有限時間收斂的引信滾轉角控制方法

張雨薇，李 冰，祁克玉，2

(1.西安機電信息技術研究所,陜西 西安 710065；2.機電動態控制重點實驗室，陜西 西安 710065)

0 引言

新的戰場環境要求下，武器彈藥高速發展，不斷升級，炮彈的精確打擊能力，毀傷效率越來越受到重視[1]。二維彈道修正組件不僅提高了傳統“笨彈”的射擊精度，同時未對原本彈體外形和發射裝置進行額外改動，可消耗原有庫存，效費比良好。目前國內的二維彈道修正引信多采用精準制導組件(PGK，precision guided kit)方案。

PGK方案采用軸承連接二維彈道修正引信頭部與彈體，修正彈飛行過程中差動安裝的導轉翼面使頭部與彈體發生相對旋轉運動；彈上根據實時預測落點給出修正翼面靜止的目標角度，電機根據控制算法提供控制力矩使引信相對地面靜止，控制同向安裝的修正翼面停在期望滾轉角，產生不同方向的修正力和力矩[2]。

文獻[2]提出了一種基于模糊控制的滾轉角控制方法；但是該方法對系統模型的精確度依賴較高，工程應用性較差。文獻[3]基于傳統PID控制提出了采用雙閉環的滾轉角控制算法，可以做到在1 s內完成滾轉角的控制，誤差均值為3°左右；但是真實外彈道環境比較復雜，算法在實際使用上存在困難。文獻[4]通過偏差信號對PID參數自整定，研究了基于PID控制的專家系統控制算法，大大提高了響應速度；但是滾轉角響應時超調量太大，不利于滾轉角控制系統的穩定和可靠性。

本文針對滾轉角控制系統響應要求的快速性和準確性，基于滑模控制的理論選取合適的趨近律，設計一種有限時間收斂的滾轉角控制方法。

1 滾轉角運動數學模型及有限收斂概念

1.1 滾轉角數學模型

對于二維彈道修正引信的PGK方案來說，軸承連接修正引信和彈體。發射后，彈體從彈尾看高速右旋，啟控前修正翼面在導轉力矩的作用下右旋；啟控后，翼面在電機控制力矩的作用下相對地面靜止在期望的滾轉角。整個飛行過程中，二維彈道修正引信會受滾轉力矩、軸承摩擦力矩，滾轉阻尼力矩等的影響[5]。

因此，二維彈道修正引信滾轉角的數學微分方程組[5]如下所示：

(1)

式(1)中，Jx為引信部分極轉動慣量，ωx為引信部分滾轉角速率，γx為引信滾轉角，Me為電機的控制力矩，Mf為連接處的軸承摩擦力矩，MFx為導轉翼面產生的導轉力矩，MFxz為引信滾轉阻尼力矩。

1.2 有限時間收斂定義

針對滾轉角控制系統設計一定時間內收斂的控制算法時，首要明確對于非線性系統有限時間穩定[6]的相關定義。

定義 考慮系統如下：

(2)

式(2)中，定義f(x,t)滿足f:U0×R→Rn于U0×R段連續，U0這里定義為原點的一個開鄰域。

如果系統在x=0(局部)時滿足有限時間收斂，是指考慮任意選取的t0當作初始狀態，都一定能找到一個依賴于x0的停息時間T≥0，讓系統擁有一個有定義的以x0為初始狀態的解x(t0)=φ(t:t0,x0)(不一定是唯一解)，并且

(3)

在此情況下當t∈[t0,T(x0)]時，滿足φ(t:t0，x0)∈U/{0}。

同時，對于系統的平衡點x=0(局部)滿足有限時間穩定，指的是它首先是滿足李雅普諾夫穩定的，同時在原點的一個鄰域U∈U0里是滿足有限時間收斂的[7]。若同時鄰域滿足U=Rn，那么原點就是滿足全局有限時間穩定的平衡點[6]。同時存在如下引理。

系統停息時間的大小取決于初始值x(0)=x0，其上界為

(4)

引理3 如果存在一個系統同時滿足全局漸進穩定和局部有限時間收斂，那么這個系統是滿足全局有限時間穩定的[7]。

2 有限時間收斂的滾轉角控制算法

對于采用PGK方案的滾轉角控制系統來說，控制的核心是對落點預測給出的期望滾轉角進行迅速響應并且翼面滾轉角速度盡快為0，保持翼面與地面的相對靜止，因此對整個滾轉角控制系統的可靠性和快速性提出要求。

目前工程應用中考慮可靠性多采用PID經典控制算法，但是傳統PID參數固定，對建模精確性要求高，不能很好適應變化情況不固定的滾轉角指令，同時抗干擾能力較差。因此目前多采用專家系統、模糊控制等算法進行優化[8]。

基于滑模變結構的理論和有限時間收斂的定義，設計一種二維彈道修正引信的滾轉角控制算法，同時結合引理對設計的有限時間收斂的滾轉角控制方法進行證明。

2.1 變結構算法

假設期望的翼面滾轉角為γf，設置狀態變量為x=ωx,期望設計的算法同時滿足對滾轉角的精確控制和滾轉角速度的快速響應，因此考慮構造如下的方程當作滑模面：

S=c1|γ-γf|c2sgn(γ-γf)+x，

(5)

