星型人字齒輪傳動系統非線性分岔特性

白壯華， 林 何,2*

(1.西安工程大學 機電工程學院， 陜西 西安 710048；2.西安工程大學 西安市現代智能紡織裝備重點實驗室， 陜西 西安 710600)

齒輪裝置廣泛應用于大型重工機械和小型精密儀器等領域中，齒輪系統在各種非線性因素耦合干擾下，產生的振動和噪聲極大地惡化了工作環境，因此為改善齒輪系統的工作穩定性及傳動噪聲，對齒輪系統動力學特性研究和優化是非常必要的[1-3]。星型人字齒輪傳動系統因其功率密度高、傳動比大和結構強度優等特點常應用于重載和可靠性要求高的設備中。為了解星型齒輪系統振動分岔行為，改善其響應性態，很多國內外學者對其動力學行為和振動特性進行了研究和優化[4-5]。Kahrarman[6]建立了單級行星齒輪傳動系統的純扭轉動力學方程，通過數值求解得到了行星齒輪傳動系統的模態和振型；邱星輝等[7]從研究現狀、動力學優化設計和發展方向等方面對風力發電機行星齒輪傳動系統動力學進行了綜述；林何等[8]推導了行星人字齒輪嚙合傳動的時變嚙合剛度動態梯形圖，建立了人字齒行星齒輪傳動的扭轉非線性動力學模型，并對系統擬周期振動特性進行了分析；李同杰等[9]建立了直齒行星齒輪傳動純扭轉動力學模型，分析了激勵頻率、齒側間隙對該系統動力學特性的影響。Wei等[10]利用虛擬等效軸單元的動力學建模方法構建了人字齒行星齒輪系統的動力學模型；Mo等[11]基于集中參數理論和Lagrange方法建立了人字齒行星傳動系統的動力學模型。

為研究嚙合阻尼比對星型人字齒輪系統分岔特性的影響，課題組建立了星型人字齒輪系統純扭轉非線性動力學模型，利用Runge-Kutta法對動力學微分方程數值求解，通過不同轉速下系統的相圖、龐加萊(Poincaré)截面和分岔圖對系統分岔演化過程進行研究，分析不同轉速條件下嚙合阻尼比對系統振動響應及分岔特性的影響。

1 系統非線性動力學模型

課題組采用集中質量法建立星型人字齒輪傳動系統非線性動力學模型，系統端面動力學模型如圖1所示。該系統功率主要由太陽輪輸入并分流到行星輪，再由行星輪匯集到內齒圈進行輸出。其中kspi,krpi(i=1,2,3)分別為太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈之間的嚙合剛度，各彈性支承及嚙合副均有阻尼和尺側間隙。θs,θpi(i=1,2,3)和θr分別為太陽輪、第i個行星輪和內齒圈的旋轉振動位移。

圖1 星型人字齒輪系統傳動系統端面模型Figure 1 End face model of star herringbone gear transmission system

為了更直觀地表明各構件的運動情況，針對任一個行星輪i建立如圖2所示的嚙合型動力學模型。系統中所有齒輪均為人字齒輪，將每個人字齒輪視為由2個完全相同僅旋向相反的斜齒輪拼合而成，中間為歐拉梁單元連接，圖中質量節點s1,s2分別代表太陽輪左、右2個斜齒輪;pi1,pi2分別代表行星輪i(i=1,2,3)左、右兩側斜齒輪；r1,r2代表內齒圈左、右2個斜齒輪；斜齒輪基圓螺旋角為β1，β2(左旋為正，右旋為負)，故有β2=-β1；cspi,crpi(i=1,2,3)分別為太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈之間的嚙合阻尼；espi,erpi(i=1,2,3)分別為太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈之間的綜合傳動誤差；b為尺側間隙；Ts,Tr分別為輸入扭矩和輸出扭矩。

圖2 星形人字齒輪傳動系統動力學模型Figure 2 Dynamic model of star herringbone gear transmission system

星型人字齒輪系統主要動力學參數如表1所示。行星輪個數為3，模數為4 mm，安裝角αpi(i=1,2,3)分別為0,2π/3,4π/3,法面壓力角αn為20°，基圓螺旋角β為22.5°，平均嚙合剛度取2×109N·m-1，太陽輪輸入功率為3 000 kW，剛度波動系數為0.1，輸入、輸出扭矩波動系數為0.5，尺側間隙值為0.1 mm。

表1 星型人字齒輪系統部分動力學參數

根據牛頓第二運動定律構建系統動力學微分方程：

(1)

