基于滑輪組和永磁彈簧的變剛度關節設計與控制

張 明 馬鵬菲 孫 鳳 孫興偉 徐方超 房立金

(1.沈陽工業大學機械工程學院， 沈陽 110870； 2.東北大學機器人科學與工程學院， 沈陽 110169)

0 引言

隨著機器人參與人類日常生活生產的增加，機器人的人機交互安全性和環境適應性問題越來越受到重視。相較于傳統的剛性機器人，變剛度機器人具有更好的環境適應性，并在人機交互中具備更好的安全性[1-3]。因此變剛度機器人一直被海內外學者所關注與研究。經過多年的探索，目前柔性變剛度機器人主要分為：具有柔性變剛度機械結構的機器人[4-5]和利用彈性材料產生剛度變化的機器人[6-7]。其中采用機械結構實現機器人剛度變化的變剛度方式，使用最為廣泛。例如AWAS(Actuator with adjustable stiffness)系列[8-9]，CompAct-variable stiffness actuator (CompAct-VSA)[10]、Hybrid variable stiffness actuator (HVSA)[11]、Variable stiffness joint (VSJ)[12]、Active variable stiffness elastic actuator(AVSEA)[13]等結構通過改變杠桿支點與輸出末端之間彈簧的距離實現變剛度。Mechanically adjustable compliance and controllable equilibrium position actuator(MACCEPA2.0)[14-15]、Parallel-type variable stiffness actuator (PSVA)[16]等結構則應用特殊曲面實現剛度的變化。OSADA等[17]設計的人型機器人“Kojiro”中為其關節處加入了柔性變剛度模塊，首次提出了線繩驅動變剛度模塊被世界廣泛認可，在變剛度關節研究中開辟了一個新的方向。文獻[18]以非線性彈性元件(Nonlinear spring tension unit，NST)為基礎，進一步的研究設計出了FAS(Flexible antagonistic spring)結構，其原理是使定滑輪位置可以發生變化，使原有的固定三角形結構隨著拉力的變化而改變，從而實現更強的剛度變化。YONG-JAE等[19-21]基于NST線繩驅動的理念設計了LIMS(Low inertia manipulator with high stiffness and strength)系列7自由度機械臂，并在關節部分運用滑輪組結構，實現了輸出倍數增長的效果和手腕處大范圍轉動。由于目前存在的機器人關節仍無法實現同時滿足剛度變化范圍、關節轉矩和轉動范圍3種參數的最優化設計，為了進一步提高關節性能，需要不斷對關節進行優化設計。

為了使變剛度機器人肘關節具有更接近人體肘關節的運動范圍，同時具有更優良的剛度變化能力，本文設計一種基于永磁彈簧、滑輪組和類行星輪系結構的線繩驅動的變剛度機器人肘關節，闡述機器人變剛度肘關節的實現原理和機械構成。建立變剛度肘關節的剛度模型，以解決并聯式繩驅變剛度肘關節的位置與剛度耦合的問題。以變剛度關節的動力學模型為基礎，設計變剛度肘關節的剛度與位置的解耦控制器，并進行解耦驗證和位置控制實驗等，以驗證變剛度機器人肘關節設計合理性和方案可行性。

1 變剛度肘關節原理分析

1.1 磁彈簧變剛度原理

圖1為磁彈簧變剛度模塊內部結構。通過將兩塊參數相同磁極相對的永磁環同軸心布置在變剛度模塊的支撐結構和滑動導柱上，并在兩個結構上分別設置定滑輪，當依次穿過其中的線繩受力變化時，線繩拉動滑動導柱使兩永磁環之間的氣隙Z不斷減小。當兩個永磁環逐漸靠近時，由于氣隙變化產生的斥力F呈非線性變化來對抗線繩的拉力。動滑輪、定滑輪和繞在期間的線索呈等腰三角形布置，線繩長度變化量Δl隨著氣隙Z減小呈非線性關系增加。線繩上的拉力T隨著氣隙變化呈更強的非線性關系變化。因此在不改變線繩拉力的情況下，增加了線繩剛度變化范圍。根據剛度公式并結合虛位移原理，變剛度模塊的非線性剛度變化關系為

