等時圓
——求解物體沿光滑斜面滑行問題中的橋梁

王偉民，牟銀勇

1.安徽省太和縣宮集鎮中心學校，安徽 太和 236652

2.重慶市育才中學，重慶 400050

1 引言

物體沿傾斜的光滑細桿從頂端由靜止狀態自由滑行至底端所用時間的長短，跟細桿的傾角和細桿的長短都有關系，細桿越長，細桿的傾角越小，物體沿細桿由頂端自由滑行至底端所用的時間就越長。可以證明，如果幾根光滑細桿的頂端重合，底端位于以頂端為豎直直徑一個端點的同一個圓周上，那么，物體沿各細桿由頂端自由滑行至底端所用的時間相等，都等于物體做自由落體運動下落與圓直徑相等的距離所用的時間。這個圓被稱為與光滑細桿對應的等時圓，該規律即為等時圓的性質。

2 等時圓性質的論證

如圖1所示，設光滑細桿AB的傾角為α，AB兩點位于豎直平面內⊙O的圓周上，且AC是⊙O的豎直直徑，⊙O的半徑為R。下面推導滑環P沿AB由頂端A自由滑行至底端B需要的時間跟⊙O半徑R及其他各相關物理量之間的關系式。

圖1 等時圓的物理和幾何關系

根據已知條件并結合圓的幾何性質可知，細桿AB的長度為AB=2Rsinα，將滑環重力mg分解為沿細桿方向的力F1和垂直于細桿方向的力F2。顯然，F1=mgsinα，所以，滑環沿細桿方向的加速度為a=gsinα。因此，滑環由A端自由滑行至B端需要的時間為

這一時間恰好為物體做自由落體運動下降與圓的直徑2R相等的高度需要的時間，問題得證。

3 等時圓性質的應用

物體沿光滑細桿或光滑斜面由靜止釋放自由滑行問題中，給出合適的條件，可以求解相關的未知物理量。對于涉及這方面內容的題目，在求解問題的過程中，如果增添合適的輔助等時圓，往往可以使問題的解決變得簡單明了。下面以兩個具體例子進行說明。

3.1 求解兩個滑動物體的相對滑動速度

例題1如圖2所示，豎直平面內足夠長的光滑細桿PA和PB的上端點重合，它們與水平面MN的夾角分別為α和。兩個小環分別套在兩根細桿上，由P點靜止釋放，求經時間t后兩小環相對速度的大小。

圖2 小環在豎直面內的細桿上運動

3.1.1 采用矢量運算的方法進行求解

這道題的解法比較多，我們先采用矢量運算的方法進行求解。

解析如圖3所示，設時間t后，套在兩根光滑細桿的兩個小環分別沿兩根細桿下滑至C點和D點位置，設此時它們的速度分別為vC和vD，則兩個速度的大小分別為

圖3 例題1分析圖

vC=gtsinα，vD=gtsinβ

將這兩個速度分別在水平方向和豎直方向分解，并寫成矢量式，有

以細桿PA上的小環為參照物，則細桿PB上小環的相對運動速度為

細胞持續缺氧,重要臟器的功能發生障礙,乳酸的清除能力降低,這是導致高乳酸血癥的重要原因之一[5]。乳酸是體內葡萄糖無氧酵解的產物。患者的乳酸持續時間和血乳酸水平是判斷病情嚴重程度和預后的重要指標。單純監測某一時刻的血乳酸濃度,不能作為準確判斷治療措施的效果,不能準確反映機體的狀態及疾病的發展情況。研究[6]表明:血乳酸水平越高,病死率越高;如血乳酸低于1.4mmol/L,則病死率為0;如血乳酸超過13 mmol/L,則病死率接近100%。因此,觀察血乳酸水平的動態變化,計算血乳酸的清除率,可準確反映出病情演變的趨勢。

所以，以細桿PA上的小環為參照物，細桿PB上的小環相對運動速度的大小為

用同樣的方法可以求得兩個滑桿上的小環相對加速度大小為a=gsin（β-α）。

可以發現，上面的推理過程非常麻煩，求解過程的大部分內容是數學中的三角變換，已經把物理問題的“物理味道”給沖淡了。那么，我們可否另辟蹊徑，尋找相對簡便的方法對問題進行求解呢？考慮到等時圓中，物體沿傾角不同的光滑斜面（或光滑細桿）從某個豎直圓周的最頂端（即該圓豎直直徑的上端點）靜止釋放，滑行到斜面（或細桿）與圓周的另一個交點所用的時間相等，所以，我們可以嘗試用增添輔助等時圓的方法來對問題進行求解。