式中I為部件的轉動慣量。

用傅里葉級數展開定義輪齒時變嚙合剛度：

(2)

式中：К為時變嚙合剛度均值，ω為嚙合頻率，ε為時變嚙合剛度波動系數，φ0為嚙合初始相位角。

定義初始相位角：

φspi=αt-αpi;φrpi=αt+αpi。

(3)

式中αt為齒輪端面壓力角。

太陽輪和第i個行星輪左、右側沿嚙合線方向的相對位移Γspi1，Γspi2,內齒圈和第i個行星輪左、右側沿嚙合線方向的相對位移Γrpi1,Γrpi2，分別為：

(4)

式中：eij(t)=Esin (ωt+φ0)，其中i=1,2,3，j=1,2,3,4；E為綜合傳動誤差幅值。

τ=Υt,Λ(τ)=Γ(t),δ=b/Δ。

系統消剛體位移和量綱為一的動力學微分方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

f(Λ)為量綱為一的含尺側間隙碰撞位移分段函數，即：

(9)

2 系統分岔特性分析

阻尼比是齒輪系統中重要的動力學參數。為研究阻尼比對星型人字齒輪系統分岔特性的影響，取不同太陽輪轉速下系統在阻尼比范圍為0.05～0.20時振動位移Λsp11的分岔過程。

圖3為太陽輪轉速為7 000 r/min時系統的分岔過程。系統首先經歷混沌狀態，隨著阻尼比的增大系統經歷倒分岔從混沌進入倍周期，由倍周期進入二周期，最后進入穩定的單周期運動。圖4和圖5為系統在混沌狀態和二周期狀態下的相圖和Poincaré截面圖。

圖3 轉速為7 000 r/min時系統分岔過程Figure 3 Bifurcation process of system at 7 000 r/min

圖4 阻尼比為0.06時系統混沌狀態Figure 4 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖5 阻尼比為0.15時系統二周期狀態Figure 5 Two-cycle state of system with damping ratio at 0.15

圖6為太陽輪轉速為10 000 r/min時系統的分岔過程。系統首先經歷混沌狀態，隨著阻尼比的增大系統直接跳躍激變為二周期運動，再由倒分岔進入單周期狀態。圖7和圖8為系統在混沌狀態和單周期狀態下的相圖和Poincaré截面圖。

圖6 轉速為10 000 r/min時系統分岔過程Figure 6 Bifurcation process of system at 10 000 r/min

圖7 阻尼比為0.06時系統混沌狀態Figure 7 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖8 阻尼比為0.18時系統單周期狀態Figure 8 One-cycle state of system with damping ratio at 0.18

圖9為太陽輪轉速為13 000 r/min時系統的分岔過程。系統首先經歷混沌狀態，隨著阻尼比的增大系統經歷倒分岔從混沌進入四周期狀態，再由四周期狀態進入二周期狀態，最后進入穩定的單周期運動狀態。圖10和圖11為系統在混沌狀態和四周期狀態下的相圖和Poincaré截面圖。

圖9 轉速為13 000 r/min時系統分岔過程Figure 9 Bifurcation process of system at 13 000 r/min

圖10 阻尼比為0.06時系統混沌狀態Figure 11 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖11 阻尼比為0.10系統四周期狀態Figure 11 Four-cycle state of system with damping ratio at 0.10

由不同轉速條件下系統隨嚙合阻尼比的分岔過程及其在各種狀態下的相位圖和Poincaré截面圖可以發現：在不同工況條件下系統隨嚙合阻尼比的增大，均由復雜的混沌狀態逐漸演變為了穩定的單周期運動狀態。因此星型人字齒輪系統在滿足工況要求的前提下，適當增大齒輪系統嚙合阻尼比可以有效避開混沌運動狀態，減小振動響應，提高系統穩定性，起到減震降噪的功效。

3 結語

課題組構建了星型人字齒輪傳動系統純扭轉動力學模型，對模型進行了消剛體位移和量綱一化，并利用Runge-Kutta法對其進行了求解；通過系統在不同轉速條件下的分岔通道揭示了阻尼比對星型人字齒輪系統分岔特性的影響，并通過相位圖和Poincaré截面圖分析了系統在相空間狀態下的動態軌跡行為。結果表明：在不同轉速工況下星型人字齒輪系統動力學行為均隨阻尼比的增大從最開始的混沌狀態逐漸趨于穩定。因此適當增大系統嚙合阻尼比可以有效規避混沌運動，起到減振降噪的作用。