四輪獨立驅動電動汽車路徑跟蹤魯棒控制*

張新榮，譚宇航，賈一帆，黃 晉，許權寧

（1.長安大學，道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，西安 710064；2.清華大學車輛與運載學院，北京 100084）

前言

近年來，各類安全事故和擁堵等諸多交通問題數量增長明顯，自動駕駛技術作為解決上述問題的有效途徑，逐漸成為了智能交通系統（intelligent transport systems，ITS）中的重要一環。自動駕駛車輛作為自動駕駛技術的載體，引起了研究人員的高度關注。

四輪獨立驅動（four-wheel independent drive，4WID）電動汽車每個車輪都由獨立的輪內（或輪轂）電機驅動，可以精確快速地對車輛運動控制產生轉矩響應，因此在提高智能交通系統中的安全性、舒適性以及效率方面具有巨大的潛力。

路徑跟蹤是自動駕駛車輛的基本能力與關鍵技術，路徑跟蹤控制器需要使車輛以盡量平滑的控制輸入跟隨目標路徑。然而，4WID電動汽車在路徑跟蹤過程中存在結構參數不確定性和風速等外界干擾，控制精度會受到影響。因此，在設計控制器時，要求控制方法具有較強的魯棒性，盡量減小不確定性對控制過程帶來的影響。

目前，人們對自動駕駛車輛的路徑跟蹤控制問題進行了廣泛的研究，很多控制方法和策略被應用于該領域，例如滑模控制［1］、自抗擾控制［2］、模型預測控制［3］、魯棒控制［4］、模糊控制［5］等。文獻［1］中設計了一種基于線性矩陣不等式切換面的自適應滑模控制器，并通過模糊邏輯自適應調節不確定項和切換控制增益，為減少滑模控制的抖振現象，引入了自適應邊界層；文獻［2］中將自抗擾控制（ADRC）應用于車輛轉向控制器的設計，對車輛的不確定性和外部干擾進行主動補償，并基于李雅普諾夫指數方法證明了系統的穩定性；文獻［3］中將模型預測控制（MPC）應用于車輛的轉向控制中，在設計控制器時考慮了轉向系統模型和車輛模型，所提出的轉向模型提供了干擾、執行器帶寬和電機電壓等信息，同時保持了較為簡單的結構；文獻［4］中為了處理參數不確定性，基于線性矩陣不等式（LMI）設計了線性變參數（LPV）H∞控制器，所提出的方法比固定增益的H∞控制器具有更好的路徑跟蹤性能；文獻［5］中設計了一種由反饋和前饋兩部分組成的車輛轉向控制器，前饋部分在車輛處于軌跡的曲線段時對車輛進行輔助，將模糊控制器作為反饋部分，并利用遺傳算法進行參數優化，所提出的方法對車輛非線性和不確定性具有魯棒性；文獻［6］中針對4WID 電動汽車提出了一種改進的復合非線性反饋（CNF）路徑跟蹤控制策略；文獻［7］中基于線性二次調節器（LQR）提出了一種預瞄式的車輛路徑跟蹤控制算法，把時間窗內的未來路徑曲率作為狀態向量進行了增廣，最終得到的控制律由對跟蹤誤差的反饋控制和對未來道路曲率的前饋控制兩部分組成，相較于MPC 控制，該方法在跟蹤精度、控制平滑度和計算效率方面均有提升。

直接橫擺力矩控制（DYC）通過調節電機力矩，使車輛產生繞z軸方向的橫擺力矩，以此提高車輛的操控性與安全性［8］。文獻［9］中為解決傳統滑模控制器的抖振問題，將控制器的導數作為新的控制律，進一步設計了2 階滑模控制器，所提出的方法與1 階滑模控制器相比更加有效；文獻［10］中提出了一種分數階PID 控制器來產生所需的直接橫擺力矩，并通過序列二次規劃（SQP）方法將所需的橫擺力矩分配到各個車輪上；文獻［11］中針對4WID 電動汽車設計了主動前輪轉向（AFS）和直接橫擺力矩控制的集成控制器。

DYC可為車輛提供快速靈活的轉矩響應，因此，融合DYC 的路徑跟蹤控制研究也在逐步展開［12-15］。然而，大多數研究對車輛行駛過程中的不確定性和外部干擾的討論較為有限。針對這一問題，本文的主要貢獻如下：

