基于多時段變參數SEIQR模型的流感病毒傳播研究

何洋文，周大勇，方 銘，馬永峰

(大連交通大學 a.土木工程學院；b.理學院；c.機械工程學院，遼寧 大連 116028)

公共衛生事業是公共事業的重要組成部分，與人們的健康、學習、工作及生活有著密切的關系[1]。流感是一種由流感病毒引起的呼吸道傳染病，傳染性強，傳播面廣，極易在青少年和老年人等免疫力低的人群中傳播，特別是在學校這種相對密集和封閉的環境中，傳染病的高發期極易導致病毒的大范圍傳播[2]，因此對于傳染病的研究尤為重要。

利用信息技術對傳染病進行預防和預測是公共衛生事業非常重要的部分，可通過建立多時段變參數微分方程模型來研究突發流感的演化規律。

1 模型建立與求解分析

1.1 模型假設

對病毒傳播過程中的部分因素進行假設(包括人數變化和采取的措施等)，以達到簡化模型的效果，為模擬疫情傳播提供基礎條件。

假設在疫情傳播階段，學校學生總人數不變，分為易感者、潛伏者、感染者、康復者、隔離者。假設：傳播過程中每個學生被感染后的發病時間相同。在校外不發生傳播、不存在超級傳播者、每個學生自愈能力相同。

表1 符號說明Tab.1 Symbol description

1.2 多時段變參數SEIQR模型

1.2.1 建立多時段變參數SEIQR模型

采用傳染病動力學模型，結合疫情傳播情況，甲型H1N1流感病毒在傳播初期一般不易被察覺，此時的傳播特征符合傳統SEIR模型的傳播特點[3]，但是傳統的SEIR模型建立在外力無干預的情形下不能處理采取一定防控措施帶來的變化[4]。但疫情發展到一定階段時，人們會采取防控措施，并會時刻根據疫情的發展不斷調整防控措施。針對疫情傳播特點，建立多時段變參數的SEIQR傳染病模型，根據各時期的傳播特點改變相關參數，以獲得更加真實合理的模擬效果，得出更加準確的結果。關于SEIQR模型分析如下：根據流感病毒的流行病學特征，將人群分為S、E、I、Q、R，建立(S-E-I-Q-R，SEIQR)模型[3]。具體傳播流程如圖1、圖2所示。

其中，β為傳染率，即易感者被感染為潛伏者的概率。

圖1 流感病毒傳播初期的SEIQR模型流程圖Fig.1 Flow chart of the SEIQR model of early transmission of influenza virus

圖2 流感病毒傳播后期的SEIQR模型流程圖Fig.2 Flow chart of the SEIQR model of late transmission of influenza virus

不同概率計算過程如下：β：與病毒傳播性質、傳播時間有關。β1和β2參考具體實例。a：假設平均潛伏期為A，a=1/A。隔離率t：假設感染者平均隔離時間為B，g=1/B。康復率p：假設平均發病時間為C，p=1/C。

SEIQR模型動態全過程分析如下[4]：已知總N=S+E+I+Q+R人群保持不變。某一時刻t，根據不同人群發生變化建立模型：

已知SEIQR模型。根據t時刻各類人群人數，可預測(t+1)時刻各類人群人數：

感染人群：I(t+1)=aE(t)-gI(t)

隔離人群：Q(t+1)=gI(t)-pQ(t)

康復人群：R(t+1)=pQ(t)

1.2.2 采取隔離措施的SEIQR模型

甲型H1N1流感病毒有潛伏期短和傳染性強的特點，主要發生于兒童、老人等抵抗力弱的群體[7]。在疫情發展的中后期，通常會采取一定的隔離防控措施，阻斷病毒傳播。由于E在疫情中難以被發現，所以隔離措施只針對I。模擬疫情不同時期采取的隔離措施，分析疫情變化情況。隔離期間，假設病例病情發展過程與未隔離者相同，康復率仍為p，則t時刻，從Q中康復人數為pQ，假設康復者永久免疫[8]。

1.2.3 采取隔離+疫苗接種的SEIQR模型

冬春季節是流感的高發季節，尤其需要注意兒童的防護。其中接種疫苗是預防病毒感染的關鍵，雖然疫苗不能100%預防，但不接種疫苗被感染的概率則是0或100%[9]。通過模擬在采取一定隔離措施的情況下，接種疫苗對疫情防控的作用和在不同接種率下疫苗對疫情的有效控制程度，以反映疫苗在疫情防控中的重要性和必要性。

1.2.4 甲型H1N1流感病毒模型參數估計

通過查閱文獻資料，根據模擬事件的數據可知，甲型H1N1流感病毒的平均潛伏期為2 d，病程為3～5 d[10]，結合事件數據，綜合選擇潛伏期為2 d，病程為4 d，β2=0.125，取其潛伏期的傳染率為感染期的86%，即a=0.5、p=0.25、k=0.86、β1=0.108。