圖1 磁彈簧變剛度模塊Fig.1 Variable stiffness module of magnetic spring1.直線軸承 2、4.釹鐵硼永磁環 3.滑動導向槽

(1)

式中k——剛度

1.2 動滑輪組原理

根據動滑輪力學特性，在肘關節內部(圖2)，將動滑輪組對稱布置在轉動盤兩側?；喗M中一端固定在大臂定轉動盤上，另一端固定在小臂動轉動盤處，并隨小臂轉動。動轉動盤和連接在其幾何中心的支撐架，形成類似于行星輪和行星架結構。當其中一組動滑輪組受到拉力Tj時(j=1,2),可以推導求得滑輪組對小臂轉動盤的拉力為

圖2 肘關節內部繞線結構Fig.2 Internal wires structure of elbow joint

τ′=nηTj

(2)

式中η——線繩拉力方向矢量

n——滑輪組中線繩纏繞圈數

τ′——小臂轉動盤拉力

因此電機對小臂的驅動力矩被放大n倍。

2 變剛度肘關節樣機實現

基于以上兩種原理設計了變剛度機器人肘關節結構三維模型，如圖3所示。兩套線繩驅動系統對稱布置，線繩的一端固定在動滑輪上，依次穿過變剛度模塊、線索導向結構，另一端固定在與電機固連的線繩絞盤上。整體肘關節通過控制兩臺電機的轉動角，帶動兩根線繩實現收緊與放松過程，分別完成變剛度模塊中磁環間隙減小和帶動兩片轉動盤完成相對類嚙合轉動，實現對肘關節的位置和剛度控制。其中在關節的狀態參數發生改變時，關節轉動將會引起線繩長度變化，但磁彈簧變剛度并不會受關節轉動而發生改變。兩組滑輪組結構以圓心點O0和O1對稱布置，形成和人體手臂肌肉相似的拮抗式結構。如圖4所示，根據以上設計思想加工了變剛度關節樣機。整體結構中使用線繩傳動可以使電機后置，同時各零部件在設計中應用輕量化設計理念，有效減小了小臂質量。此種布置方式可以應用到多自由度復雜操作臂中，通過線繩驅動多級關節可以減小關節對電機性能的需求。在變剛度關節中，線繩轉向的部分均使用滑輪作為導向，并在線繩轉向處，滑輪均為中線相切布置，保證線繩傳遞的穩定準確。檢測關節轉角的編碼器與轉動保持架同步轉動，實時檢測關節轉角，并推算出對應肘關節的實際運動位置。

圖3 肘關節三維模型內部結構圖Fig.3 Internal three-dimensional structure of elbow joint1.小臂 2.動滑輪組 3.磁彈簧變剛度模塊 4.線繩絞盤 5.傳動支架 6.大臂 7.線繩導向機構

圖4 肘關節樣機Fig.4 Elbow joint prototype

3 肘關節剛度模型建立

根據關節結構設計布置可知，變剛度關節只在二維平面內運動，因此在平面內建立變剛度肘關節的坐標系如圖5所示。基坐標系O0{x0,y0}位于固定轉動盤的圓心處，動坐標系O2{x2,y2}位于與固定轉動盤嚙合的動轉動盤的圓心處，且y2與小臂軸向方向同向。動坐標系O1{x1,y1}位于類行星架的末端，且y1與行星架的軸向方向同向，類行星架長度是固定轉動盤圓心到動轉動盤中心的距離。行星架隨著動轉動盤的嚙合旋轉而轉動。由于兩片轉動盤半徑相等，因此小臂旋轉角度θ是類行星輪系結構轉動角γ的2倍，即θ=2γ。

圖5 肘關節二維平面簡圖Fig.5 Two-dimensional plan of elbow joint

通過對肘關節進行靜力學特性分析可以降低后續計算的復雜性，由于兩片轉動盤可以形成類嚙合轉動，所以兩片轉動盤的轉動接觸點始終在O0O2連線上。對轉動盤接觸點，通過取矩可得關節在轉動范圍內任意位置時靜力力學等式為