（1）針對4WID 電動汽車提出了一種分層的路徑跟蹤控制框架，提高車輛在路徑跟蹤時的精度，并保證車輛穩定性；

（2）提出了一種基于約束跟隨方法的自適應魯棒上層控制算法，該控制算法直接輸出前輪轉角與橫擺力矩，并對外界干擾與不確定性有著良好的魯棒性；

（3）以車輛行駛穩定性為目標，基于二次規劃設計了車輪驅動力矩下層控制分配算法，實現了對期望橫擺力矩的跟蹤以及對車輛冗余執行器的管理。

1 系統描述

1.1 車輛動力學模型

車輛橫向動力學包含了多種因素的影響。為了盡可能降低控制器設計中車輛模型的復雜性以便于理論分析，通常對車輛橫向動力學進行如下簡化：（1）忽略車輛的俯仰、側傾和垂直運動；（2）假設車輛左右對稱，左右車輪的轉向角相同，且兩側輪胎可以合并為一個輪胎來描述；（3）假設車輛縱向速度變化緩慢。

基于以上假設，車輛橫向動力學可簡化為如圖1 所示的2 自由度車輛模型，其動力學方程可表示如下：

圖1 車輛動力學模型

式中：vy、vx分別為車輛的橫向速度和縱向速度；m為車輛質量；Iz為車輛繞質心垂直軸的轉動慣量；為車輛的橫擺角速度；Fyf、Fyr分別為車輛前后輪胎的側向力；lf、lr分別為從車輛質心到前軸和后軸的距離；δf為車輛前輪的轉向角；ΔMz為由車輛兩側輪胎之間縱向力之差產生的橫擺力矩。ΔMz具體表示為

式中：t為車軸輪間距；Fxi（i=fl，fr，rl，rr）為每個輪胎的縱向力。

假設車輛在高速行駛時，輪胎側偏角很小，那么輪胎力與輪胎側偏角之間就可以表示為線性關系，因此可以采用如下公式描述輪胎側向力：

式中：Cf、Cr分別為車輛前后輪胎的側偏剛度；αf、αr分別為前后輪胎的側偏角。

假設車輛前輪轉向角在高速時很小，那么式（1）和式（2）中的 cosδf≈1，將式（3）和式（4）代入式（1）中，得到的車輛2 自由度線性橫向動力學方程為

式（5）可以表示為如下的矩陣形式：

式中σ∈Σ ∈Rp表示不確定性參數，Σ ∈Rp是一個緊湊但未知的集合，其代表了σ可能的邊界。

由式（5）和式（6）可知，矩陣M、q、C、g、B分別為

式（6）中的向量g包含了側風影響以及其他外部干擾和建模誤差。式（7）中的參數（例如m、Iz、Cf、Cr）往往很難被準確辨識，假定這些參數由名義部分和時變不確定性部分組成，例如m=mˉ+Δm(t)。那么，參數矩陣可做如下分解：

1.2 路徑跟蹤等式約束

四輪獨立驅動電動汽車的路徑跟蹤模型如圖2所示，（X，Y）為大地坐標系，（x，y）為車輛坐標系。圖中：φ為車輛的橫擺角；θ為車輛的航向角；β為車輛的質心側偏角；θd為路徑跟蹤點處的期望航向角；車輛質心到參考路徑距離最近的點稱為匹配點。

圖2 路徑跟蹤模型

本文將路徑跟蹤問題等效為使橫擺角誤差eφ和橫向誤差ey的值都趨近于0。因此，根據圖2，將車輛橫擺角誤差eφ定義為車輛質心位置的橫擺角φ與匹配點處的航向角θd之差，將車輛橫向誤差ey定義為車輛質心位置到匹配點的距離，兩者具體可表示為

分別對車輛橫擺角誤差eφ與車輛橫向誤差ey求1階導數，可以得到：

式中：ρ表示目標路徑的曲率；表示匹配點處的速度大小。

為了使車輛遵循期望路徑行駛，橫擺角誤差eφ和橫向誤差ey應滿足：當t→∞時，eφ、ey→0 。因此，對車輛動力學施加如下等式約束［16］：

式中k1＞0 和k2＞0 為常數。式（14）約束可以重新寫為矩陣形式：

通過求解式（14）的微分方程可以得到：

根據式（17）可知：當t→∞時，ey、eφ趨于0。可由參數k1、k2來調整ey、eφ的收斂速度，k1、k2越大，收斂速度越快。由式（14）可知，此時同樣趨于0。

將式（14）等式約束的1 階形式轉換為關于時間t的2階形式，可得：

1.3 預瞄模型

由于車輛的運動狀態相較于控制而言始終存在超前，因此本文在最近點式的路徑跟蹤問題中引入預瞄模型，將向前預瞄一段距離后的車輛位置、姿態信息與期望路徑信息比較，車輛路徑跟蹤控制器就可以“提前”產生動作，以免不安全因素對車輛帶來影響。預瞄模型中車輛的橫、縱坐標和橫擺角表示如下：

