波器

設(shè)計(jì)如下一階低通濾波器:

(22)

其中,τ為低通濾波器的時(shí)間常數(shù),且τ>0;uc為濾波后的控制輸入;ud為濾波前的控制輸入[12]。

2.3 穩(wěn)定性證明

(23)

對式(23)求導(dǎo):

(24)

3 仿真結(jié)果與分析

(25)

的心形軌跡,小球以(0,0)為起始位置,在第40 s加入幅值為0.01,寬度為1 s的階躍干擾信號。圖3為兩種控制器的軌跡跟蹤控制結(jié)果。

x1/m圖3 心形軌跡跟蹤控制仿真結(jié)果

圖4為兩種控制方法在X,Y方向上的跟蹤誤差,圖5為兩種控制方案在X和Y方向上的控制器輸出。由圖3～5可知:反步時(shí)變快速終端滑模與反步滑模控制在3 s和8 s左右趨于穩(wěn)定跟蹤,反步時(shí)變快速終端滑模控制在X,Y方向上的跟蹤誤差絕對值的平均值皆約為0.03 mm,反步滑模控制在X,Y方向上的跟蹤誤差絕對值的平均值皆約為0.3 mm;系統(tǒng)在受到相同階躍擾動時(shí),反步時(shí)變快速終端滑模控制的小球在X,Y方向上各偏移了8 mm左右,在擾動發(fā)生后2.5 s左右趨于穩(wěn)定跟蹤,反步滑模控制的小球在X,Y方向上各偏移了12 mm左右,在擾動發(fā)生后6.5 s左右趨于平穩(wěn),且相比于反步時(shí)變快速終端滑模控制器輸出,反步滑模控制器輸出有明顯抖動。

圖4 心形軌跡X,Y方向跟蹤誤差

(a) 反步時(shí)變快速終端滑模

(b) 反步滑模圖5 心形軌跡控制器輸出

第2種跟蹤軌跡為

(26)

的梅花形軌跡,小球以(0.08,0.08)為起始位置,在第40 s加入幅值為0.01,寬度為1 s的階躍干擾信號。圖6為兩種控制器的梅花形軌跡跟蹤控制結(jié)果;圖7為兩種控制方法在X,Y方向上的跟蹤誤差;圖8為兩種控制方案在X和Y方向上的控制器輸出。由圖6～8可知:反步時(shí)變快速終端滑模與反步滑模控制大約在2.5 s和4.5 s左右趨于穩(wěn)定跟蹤,反步時(shí)變快速終端滑模控制在X,Y方向上的跟蹤誤差絕對值的平均值皆約為0.2 mm,反步滑模控制在X,Y方向上的跟蹤誤差絕對值的平均值皆約為1 mm;系統(tǒng)受到擾動時(shí),反步時(shí)變快速終端滑模控制的小球在X,Y方向上各偏移了7 mm左右,在擾動發(fā)生后,2.5 s左右趨于穩(wěn)定跟蹤,反步滑模控制的小球在X,Y方向上各偏移了10 mm左右,在擾動發(fā)生后4.5 s左右趨于穩(wěn)定跟蹤;反步時(shí)變快速終端滑模控制的抖動抑制效果要強(qiáng)于反步滑模控制。綜上可知,本文設(shè)計(jì)的反步時(shí)變快速終端滑模控制相較于反步滑模控制,抑制抖動的能力更強(qiáng),能更快趨于穩(wěn)定跟蹤,抗干擾能力更強(qiáng),控制精度更高,軌跡跟蹤控制效果更好。

圖7 梅花軌跡X,Y方向跟蹤誤差

(a) 反步時(shí)變快速終端滑模

(b) 反步滑模圖8 梅花軌跡控制器輸出

4 結(jié) 論

本文針對板球系統(tǒng)遇到擾動時(shí)誤差大,控制精度低的問題,基于反步法的板球系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種時(shí)變快速終端滑模控制器。將仿真結(jié)果與反步滑模控制進(jìn)行對比,該方法能有效抑制控制器輸出抖動,抗干擾能力更強(qiáng),控制精度更高,對板球系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制效果更好。