τ1r1+τ2r2-Grg=0

(3)

式中τ1——紅色純繩拉力G——小臂重力

τ2——藍色線繩拉力

rg——小臂重力瞬時力臂

r1——紅色線繩瞬時力臂

r2——藍色線繩瞬時力臂

根據轉動結構設計，在關節靜力學簡化模型中，變剛度肘關節的兩片轉動盤轉動接觸點O1始終在類行星輪系的圓心線O0O2上，使關節呈類嚙合方式轉動。對點O1取矩，根據肘關節內部結構，結合靜力學平衡方程推導得到2條線繩作用力與小臂重力之間的關系式為

(4)

式中D——類行星輪系中圓心線O0O1距離

w——肘關節內部對稱布置的兩滑輪組之間的距離

聯立式(3)、(4)可得肘關節運動方程為

(5)

式中J1——關節轉動慣量

Bi——系統阻尼

變剛度肘關節中，驅動電機作為驅動輸入單元，通過控制線繩變化實現各模塊工作，由于變剛度肘關節中各傳動部位均設置導向傳動結構，所以線繩驅動系統中各模塊線繩上的拉力近似相等。由此可將輸入肘關節內部的線繩拉力近似看作磁彈簧變剛度模塊中線繩的輸出拉力，結合動滑輪的力學特性得到肘關節滑輪組對小臂作用的線繩拉力的近似表達式為

(6)

結合虛位移原理，當假設給定一個極小的輸入轉矩，變剛度肘關節小臂輸出端將會產生一個極小的轉動角，此時關節力學表達式為

(7)

通過式(7)的變形推導，可以得到變剛度肘關節的剛度矩陣Kθ。根據虛功原理得到

(8)

在肘關節中，通過控制線繩長度實現關節位置與剛度控制，將磁彈簧變剛度模塊中線繩拉力Tj與轉動角θ之間的關系變換為拉力Tj與線繩長度之間的關系

(9)

式中kj——變剛度模塊剛度

lj——線繩驅動磁彈簧模塊中線繩長度

ηj——線繩拉力方向矢量

將式(8)、(9)代入式(7)整理可得

(10)

式中 Δl1、Δl2——變剛度模塊剛度變化引起的線繩長度變化量

為了實現肘關節位置-剛度的解耦控制，需要對關節轉動而引起的線繩變化量Δlj進行分析求解。如圖5所示，肘關節在初始平衡位置時，兩條線繩的長度L0等于兩轉動盤圓心距，且兩套滑輪組中滑輪圓心連線均平行于轉動盤圓心線。在肘關節轉動過程中，根據不同的轉動方向，兩根線繩分別進行張緊和收縮變化。從坐標系{O1}變換到坐標系{O2}時，點a1、b1相對坐標原點轉動相同的角度運動到點a2、b2處，兩根線繩長度變化量始終相同。推導線繩長度變化量與肘關節轉動角之間的函數關系為

ΔL=|Lj-L0|=nwsinγ

(11)

式中Lj——肘關節轉動到平衡位置之后的線繩長度

實際的關節樣機在安裝滑輪組時，線繩在肘關節中的纏繞方式分為水平纏繞和斜向纏繞兩種，則式(11)可以變換為

(12)

式中λ——斜向纏繞線繩數量

Lδ——O0O2圓心距

Lε——同一滑輪組中相鄰兩滑輪的間距

分析在不同剛度條件下，肘關節轉動任意角度所引起的兩根線繩長度變化。聯立式(10)和式(12)可以實現變剛度肘關節位置和剛度的獨立控制。

通過對關節位置與線繩長度的對應關系求導可以得到線繩速度與關節速度的對應關系為

(13)

其中

(14)

式中J——機器人雅可比矩陣

根據關節轉動角和磁彈簧變剛度模塊可得整體肘關節的剛度模型為

(15)