式中：Xpre為預瞄后的車輛橫坐標；Ypre為預瞄后的車輛縱坐標；φpre為預瞄后的車輛橫擺角；ts為預瞄時間。

2 控制系統總體架構

四輪獨立驅動電動汽車的路徑跟蹤控制系統整體架構如圖3所示。

圖3 控制系統框架

從圖3中可以看出，路徑跟蹤系統主要分為3個部分：（1）路徑跟蹤控制器；（2）縱向車速控制器；（3）輪胎轉矩分配算法。

路徑跟蹤控制由前輪轉向和直接橫擺力矩實現，通過設計的自適應魯棒控制器計算得出；縱向車速控制通過PID 算法計算期望的總縱向力，由于縱向控制非本文重點，故對控制算法不做詳細介紹；控制分配算法基于二次規劃方法得出每個輪內電機的轉矩，以滿足路徑跟蹤控制器輸出的期望橫擺力矩。

3 約束-跟隨魯棒控制器設計

路徑跟蹤控制算法的任務是使車輛精確、及時地跟蹤期望路徑。為了處理四輪獨立驅動電動汽車行駛過程中的參數不確定性、外部干擾等未建模因素，本文中基于約束-跟隨方法設計了自適應魯棒控制算法，該控制算法主要由名義系統控制和自適應魯棒控制兩部分組成。

3.1 名義系統控制量

當式（6）系統的不確定性已知時，可基于Udwadia-Kalaba理論設計名義系統的約束力［17］。

假設1.對于任意的 (q，t) ∈R2× R，σ∈Σ，M(σ，t) ＞0。

對于車輛來說，M(σ，t) ＞0 是顯而易見的。

定義1.對于給定的矩陣A和b，如果存在至少一個解，則式（18）等式約束是一致的。

假設2.（1）對任意的 (q，t)，rankA(q，t) ≥1；（2）式（18）約束是一致的。

定理1.考慮式（6）車輛動力學系統和式（18）等式約束，滿足高斯最小原理和達朗貝爾原理的拉格朗日形式的理想約束力［18］為

如果系統的不確定性σ已知，并且系統在初始時滿足式（18），那么可以利用約束控制量p1來保證名義系統的跟隨等式約束。然而實際情況中車輛系統的不確定性σ往往是未知的，并且可能存在初始誤差。因此還需要針對未知的不確定性和初始誤差進一步設計控制算法。

3.2 自適應魯棒控制項

根據式（9）所示，系統的參數矩陣可以分解為已知的名義部分和不確定性部分。因此，設計了如下的車輛橫向動力學約束跟蹤魯棒控制項：

式中p1、p2、p3表示3 個部分的控制量，p1即為3.1節中的名義系統控制量。

在設計p2、p3項之前，首先做出如下假設。

假設3.對于任意 (q，t) ∈R2× R，A(q，t)都是滿秩的，即A(q，t)AT(q，t)是可逆的。

假設4.在假設3 的條件下，對于給定的P∈R2×2，P＞0，令

存在一個未知常量ρE＞-1，對于任意的(q，t)∈R2×R，有

基于假設3和假設4，令

假設5（1）.存在一個未知的常數向量α∈(0，∞)k和一個已知的函數Π(·)：(0，∞)k× R2×R2× R →R+，使得對于任意的 (q，q?，t) ∈R2× R2×R，σ∈Σ，有

注：假設4中限定了1 +ρE＞0，假設5中的函數αTΠ(·)可解釋為系統不確定性最壞情況的邊界。向量α與不確定性σ∈Σ 有關，由于 Σ 是未知的，向量α也是未知的。

式中ε＞0為一常數。

對于式（6）車輛橫向動力學模型，等矩陣的元素均為數值或與速度矢量成線性關系，因此，選擇滿足假設5的函數Π如下：

式（31）的形式可以做如下替換：

式中：α1，α2＞0是未知的常數參數；α=max {α1，α2}。

通常而言，式（32）中的α是難以獲取精確值的，因此估計值往往應用于控制器的設計。本文中設計了改進的自適應律來估計α的值［19］：

式中：＞0；L1，2＞0為常數；λi＞0，i=0，1，…，l；δi＞0，i=0，1，…，l-1，l≥1。

注：式（33）自適應律是泄露型，等式右側中的第2項即為泄露項。由于等式右側的第1項是非負的，而第2項可以在系統不存在不確定性時，使估計值呈指數衰減。因此，如果的初值為正，那么當t＞t0時＞0 成立。為了便于分析，令

定理2.令δ(t)=[βT，(-α)T]T，考慮式（6），基于假設1-5，式（22）控制項可以滿足δ(t) 的一致有界性（UB）和一致最終有界性（UUB）［17］。

一致有界性：對于任意r＞0，如果存在d(r) ＜∞，使得‖δ(t0)‖≤r時，有‖δ(t)‖≤d(r)，t＞t0，那么稱δ(t) 是一致有界的.

