從一根針里找到圓周率

王培賢

如果給你一根針，你能求出圓周率嗎？這聽起來就像是要雞吃完了米、火燒斷了鎖、狗舔完了面的經(jīng)典劇情——你怕不是在為難我？此時(shí)，若是蒲豐在，興許要插上一句：“還得是我呀！”

18世紀(jì)的法國正處于啟蒙運(yùn)動(dòng)的熱潮中，科學(xué)和理性的思想深入人心，各個(gè)領(lǐng)域的名家大拿如雨后春筍般發(fā)表著自己的學(xué)說和著作，蒲豐就是其中一位。他年輕時(shí)修習(xí)法學(xué)、數(shù)學(xué)，乃至植物學(xué)，干一行，行一行，27歲時(shí)就當(dāng)選了法國科學(xué)院院士，還在1771年接受了法國國王路易十五的封爵，可謂人生圓滿，但他的故事沒有就此結(jié)束。

1777年，年至古稀的蒲豐不再像年輕時(shí)那樣鋒芒畢露。是日，春和景明，波瀾不驚，蒲豐閑來無事，邀請(qǐng)一群老友共敘往昔?？傻搅似沿S家，蒲豐卻示意老友：“先別急，我有個(gè)好玩的小游戲給大家展示一下?！崩嫌褌兠婷嫦嘤U。只見蒲豐拿出一張紙鋪在桌子上，紙上事先畫好了一條條距離相等的平行線，然后抓來一把小針分給老友，每根小針的長度正好是平行線間距的一半。準(zhǔn)備完這一切后，蒲豐捏著高腳杯，優(yōu)雅地宣布：“現(xiàn)在，請(qǐng)各位把小針挨個(gè)往紙上扔吧！”老友們心里犯嘀咕，不知道這家伙葫蘆里賣的什么藥，但出于對(duì)蒲豐的信任，大家還是照做了，把小針一根一根胡亂地扔在紙上，扔完一把又撿起來繼續(xù)扔，蒲豐則在一旁緊張地寫寫畫畫。就這樣，大家忙碌不停，完全忘記了今日聚會(huì)的緣由。

良久，蒲豐才停下筆，抽出手帕擦了擦額頭的汗，高聲宣布：“朋友們，方才我一一記錄了大家的投針結(jié)果，總共投了2212次，這其中與平行線相交的次數(shù)是704次！各位知道這代表什么嗎？”不等眾人回答，蒲豐飛快地做了一個(gè)除法：“總數(shù)2212與相交數(shù)704的比值約等于3.142，而這，就是圓周率π的近似值！”

聽到這里，老友們一下子清醒了。這群人都是各行各業(yè)的精英能手，自然知道圓周率這一學(xué)術(shù)熱點(diǎn)，可這圓周率從哪兒來的？連圓的影子都沒見著?。M意地看到老友們的震驚表情，蒲豐得意揚(yáng)揚(yáng)地解釋道：“諸位不用懷疑，這不是一個(gè)巧合，而是無數(shù)個(gè)巧合堆積出來的確定。你們看，不需要圓規(guī)，也能求出π的近似值，只要你愿意，投得越多，結(jié)果就越精確。至于其中原理嘛……敬請(qǐng)關(guān)注鄙人新作《或然性算術(shù)試驗(yàn)》！”

這便是數(shù)學(xué)史上著名的“蒲豐投針”試驗(yàn)。今天的我們可以客觀評(píng)價(jià)它的意義：首次用幾何形式表達(dá)概率問題，首次使用隨機(jī)試驗(yàn)處理確定性數(shù)學(xué)問題，推動(dòng)了概率論的發(fā)展。

那么，蒲豐到底是怎么做到的？在《或然性算術(shù)試驗(yàn)》中，蒲豐給出了該問題的結(jié)論：若一根長度為l的小針，拋在橫線間間距為d≥l的均勻橫紋紙上，則小針落在一個(gè)與某條橫線相交的位置的概率恰為 p=? ? ? ?。我們不妨設(shè)想一個(gè)相對(duì)簡單的推導(dǎo)過程來幫助理解。

首先，拋開蒲豐試驗(yàn)，咱不投針，投鐵絲。將一根長度大于平行線間距的鐵絲丟在紙上，可能產(chǎn)生的交點(diǎn)數(shù)為2個(gè)、1個(gè)或者不相交。然后改變一下思路，把同樣的鐵絲彎折后扔到紙上會(huì)怎樣？顯然這樣更難相交，但是一相交，就有兩個(gè)交點(diǎn)。如果考慮交點(diǎn)總數(shù)的話，兩者的結(jié)果可能是相近的。由此，我們做一個(gè)假設(shè)：當(dāng)投擲次數(shù)足夠多的情況下，交點(diǎn)總數(shù)與鐵絲的長度有關(guān)，與形狀無關(guān)。而由于鐵絲越長，就越容易與平行線產(chǎn)生交點(diǎn)，我們可以進(jìn)一步推出：交點(diǎn)總數(shù)m與鐵絲長度l成正比，比例系數(shù)為k，即m=kl。

蒲豐試驗(yàn)的神奇之處，在于全程未見圓，卻能得出圓周率。現(xiàn)在，有了上面兩個(gè)假設(shè)，我們回到試驗(yàn)中去，把隱藏在背后的圓“揪出來”。怎么做？再找一根鐵絲，彎折成圓圈狀，使其直徑恰好等于平行線的間距d，此時(shí)鐵絲長度為l=πd?？梢韵胂?，不論怎么丟鐵絲，都會(huì)與平行線有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)投擲次數(shù)為n時(shí)，交點(diǎn)總數(shù)m=2n，于是有k=? ? ?，有點(diǎn)意思了吧？再把k代入前式，變形后可以得到? ? =? ? ?，即鐵絲與平行線相交的概率p=? ? ? ！現(xiàn)在看看蒲豐先生的小針：小針長度（l）為平行線間距（d）的一半，這不就是2l=d嘛，在這種情況下p=? ?，圓周率確實(shí)可以由投針相交結(jié)果逼近。

你以為到這里就圓滿結(jié)束了？不，這才哪到哪。前面說過，這個(gè)方法是為了便于理解而設(shè)計(jì)的，實(shí)際上對(duì)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性做出了讓步。經(jīng)過兩百多年的發(fā)展，關(guān)于蒲豐試驗(yàn)的研究經(jīng)久不衰，有標(biāo)準(zhǔn)的幾何概型和積分證明，有蒙特卡洛方法，也有各國學(xué)者對(duì)蒲豐試驗(yàn)的諸多改良，若是都講一遍，那本文恐怕要比蒲豐的《或然性算數(shù)試驗(yàn)》還要厚了。令人感嘆的是，蒲豐在古稀之年的有趣試驗(yàn)，如今已然成了一棵參天大樹，這位博物學(xué)家也在天才輩出的數(shù)學(xué)領(lǐng)域留下了自己的名字，在兩百多年后的今天仍然散發(fā)著閃耀的智慧光芒。