2 模型的評估與討論

2.1 甲型H1N1流感病毒傳播事件模擬

此次模擬的為某省較偏遠地區小學的一起流感病毒感染事件[10]，主要傳播途徑為人際傳播，通過分析每日新增感染者人數(如表2所示)，可將流行曲線分為3個階段。第1階段為6月13—26日，為病毒傳播初期，26日開始調查采樣，之前未采取任何防護措施；第2階段為6月27—28日，此時實驗室確定病毒為甲型H1N1，并落實控制措施；第3階段為6月28日—7月10日，此時控制措施生效，新增感染者逐日下降。

表2 學校每日新增數據Tab.2 New data added daily in school

基于SEIQR算法，運用MATLAB軟件進行擬合優度計算，擬合效果如圖3所示。計算得曲線擬合結果R2=0.863，P=0.000，證明此次擬合曲線與實際情況擬合效果較好。

圖3 甲型H1N1流感爆發疫情與模擬擬合結果Fig.3 Influenza A (H1N1) outbreak and simulation results

2.2 采取不同防護措施下的模型分析

2.2.1 無任何防護措施下的疫情分析

在沒有任何防護措施的情況下，疫情的傳播模型為SEIR模型。分析模擬結果可知，若此次疫情未采取任何防護措施，則共有565人感染流感病毒，患病率為63.13%，疫情持續40 d，在疫情發生的第21 d，新增病例數最多為47例，如圖4所示。實際該校累計報告病例110例，患病率為12.29%。對比可知，在無防護措施的情況下，患病率要增加50%以上，疫情多持續13 d左右。

圖4 無防護措施下甲型H1N1流感疫情模擬Fig.4 Simulation of influenza A (H1N1) epidemic without protection

2.2.2 采取及時隔離措施的疫情分析

分析圖5模擬結果可知，如果CDC在調查取樣當天僅實施隔離，疫情的峰值和感染人數都會比實際要高；如果CDC在疫情傳播第10 d采取隔離措施，則疫情的峰值會更早到來且處于一個較低的狀態。越早實施隔離措施，疫情持續的時間和峰值到來的時間越短，對于疫情的控制也愈有利。

圖5 隔離措施下甲型H1N1流感疫情模擬Fig.5 Simulation of A (H1N1) influenza epidemic under quarantine measures

2.2.3 采取隔離+接種疫苗的疫情分析

模擬在第14 d采取隔離措施，分析學生的疫苗接種率分別為10%、30%和50%時的疫情傳播情況。分析圖6的模擬結果可知，疫苗接種率為30%時，疫情就基本被控制住，且隨著疫苗接種率的提高，疫情的發展得到了明顯抑制。由于模擬未考慮疫苗的防護效果不是100%，所以實際情況會比模擬結果略高，但是趨勢是一致的。研究表明，疫苗的保護率為45.15%～100%，免疫成功率達到80%以上[11]，且當疫苗接種率達到70%時，甲型H1N1流感的發病率不足30%[12]，所以隨著疫苗接種率的增加，疫苗保護率的影響越低。

圖6 隔離+接種疫苗措施下甲型H1N1流感疫情模擬Fig.6 Simulation of influenza A (H1N1) epidemic under quarantine + vaccination measures

2.3 傳染病模型靈敏度分析

2.3.1 靈敏度相關參數分析

由于本次模型使用的參數a、p、k是通過查閱文獻資料和疫情數據綜合確定的，所以參數存在一定的不確定性。為了評估參數不確定性下輸入變量對模型失效概率的影響[13]，需對這些參數進行靈敏度分析。結合文獻資料，參數的取值區間分別為a=0.3～1(潛伏期為1～3d)，p=0.2～0.3(病程為3～5d)，k=0.8～0.9，根據不同區間，在區間內分別取a1=0.4、a2=0.6、a3=0.7；p1=0.2、p2=0.3；k1=0.8、k2=0.9，對數值進行SEIQR模型的靈敏度分析。

2.3.2 靈敏度分析

運用MATLAB軟件得出各個參數結果，通過分析結果可知，模型對參數a、p、k具有一定的敏感性，但模型的變化率均在合理范圍內，模擬的曲線間的變化情況如圖7、8、9所示。

圖7 模型對參數a的靈敏度Fig.7 Sensitivity of the model to parameter a

圖8 模型對參數p的靈敏度Fig.8 Sensitivity of the model to parameter p

圖9 模型對參數k的靈敏度Fig.9 Sensitivity of the model to parameter k

3 結束語

綜合考慮在疫情實際傳播中可能遇到的情況建立多時段變參數的SEIQR模型，針對疫情傳播過程中采取的措施，將疫情傳播分為數個時段，根據每個時段內的防控措施優化模型參數，模擬疫情傳播中的變化情況，分析得出在接種疫苗的基礎上，即使沒有及時采取隔離防控措施，依然可以及時有效地控制住疫情發展，此研究結果對其他傳染病的模擬與預防具有一定的參考價值。由于模型參數的不確定性，運用靈敏度分析方法，對不確定的參數進行可靠性靈敏度分析，通過分析最后的模型圖像，評估輸入參數對模型的影響均在合理范圍內。