為了得到變剛度關節的剛度變化規律，對式(15)進行理論計算分析。當線繩伸長量從 0 mm 變化到18.16 mm,即永磁彈簧剛度從 1.51 N/mm 變化到無窮大。根據式(1)理論上肘關節剛度變化范圍從13.25 N·m/rad變化到無窮大。根據結構的布置設計，變剛度關節理論有效轉動范圍可以從-90°運動到90°。以關節線繩長度變化量16 mm條件下為例，如圖6所示，關節位于不同位置時，關節剛度隨著永磁彈簧剛度的增加呈非線性規律增加。關節剛度隨著關節位置變化呈拋物線規律增加，且隨著永磁彈簧剛度的增加，關節剛度隨關節位置變化曲線陡峭程度增加。關節位于對稱中心位置附近時可以實現剛度的調整范圍最大，隨著關節位置趨近兩側極限位置，關節剛度變化范圍在減小。當前條件下，如圖6a所示，磁彈簧變剛度模塊的剛度變化范圍為1.51～78.22 N/mm，如圖6b所示肘關節剛度范圍為13.25～6 210.9 N·m/rad。

圖6 剛度模型仿真計算結果Fig.6 Simulation and calculation of stiffness models

4 關節動力學分析與控制器建立

4.1 動力學建模

為了實現變剛度肘關節剛度和位置的解耦控制，對關節進行了動力學建模。假定不考慮線繩自身彈性形變，通過在二維平面內建立關節簡化模型，根據式(5)、(6)，結合拉格朗日平衡等式建立整體關節動力學模型為

(16)

式中JM——電機慣性矩陣

R——電機上絞盤半徑

ζj——線繩拉力方向矢量

TM——電機驅動力矩

η′——線繩拉力提升系數

JT——小臂輸出轉動慣量

4.2 控制器設計

根據變剛度肘關節的驅動原理，當線繩驅動整體關節發生運轉時，關節會同時產生轉動角和剛度的變化，從而使關節的位置和剛度參數發生耦合。為了實現更好的關節控制效果，設計變剛度肘關節剛度位置解耦控制器。以變剛度肘關節的工作原理作為基礎，設計如圖7所示的開環控制器，將肘關節的期望剛度Kd與期望轉動位置θd作為控制器的輸入，剛度模型中應用牛頓迭代法對由關節剛度變化引起的線繩變化量Δlj進行求解，根據式(12)得到關節由于位置變化產生的線繩變化量ΔLj，進行疊加后輸入電機絞盤。則可以得到輸入電機轉角分別為

圖7 肘關節解耦控制流程圖Fig.7 Elbow decoupling control flow chart

(17)

式中Hj——線繩驅動系統中輸入電機絞盤的總線繩長度變化量

經過計算得到相對應的線繩變化量，進行疊加得到總變化繩長Hj并通過線索絞盤轉換成電機轉角θMj，輸入PD控制器調節電機Mj轉動角，并將調節結果負反饋與初始值對比形成閉環控制系統。將得到的電機轉角輸入肘關節動力學模型，實現通過雙線繩驅動系統實現關節的位置與剛度的解耦控制，從而得到關節轉動角θ和轉動角速度ω作為輸出。

5 變剛度肘關節實驗

磁彈簧變剛度模塊中永磁環的主要參數如表1所示，肘關節結構中主要參數如表2所示。為了方便后續計算，對仿真得到的數據進行曲線擬合。仿真得到的擬合函數關系式為

表1 永磁環參數Tab.1 Parameters of permanent magnetic rings

表2 關節主要參數Tab.2 Main parameters of joint

τ=0.008 0Δl4-0.078 61Δl3+
0.157 32Δl2+1.51Δl+4.833 4 (18)

實驗臺搭建如圖8所示，通過在上位機中應用Matlab/Simulink軟件編譯搭建的控制框圖。在控制器DSpace1103中，分別將控制輸入信號轉換為電壓信號，然后分別輸入到兩個驅動器ESCON70/10中，隨后轉換為電流信號控制伺服電機轉動。在關節內部設置的編碼器和驅動電機的編碼器返回檢測信號，可以實時檢測關節和電機的實際轉動角。

