勻強電場中電勢差與場強關系的深度應用

翟佑彬

(重慶市第一中學校 重慶 400030 )

在高中階段，勻強電場中電場強度與電勢(差)的關系主要總結為3條結論：

(1)在電場強度(電場線)方向，電勢逐點降低，任意兩點間的電勢差等于電場強度和兩點在這個方向上距離的乘積，即U=Ed.

(2)在垂直于電場強度(電場線)方向，電勢逐點相等，構成垂直于電場強度(電場線)的等勢面.

(3)在任意一條(或多條互相平行)直線上，兩點之間的電勢差和兩點間的距離成正比.

基于這3條結論，高考中多次出現根據勻強電場中特定幾個點的電勢求解空間電場強度的題目，這里僅舉一例.

【例1】(2012年高考安徽卷第18題)如圖1所示[1]，在平面直角坐標系中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為零，點A處的電勢為6 V，點B處的電勢為3 V，則電場強度的大小為( )

圖1 2012年高考安徽卷第18題題圖

分析與解答：由結論(3)，OA的中點C處電勢為3 V；再由結論(2)，BC連線為等勢線，與電場線垂直；如圖2所示，過O點作OD垂直BC于D，電場線沿DO方向，由結論(1)有

圖2 作電場線

(1)

其中UDO=3 V，DO=1.5 cm，代入有E=200 V/m.選項A正確.

類似題目多次出現，逐漸形成了這類題目求解的固定模式：先利用結論(3)找等勢點，作等勢線，由結論(2)作電場線，通過幾何關系求解距離，利用結論(1)求解電場強度.而這種模式存在重要局限：一是數據不特殊可能會導致運算難度增加；二是由二維平面問題擴展到三維立體問題后幾何關系難度會大大增加.

事實上，靜電場中某處的電場強度等于該處電勢梯度的負值[2]，即

(2)

其中i,j,k分別為x、y、z方向的單位向量.在勻強電場中，式(2)可寫為

(3)

在高中階段，可以作如下推導：在電場強度為E的勻強電場中，沿任意直線(與場強方向夾角為θ，如圖3)取A、B兩點，有

圖3 電場強度示意圖

(4)

即可寫成勻強電場中電場強度與電勢(差)關系的第4條結論：

(4)任意兩點間電勢差和這兩點距離的比值等于電場強度在這兩點連線上的分量.

由此求出3個互相垂直方向上電場強度的分量，即可矢量合成得到總的電場強度.對于例1，用結論(4)求解過程為

(5)

(6)

(7)

這個求解過程避開了幾何關系的計算，就算不是特殊的幾何關系，計算難度也不會太大.

如果把問題擴展到三維立體空間，優勢就更明顯了.

【例2】在一勻強電場空間中有一邊長為1 cm的絕緣立方體框架，如圖4所示，已知其中A1、B1、D1和D24個點的電勢分別為0、2 V、4 V、8 V，求電場強度的大小.

圖4 例2題圖

分析與解：對于這個立體問題，不太方便通過等勢點作等勢面和電場線.圖中很容易找到3個互相垂直的方向，可以利用結論(4)求解.

由結論(3)知φD2-φD1=φA2-φA1，可得φA2=4 V.以A1為原點建立如圖5所示坐標系，由結論(4)有

圖5 以A為原點建立坐標系

(8)

(9)

(10)

(11)

由此題，可以明顯看到結論(4)在空間問題上的優越性.如果將題目中的垂直關系進行不同程度的隱藏，可構造不同難度的考題.

【例3】(重慶一中考題)如圖6所示，在一勻強電場中作一棱長為1 cm的正四面體ABCD，已知4個頂點的電勢分別為1 V、1 V、2 V和3 V，則該勻強電場的場強大小為( )

圖6 例3題圖

分析與解：注意到A、B兩點電勢相等，故AB連線為一條等勢線，電場強度一定垂直于AB.如圖7(a)所示，取AB邊中點P，連接PD、PC，因AB垂直于PDC平面，則電場強度一定平行PDC平面.取CD邊中點Q，連接PQ，顯然PQ垂直于CD，在PDC平面內以Q為原點建立如圖7(b)所示坐標系.

(a)

由結論(3)，易得

φP=1 VφQ=2.5 V

(12)

由幾何關系，易得

(13)

由結論(4)，有

(14)

(15)

(16)

在非勻強電場中，結論(4)中兩點的距離需要趨于零，即兩點間電勢差和這兩點距離比值在距離趨于零時的極限等于電場強度在這兩點連線上的分量.在電勢-位移圖像(φ-x圖像)中表現為圖像在某點斜率的負值等于該點電場強度在該位移(x軸)方向的分量.

若某電場中電勢隨坐標x的關系如圖8所示，則從零到x1，斜率為正，Ex為負，即指向x軸負方向，逐漸減小；在x1處，Ex= 0；從x1到無限遠處，斜率為負，Ex為正，即指向x軸正方向，先增大后減小.要特別注意的是，這只能描述電場強度在x軸的分量，在垂直于x軸方向的情況此圖不能體現，即不能得到x1處場強為零的結論，也不能表明從零到x1場強逐漸減小.

圖8 φ-x圖像