一致最終有界性：對于任意r＞0 和‖δ(t0)‖≤r，存在＞0，使得對于任意＞，當t＞t0+T(，r)時，有‖δ(t)‖≤，則稱δ(t) 是一致最終有界的。

4 控制分配算法

4WID電動車是一種典型的過驅動系統，可以利用冗余執行器提高車輛的動態性能。

由于車輛在高速時前輪轉角較小，因此，轉向角對縱向力Fx和橫擺力矩 ΔMz的影響可以忽略不計。橫擺力矩的表達式如式（2）所示，縱向力的表達式如下：

假設每個輪胎均在穩態下工作，且滾動阻力忽略不計，每個輪胎的縱向力可以簡化為

式中：Txi表示每個輪轂電機的轉矩；rw表示輪胎滾動半徑。

將式（2）和式（35）重新寫成矩陣形式：

式中：x=[Fxfl，Fxfr，Fxrl，Fxrr]T；v=[Fx，ΔMz]T；B為效率矩陣。B可表示為

考慮以4 個輪胎附著利用率最小為分配優化目標，目標函數如下：

式中：Ci為各個車輪所對應的權重系數；μi為各個車輪與路面的附著系數。

由于輪胎的側向力與縱向力存在耦合關系，且側向力主要依靠轉向系統控制，因此，本文只考慮縱向力最小化為分配目標，將式（38）簡化為

本文采用二次規劃對車輪力矩進行求解，其標準形式如下：

控制分配問題應在約束范圍內求解。式（40）中的約束包括了式（37）的約束，執行器本身的性能約束以及路況的約束，后兩者的約束具體由下式給出：

式中Tmax為輪轂電機的最大輸出轉矩。

式（39）中的車輛垂直載荷Fzi通過準靜態方程計算［11］：

式中：ax、ay分別為質心縱向加速度與側向加速度；h為質心高度；hroll為質心到側傾軸的距離。

5 仿真分析

為驗證所提出的基于約束跟隨的路徑跟蹤與直接橫擺力矩協同魯棒控制策略（命名為控制器1）的有效性，使用Carsim-Simulink 平臺進行聯合仿真。采用的車輛模型參數如表1所示。

表1 車輛模型部分參數

本文中采用了雙移線工況和蛇行工況作為參考軌跡。為了驗證控制器的魯棒性，在用于控制器設計的車輛2 自由度模型中添加10%的質量攝動，并加入峰值為60 km/h的時變側向風干擾。此外，為體現控制器1 的優越性，本節中設計了一個由路徑跟蹤系統（PFS）和直接橫擺力矩控制（DYC）系統組成的分層控制策略（命名為控制器2），其中上層采用LQR 方法，基于路徑跟蹤誤差模型計算得出車輛的前輪轉角δf，下層首先基于車輛2 自由度線性模型計算得出期望橫擺角速度，再通過PI 控制算法得到直接橫擺力矩Mz。

控制器1 中的主要參數為k1=10，k2=1，κ=diag(10，5)，ε=0.05；自適應律式（33）的主要參數為l=1，δ0=1，λ0=0.1，λ1=0.1，L1=0.02，L2=2。控制器2 中LQR 算法的主要參數為誤差狀態權重矩陣Q=diag(1，0.01，0.1，0.01)，控制成本權重R=5。

5.1 雙移線工況

雙移線工況中，被控車輛以20 m/s 的速度在附著系數為0.85 的路面上行駛，該工況代表了較為常見的車輛在行駛過程中繞過障礙物的駕駛行為，路徑曲線如圖4所示。

圖4 路徑曲線

圖5（a）～圖5（f）為雙移線工況的仿真結果比較。從仿真結果可以看出，控制器1、2 均能滿足車輛對期望路徑的跟蹤需求，并且都表現出了良好的跟蹤精度與行駛穩定性。

圖5（a）和圖5（b）分別是橫向位置誤差和橫擺角誤差。由圖可知，控制器1 的橫向位置偏差和橫擺角誤差都明顯小于控制器2，因此控制器1具有更好的路徑跟蹤性能。在車輛保持直線行駛時，控制器1誤差更小，說明控制器1對側風干擾有著更強的魯棒性。控制器1的控制時機要稍提前于控制器2，且誤差在正負上與控制器2相反，這是由于控制器1考慮了道路的曲率信息，而控制器2 僅包含了反饋項，并且將道路曲率視為干擾。