式(5)中，00，對式(5)進行求導后，可得

(6)

(7)

聯立式(6)和式(7)得

(8)

由滾轉角的微分方程組可以得到

(9)

因此，將式(9)代入式(8)，經過整理可得，PGK方案所需要的電機控制力矩大小為

(10)

對式(10)在進行仿真的時候，還可以進行適當的變換與化簡，r=r1-V(t-t1)。為了降低抖動，可以將符號函數sgn換成S/|S|+δ的形式來平滑，δ取一個很小的正數。

2.2 有限時間收斂分析

需要從趨近滑模面的運動和沿著滑模面的運動兩個方面來證明所設計的滾轉角控制算法滿足有限時間內收斂的定義。

首先證明所設計的控制算法能夠在一定時間內到達所設計的滑模面。

選取李雅普諾夫函數V=S2，進行求導后，可以得到

(11)

從李雅普諾夫函數的相關定理，可以判斷所設計的滾轉角控制系統是符合漸進穩定的相關定義，也就是有限收斂的。通過整理設計的李雅普諾夫函數可得

(12)

根據上述條件，可得對于下降段的任意t>0時，

(13)

通過引理1可以得到，所設計的滾轉角控制系統是可以在有限時間內到達所設計的滑模面，考慮具體的時間上界

(14)

接下來證明當二維彈道修正引信的滾轉角控制系統到達滑模面以后，沿著滑模面的運動階段是否能滿足有限時間收斂。因為此時滾轉角控制系統已經位于S面上，因此有

S=c1|γ-γf|c2sgn(γ-γf)+x=0。

(15)

代入滾轉角系統微分方程，整理可得

(γ-γf)′=-c1|γ-γf|c2sgn(γ-γf)。

(16)

對式(16)，選取Lyapunov函數V1=(γ-γf)2。

對函數求導后有

(17)

可以得到

V1=-2c1V′0.5(c2+1)≤0。

(18)

所設計的二維彈道修正引信的滾轉角控制系統滿足引理1的條件，因此系統是漸進穩定的。即當t→∞的時候，這個系統的狀態變量x→0，即二維彈道修正引信部分的滾轉角速率收斂為0，修正引信的滾轉角會無限接近于所設置的期望滾轉角。

通過對兩個方面的證明推理，根據引理3可知，設計的有限時間收斂的滑模滾轉角控制方法是全局有限時間穩定的。最后收斂總共用時T≤T1+T2(估計)。

通過對算法的有限時間穩定性分析表明，所設計的滾轉角控制算法能夠在有限時間內保證滾轉角速率快速收斂到0，并收斂到期望的滾轉角，系統具有一定的魯棒性。

3 仿真驗證

對所提出的滾轉角控制方法進行仿真驗證。仿真時考慮摩擦力矩估計誤差、滾轉角測量誤差、滾轉角速度測量誤差等誤差源，如表1所示。

表1 滾轉角控制算法仿真誤差源Tab.1 Simulation error resources of roll angle control system

假設引信滾轉角初始位置為0°，設計引信目標滾轉信號分別為90°，180°，仿真步長0.001 s，分別用傳統PID滾轉角控制和所設計的滾轉角控制算法進行仿真，仿真結果如圖1—圖4所示。

圖1 2種算法90°滾轉角控制效果對比圖Fig.1 two algorithmic control effect with Step response of 90°roll angle

圖2 2種算法90°滾轉角速度對比圖Fig.2 two algorithmic control effect with Step response of 90°roll angle velocity

圖3 2種算法180°滾轉角控制效果對比圖Fig.3 two algorithmic control effect with Step response of 180°roll angle

圖4 2種算法180°滾轉角速度對比圖Fig.4 two algorithmic control effect with Step response of 180°roll angle velocity

由圖1—圖4可知，單純采用PID控制的方案滾轉角誤差均值為4.21°，誤差均方差為0.94°；采用本文所設計的控制律進行仿真后，滾轉角誤差均值為0.68°，誤差均方差為0.43°，控制精度明顯提高。引信的滾轉角速度能夠0.3 s內迅速靜止且制動到目標位置，滿足估計時間上界，與不進行參數優化的PID方法比較，在對滾轉角的響應速度、控制精度以及對建模精準度的要求上都具有優勢。

因此，本文設計的二維彈道修正引信的滾轉角控制系統對干擾具有強魯棒性，且響應更迅速，控制精度更高。

4 結論

本文針對滾轉角控制系統響應要求的快速性和準確性，基于滑模變結構的理論，利用系統有限時間收斂的概念，設計了一種用于二維彈道修正引信的有限時間收斂滾轉角控制算法，對傳統PID控制系統進行了優化。仿真驗證表明，所設計的滾轉角控制系統能夠在短時間內定位滾轉角，提高控制精度，并且系統具有一定的魯棒性。