3.1.2 采用添加輔助等時圓的方法進行求解

如圖4所示，過P作豎直線PH，兩個小環在光滑細桿PA和PB上同時由P點靜止釋放。假設在某時刻沿細桿PA向下自由滑行的小環到達C點，作圓心在PH上，并且過PC兩點的圓⊙O（作PC的中垂線，與PH的交點便是需要作的圓的圓心位置）。顯然，在指定時刻，滿足條件的圓不僅存在，而且是唯一的。設⊙O交PB于點D，由等時圓的性質可知，當沿細桿PA自由滑行的小環到達C點時，沿細桿PB自由滑行的小環剛好到達D點。因為MN是⊙O的切線，由弦切角的性質可知，∠CDP=∠APN=α。如圖5所示，如果在射線PH上O點下方任取一點I，以I為圓心、IP為半徑作圓，⊙I分別交PA、PB于E點和F點，由等時圓的性質可知，在滑桿PA上滑行的小環滑行至E點時，在滑桿PB上滑行的小環恰好滑行至F點，易知，△PCD∽△PEF。這說明兩個小環在由P點靜止釋放開始自由滑行時計時，之后的任意時刻，它們所在的兩點與起始位置點組成的三角形都是相似的。所以，在任意時刻，兩小環在空間內的相對方位始終保持不變。由初速度為零的勻變速直線運公式和v=at可知，運動時間一定時，從初始位置計時，運動一定時間后某時刻物體的位移正比于物體的加速度，這時刻物體的速度也正比于物體的加速度。在圖5中，由正弦定理可知所以。因此，從開始滑行時計時，經過時間t之后，在滑桿PA上滑行小環的滑行速度為vC=gtsinα。故經時間t后兩根滑桿上的兩個小環的相對滑行速度為

圖4 利用等時圓分析小環的運動

圖5 利用等時圓分析小環運動的速度

3.2 求解物體滑行的最短時間

例題2如圖6所示，OA是坡比為3：4的斜坡，在斜坡底端O點正上方45 m處有一固定點P。一光滑細桿PC底端C放在斜面上且可自由調節位置，細桿始終過點P，套在細桿上的小環由P點靜止釋放，試求小環沿細桿滑行至斜面的最短時間？（取g=10 m/s2）

圖6 小環在斜坡上的桿上滑行

分析如圖7所示，作圓心在OP上、經過點P并且與OA相切的圓⊙I，交PC于D。易知，這樣的圓不僅存在，而且該圓的位置和大小都是唯一確定的。設⊙I與斜面的切點為E，由圖可知，斜面OA上的所有點，除了切點E在⊙I的圓上之外，其余各點全部在⊙I的外面。連接PE，若將PE、PC視為光滑細桿的話，由等時圓的性質可知，套在兩根光滑細桿上的兩個小環從P點同時靜止釋放，在細桿PC上的小環滑行至D點所用的時間與在細桿PE上的小環滑行至切點E所用的時間相等。因此，小環沿過切點E的細桿由P滑行至斜面所用的時間最短。

圖7 利用等時圓分析小環的運動

解析作EH⊥OP，垂足為H。因為OA與⊙I相切，所以IE⊥OA，所以△IHE∽△IEO∽△EHO∽△OBA，所以這些相似直角三角形較短直角邊與較長直角邊之比都等于斜坡的坡比3：4。設⊙I的半徑為r，則，所以

因此，小環在光滑細桿PE上向下自由滑行的加速度大小為

小環沿光滑細桿由P點滑行至斜面需要的最短時間為

對于例題2給出的問題，也可以采用建立合適坐標系的方式用解析法進行求解。對于經過P點的任意向右下方傾斜的光滑細桿，建立小環在細桿上由P點靜止釋放沿細桿自由滑行到斜面過程中，需要的時間與相關參數間的函數關系式，利用求導確定駐點的方法亦可確定問題的答案，但這樣的方法解題過程將會非常復雜，而且學生不易理解。

4 兩個例題對應問題的解法總結

可以發現，例題1和例題2分別對應兩個不同類型的運動學問題。前者是兩個滑環分別沿兩個不同傾角光滑細桿同時開始滑行經歷確定的時間后，求解它們的相對滑動速度；后者是求解滑環沿不同傾角光滑細桿從斜面上方的某個固定點滑行至斜面上的最短時間。雖然都采用了添加輔助等時圓的方法，但解決具體問題的方法也存在差別。前者借助等時圓構造相似三角形，利用相似三角形的性質并結合勻變速直線運動的運動學公式中速度與位移的定量關系進行解析；后者則借助等時圓，根據圓切線上的各點中唯有切點到圓上最高點的距離最短，并結合等時圓的性質進行求解。

當然，對于這兩個問題，如果物理情境適當改變，則對應的物理問題也會發生相應變化，在條件允許的情況下，我們依然可以采用增添輔助等時圓的方法進行求解。比如，例題2對應的物理情境，我們可以將坡比已知的斜面改換為其他曲面，例如改換為圓心、半徑確定（半徑大于圖7中⊙I的半徑）的圓柱體的側面，那么，我們仍然可以采用與例題2解法類似的方法進行求解，而且相比于其他方法解題過程更為簡潔。

5 結語

等時圓，恰如一座橋梁，在運動學板塊物體沿光滑斜面（或光滑細桿）由靜止釋放自由滑行問題中，將等時圓這座“橋梁”恰到好處地架設于已知條件和所求的問題之間，利用等時圓的性質，并結合圓的有關幾何性質，有時可以起到化腐朽為神奇的作用，使常規解法下繁雜晦澀的求解過程變得簡潔明快。