表2 中進一步比較了兩者的路徑跟蹤性能指標，分別對誤差峰值與均方根進行了統計分析。表中數據結果表明，控制器1 的橫向誤差與橫擺角誤差在峰值上小于控制器2，并且誤差波動相較于控制器2更小。

表2 雙移線工況誤差比較

圖5（c）和圖5（d）為車輛的控制輸入。從圖中可以得知，控制器1的前輪轉角相較于控制2保持在更小的范圍以內，說明了控制器1在具有更好的跟蹤性能的前提下，并未帶來控制成本的增加。由圖5（d）可以看出，控制器1的直接橫擺力矩稍提前于控制器2，同時橫擺力矩相較于控制器2變化更加平緩。

圖5（e）和圖5（f）為車輛的動力學響應。從圖5（e）中可以看出，控制器1 和控制器2 的橫擺角速度均保持在合理范圍內，并且變化平滑。由圖5（f）可知，控制器1 的質心側偏角整體上小于控制器2，同時其響應更加迅速，體現出了前輪轉角與直接橫擺力矩協同控制的優勢，說明了控制器1 在實現了更好的路徑跟蹤效果的同時，也使被控車輛具有良好的動力學穩定性。

圖5 雙移線工況仿真結果比較

5.2 蛇行工況

通過轉向更為頻繁的蛇行工況進一步驗證本文所提出算法的有效性。該工況下，被控車輛以20 m/s的縱向速度行駛在路面附著系數為0.85 的路面上，路徑曲線如圖6 所示。圖7 為蛇行工況的仿真結果比較。

圖6 路徑曲線

由圖7（a）可知，控制器1 的橫向誤差總體上小于控制器2，但在正負上與控制器2 完全相反，這一現象是不同的轉向特性引起的，控制器2 的實際路徑在參考路徑外側體現了不足轉向的特性，相應地，控制器1 的實際路徑在參考路徑內側體現了過多轉向的特性［20］，這一現象在圖5（a）中同樣有所體現。從圖7（b）可以看出，控制器1 的橫擺角誤差相較于控制器2 更小，結合表3 中的誤差統計可以說明，控制器1相較于控制器2具有更好的路徑跟蹤精度。

表3 蛇形工況誤差比較

圖7（c）和圖7（d）為被控車輛的控制輸入量。可以看出，控制器1 的控制量整體而言更小，兩者的前輪轉角與直接橫擺力矩均有幾處突變，這是由于蛇行工況路徑軌跡的曲率突變引起的。

圖7（e）和圖7（f）顯示了被控車輛的動力學響應，兩個控制器均表現良好。圖7（e）中，兩者的橫擺角速度基本相當，控制器1 在峰值處略小于控制器2。從圖7（f）可以看出，控制器1 的質心側偏角相較于控制器2略小，表明控制器1在實現了更好的路徑跟蹤效果的同時，也能保證被控車輛具有良好的動力學穩定性，降低了車輛側滑的風險。

6 結論

本文中針對四輪獨立驅動電動汽車的路徑跟蹤問題，提出了一種分層控制方案。首先，將車輛橫向動力學模型分解為名義部分與不確定性部分，根據車輛路徑跟蹤任務，建立了車輛橫向動力學的非線性等式約束；然后，基于約束跟隨方法，設計了自適應魯棒上層控制器，來確定車輛跟蹤期望路徑時所需的前輪轉角和橫擺力矩。由于車輛存在參數攝動、外部干擾不確定性等特征，因此通過自適應魯棒控制項處理不確定性部分，從而確保控制器的性能；最后，以穩定性為目標，通過基于二次規劃的下層控制分配方法，將所需的橫擺力矩冗余地分配到執行器中。

在Carsim-Simulink 平臺進行聯合仿真，驗證了控制方法的有效性。通過與控制器2 進行比較，基于約束跟隨的自適應魯棒控制方法具有更加優異的路徑跟蹤精度和動力學響應，對參數攝動和外部干擾有著更強的魯棒性。

目前，正在著手解決橫向位置和橫擺角速度響應之間的平衡問題，未來將搭建試驗平臺，針對自適應魯棒控制算法進行實車試驗。