巧設參考系解非等質量多星問題

謝永豪 皮飛鵬

(廣州大學物理與材料科學學院 廣東 廣州 510006)

在天體運動中由多個星體構成的系統稱為多星系統，天文觀測表示，經過漫長的演化，多星系統內星體的質量和星體之間的距離會發生變化，但在高中階段，總認為星體之間的相對位置不發生變化[1].在這一前提下，多星系統的星體位置對稱且以同一固定點為圓心做角速度相同的圓周運動，這是其保持穩定的必要條件[2].多星問題是高考和物理競賽都會考查的題型，對高中生具有一定的挑戰性.非等質量的三星問題屬于其中的難題，本文對一道非等質量三星問題展開探討，運用變換參考系的方法進行解答，為多星問題的解決提供一種思路.

1 問題分析

【例1】如圖1所示，由質量分別為mA、mB、mC的星體A、B、C組成三星系統，忽略其他星體的作用，它們在相互之間的萬有引力作用下，在同一平面上圍繞某一共同的圓心O做相同角速度的圓周運動.已知星體分別位于等邊三角形的3個頂點，等邊三角形的邊長為a，試求各星體所受合力大小FA、FB、FC，軌道半徑長度RA、RB、RC，線速度大小vA、vB、vC和周期T.

圖1 非等質量三星問題

分析題目，已知各星體的質量與它們之間的位置關系，求解各星體的向心力大小、軌道半徑和周期.由于該三星系統的星體質量不相等，求解它們的向心力來切入問題會較為復雜.但如果我們能求得星體做圓周運動的角速度大小ω和它們的軌道半徑長度RA、RB、RC，其他的物理量就可以通過簡單的計算得到，因而我們可以尋找角速度大小和軌道半徑長度的求解方法來解題.

2 巧設參考系求解角速度大小和軌道半徑長度

2.1 選取其中一星體為參考系求解角速度大小

當以星體C作為參考系時，星體A和B相對星體C仍然做角速度大小為ω的勻速圓周運動.這個結論可以通過以下證明得到.

實際上穩定狀態的多星系統與剛體運動的規律相同，它們繞旋轉圓心的角速度即剛體的角速度，而剛體平面運動中剛體的角速度與基點選擇無關.我們可以運用這個結論求解角速度大小.

選取星體C為參考系，星體B仍然在做角速度為ω的勻速圓周運動，因而其合力方向指向星體C，如圖2所示.由于星體C繞圓心O做勻速圓周運動，為平動非慣性參考系，此時對星體B進行受力分析時要考慮慣性力F*.其中星體B的慣性加速度與星體C的加速度aC等大反向，而星體C的加速度aC由星體A和星體B對它的引力提供，因此可得

圖2 受力分析

對星體C分析：沿BC方向

對星體B分析

通過計算可求得星體圍繞旋轉圓心的角速度大小

2.2 建立直角坐標系求質心位置即得到旋轉圓心位置

多星系統的旋轉圓心在其質心位置，因而求質心位置后可通過勾股定理得到各星體軌道半徑長度.以下通過求質心位置和旋轉圓心位置來證明這個結論.

圖3 建立直角坐標系求質心位置

因而質心O的坐標為

接著利用兩向心力直線的交點求旋轉圓心的坐標.首先對星體B受力分析

因而FB所在直線的方程為

同理對星體C受力分析

因而FC所在直線的方程為

設旋轉圓心的坐標為(x1,y1)，令yB=yC，有

所以

于是得旋轉圓心坐標為

和質心坐標相同，證明完畢.

實際上多星系統的質心位置在星體旋轉圓心處，是其能穩定存在的重要條件.如果多星系統的質心不在旋轉圓心處，那么質心應圍繞旋轉圓心做勻速圓周運動，則多星系統的動量在不斷發生變化.而多星系統忽略其他星體的作用力，即系統不受外力，系統的動量應不變，上述假設與之相違背.

此方法還可用于討論3個星體能否呈任意三角形分布，可證明只有3個星體分別位于等邊三角形的3個頂點上，或3個星體位于同一直線上且兩個相同質量的星體圍繞中央星體做半徑相同的勻速圓周運動，三星系統才能穩定存在.這提醒著我們出題時一定要建立在客觀事實的基礎上，不能憑空編造.

2.3 利用角速度大小和軌道半徑長度求解其他物理量

3 解法應用

3.1 解非等質量雙星問題

【例2】如圖4所示，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像太陽遮住月亮)而造成亮度發生周期性變化的兩顆恒星.在地球上通過望遠鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面.觀測發現每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，引力場常量為G，試推算出兩顆恒星的總質量.

圖4 “食雙星”示意圖

解析：以星體B為參考系時，星體A做角速度大小為ω的勻速圓周運動.星體B是平動非慣性系，此時對星體A進行受力分析需考慮慣性力，其中星體A的慣性加速度與星體B的加速度等大反向，因此可得

所以

由題意可知該雙星系統一個周期內與望遠鏡共線2次，且

所以

3.2 解非等質量三星問題

【例3】如圖5所示，由3顆星體構成的系統，忽略其他星體對它們的作用，其中有一種運動形式：3顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內做相同角速度的圓周運動.若星體A質量為2m，星體B、C質量均為m，三角形邊長為a，求：(1)星體A所受合力大小FA；(2)星體B所受合力FB；(3)星體C的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運動的周期T.

圖5 呈等邊三角形分布的三星系統

解析：以星體C為參考系時，星體B做角速度大小為ω的勻速圓周運動.星體C是平動非慣性系，此時對星體B進行受力分析需考慮慣性力，其中星體B的慣性加速度與星體C的加速度aC等大反向，而星體C的加速度aC由星體A和星體B對它的引力提供，可得

FB′=FABcos 60°+FCB+mBaCx=mBω2a

所以

圖6 利用直角坐標系求質心O的坐標

根據角速度大小和各星體軌道半徑長度可得

4 總結

對于非等質量多星問題，本文運用變化參考系的方法提供了一種解題思路：

(1)選取其中一星體為參考系時，星體的角速度大小不變，在非慣性系下對另一星體受力分析可直接求得角速度大小；

(2)多星系統的質心位置即旋轉圓心位置，因而求質心位置后可通過勾股定理得到各星體軌道半徑長度.

求得角速度大小和各星體軌道半徑長度，可使其他物理量的計算變得簡單.巧設參考系解非等質量多星問題邏輯清晰，化繁為簡，為此類問題的解決拓展思路.