圖8 肘關節實驗平臺示意圖Fig.8 Schematic of elbow experiment platform

對比實驗測試數據與現有的關節設計，如表3所示。相比于VSJPMM結構和LIMS結構，本文設計的肘關節可以同時具備轉動范圍大、剛度變化范圍大的優點。并在此前提下，整體手臂質量減輕40%左右。

表3 肘關節性能參數Tab.3 Elbow joint performance parameters

5.1 關節解耦階躍響應特性實驗

變剛度肘關節位置和剛度解耦控制驗證實驗中，在肘關節輸出小臂末端放置0.3 kg的負載以檢測關節在不同狀態條件下靜剛度，對測量數據求取平均值并于期望關節剛度條件進行對比驗證，檢測靜剛度與期望剛度誤差在4%以內。首先將關節放置于初始位置，在解耦實驗中對肘關節分別輸入剛度階躍信號與轉動角階躍信號，信號輸入順序為：剛度K1=50 N·m/rad,關節平穩后，在此剛度條件下輸入期望轉動角Δθ1=15°。待關節運動到-15°后，輸入期望剛度K2=100 N·m/rad,并在此剛度條件下輸入期望轉動角Δθ2=15°。通過關節轉角編碼器與電機上的編碼器返回檢測值，如圖9所示。 圖9a 為轉角編碼器測量變剛度肘關節在輸入不同信號條件下關節的位置軌跡。圖9b為兩臺驅動電機的編碼器在不同條件下輸入階躍信號后產生電機轉動時所得到檢測值。由于關節結構的設計，兩臺電機由于剛度引起轉動時轉動方向相同，且在關節中對稱布置的磁彈簧變剛度模塊同時進行剛度調整且剛度變化引起的線繩變化量基本相同，使關節所處的位置理論上不會發生變化。在不同剛度條件下時，關節響應特性也隨剛度的增大有所提升，關節轉動均可達到近似期望位置，肘關節的運動誤差均在2.3%以內。當肘關節在剛度K2=100 N·m/rad條件下，關節運動的超調量相對更小，且關節運動達到平穩性的時間也更短，約為0.29 s。

圖9 關節剛度位置解耦實驗結果Fig.9 Joint stiffness position decoupling experiment

5.2 軌跡跟隨實驗

關節水平放置于初始位置，對關節輸入連續正弦信號，振幅從-20°變化到20°，運動周期為6.3 s，小臂輸出端長度為240 mm。通過兩臺電機聯動，使關節呈正弦連續性擺動。分別在剛度K3=30 N·m/rad和K4=100 N·m/rad條件下，對肘關節進行連續性關節軌跡實驗，如圖10所示。由圖10可知，在更大的剛度條件下變剛度肘關節運動時，關節運動位置相對于理想軌跡具有更好的運動跟隨效果，且誤差超調量也相對更小，說明剛度參數的設置對關節的連續性運動具有較為明顯的影響。但關節剛度增加后，肘關節會在極限位置存在運動軌跡的誤差，這是由于磁彈簧變剛度模塊的拮抗式設計，使肘關節運動中，磁彈簧變剛度模塊會抵抗線繩拉力的瞬時變化，導致關節在極限位置受到較大的阻抗力。

圖10 正弦軌跡跟蹤實驗結果Fig.10 Sinusoidal trajectory tracking experiment

6 結論

(1)基于永磁彈簧、滑輪組和類行星輪系結構,提出了一種新型變剛度機器人肘關節。描述了運動控制過程與解耦控制器設計，并建立了三維模型與實物物理樣機。

(2)利用模型間靜力學關系和雅可比矩陣得到肘關節的剛度模型，并得到關節剛度隨磁彈簧剛度和關節位置變化的規律。利用關節剛度模型和動力學關系，建立了變剛度關節解耦控制器，實現肘關節剛度和位置解耦控制。

(3)通過變剛度關節位置響應和軌跡實驗得到變剛度關節位置控制精度和響應速度隨著關節剛度的增加而增加的變化規律。