基于干擾觀測器的機械臂自適應模糊滑模控制

李 虎 劉泓濱

（昆明理工大學機電工程學院，云南 昆明 650500）

隨著工業技術的發展，機械臂憑借著在工作空間中快速、穩定和高效的工作特點，被廣泛地使用在工業自動化生產過程中，例如焊接、搬運、噴漆、碼垛和機械加工等方面[1]。實際應用表明，為了提高工業生產和制造效率，對機械臂高精度的軌跡跟蹤控制尤為重要。

機械臂的軌跡跟蹤控制是對機械臂各關節的軌跡進行控制，使機械臂能夠以較好的動態性能跟蹤期望的軌跡[2]。由于機械臂軌跡跟蹤控制很容易受到許多不確定因素的干擾，所以采用傳統的控制方法很難滿足機械臂軌跡跟蹤控制的精度要求。相比之下，滑模控制可以有效降低不確定因素的干擾和機械臂內部參數變化的影響，具有較強的抗干擾性，因此在機械臂軌跡跟蹤控制中采用滑模控制是一種十分有效的方法。但是在實際應用中，傳統的滑模控制存在抖振的問題，即運動軌跡高頻地穿梭在滑模面兩側。近年來，已有大批的國內外專家和學者在圍繞機械臂軌跡跟蹤控制等方面展開了大量的研究和探討。張國山等人針對傳統趨近律存在收斂速度緩慢和抖振的問題，采用了一種新型趨近律的滑模控制方法，通過引入新型函數對傳統的冪次趨近律進行改進，該方法不僅提高了系統的跟蹤速度而且還減小了系統的抖振[3]。周名偵等人在非線性滑模控制的基礎采用干擾觀測器對可觀測的擾動進行力矩補償，并通過仿真與非線性滑模控制和傳統滑模控制相比較，進一步地提高了機械臂軌跡跟蹤的精度[4]。張潤梅等人為了減小機械臂建模誤差和外界干擾給軌跡跟蹤帶來的影響，分別采用于干擾觀測器和自適應率對復合干擾進行估計補償，有效地克服了建模誤差和外界干擾的影響[5]。文獻[6]針對系統擾動和不確定性干擾，采用徑向基神經網絡進行估計，并提出了積分全階終端滑模控制，加快了系統的收斂速度。崔鑫等人針對滑模控制的抖振問題，在滑模控制的基礎上引入模糊控制，利用模糊控制對切換增益進行模糊化，有效地減小了系統的抖振和外界非線性干擾的影響[7]。倪驍驊等人針對機械臂在工作過程中存在許多不確定因素的影響，提出了一種基于模糊補償的滑模變結構控制方法，利用模糊系統的萬能逼近原理對系統的不確定性誤差和干擾進行逼近，能夠較好地改善機械臂軌跡跟蹤性能[8]。鄒思凡等人為了解決機械臂各關節位置跟蹤控制中的抖振等問題，對非線性干擾觀測器進行了改進，并使用反演自適應滑模控制對無法觀測的擾動進行估計，該控制策略不僅可以減小機械臂系統的抖振，而且還提高了軌跡跟蹤的精度和速度[9]。

綜上所述，在機械臂軌跡跟蹤控制中，不確定性干擾和滑模控制固有的抖振等問題一直是研究者們致力于解決的重要問題。針對這些問題本文提出一種基于干擾觀測器的機械臂自適應模糊滑模控制策略。首先，使用新型趨近律來減小機械臂滑模控制系統中抖振的影響；其次，采用干擾觀測器對機械臂建模誤差和外界干擾進行估計，根據干擾觀測器的觀測值對機械臂的輸入力矩進行補償；最后，對于無法觀測的部分，采用模糊逼近原理對未知的擾動進行估計，進一步提高機械臂的軌跡跟蹤性能。

1 多關節機械臂動力學建模

本文在建立多關節機械臂的動力學模型時，采用的是拉格朗日動力學的方法具體表達式如式（1）所示。

式中：M(q)為機械臂正定質量矩陣；C(q,)為離心力和哥氏矩陣；G(q)為重力矢量；q、分別是機械臂關節的位置、角速度和角加速度；T為機械臂控制力矩；d為外界干擾，包括建模誤差、參數變化、各關節摩擦力矩和不確定性干擾等。

2 滑模控制器設計

機械臂是一個非線性、強耦合和時變不確定的系統，所以采用傳統的滑模控制策略滿足不了機械臂軌跡跟蹤控制的精度和速度要求。為此，在控制器的具體設計中，把可以觀測的干擾和不可以觀測的干擾分為兩個部分，對于兩個部分的干擾分別采用干擾觀測器和模糊系統的萬能逼近原理進行力矩補償。機械臂系統的控制結構如圖1所示。

圖1 機械臂系統的控制結構

2.1 干擾觀測器的設計

針對機械臂控制系統中存在復合干擾的問題，采用非線性干擾觀測器對干擾值進行估計并將估計值作為反饋信號來調節系統控制力矩，以減小復合干擾對機械臂系統的影響，使系統表現出較強的抗干擾性。

因此干擾d由式(1)可知：

式中：d?是d的估計值，則干擾的估計誤差F定義為

則干擾觀測可初步設定為

式中：L(q,)是干擾觀測器中待設計的增益矩陣。

由式（6）可知，通過設計適當的增益矩陣，可以使觀測誤差呈指數收斂。但是在機械臂實際跟蹤控制中，機械臂各關節的加速度信號一般很難獲取，所以實現上述觀測器較為困難，因此還需要對非線性干擾觀測器進一步設計。

為了實現上述觀測器，定義輔助向量為

式中：z∈R2；p(q,)是待設計的非線性函數。同時增益矩陣L(q,)和非線性函數p(q,)應滿足以下條件：

通過式（7）和式（8）可得：

結合式(2)～(9)可得：

因此可得干擾觀測器為

使用干擾觀測器后，機械臂系統復合擾動由d變成了F，則機械臂動力學模型為以下形式：

2.2 滑模控制器的設計

滑模控制作為非線性控制的方法之一，其非線性是指系統控制的不連續性，根據被控系統的當前狀態不斷地發生改變[10]。由于外部干擾和系統自身參數的變化對滑動模態影響較小，這使得滑模控制具有較強的抗干擾性和魯棒性。

定義qd是 機械臂的期望軌跡，e=q(t)?qd(t)是軌跡跟蹤誤差函數，則取滑模面為：

式中：Λ=diag{Λ1,Λ2,···,Λn}(Λn>0)。當t→∞時，軌跡跟蹤誤差呈指數收斂，Λ值越大，跟蹤誤差收斂越迅速。通過合理的設計對角矩陣Λ，可使得機械臂系統有較好的動態性能[11]。由式(12)和(13)可得：

滑模變結構控制具有較強的抗干擾性和魯棒性，但存在固有的抖振問題，系統的抖振是無法被完全消除的，但可以通過一些有效的方法削弱系統存在的抖振。本文采用了改進型的指數趨近律來削弱滑模控制帶來的抖振，新型趨近律的表達形式如下：

式中：k1>0；k2>0；α>0；tanh(s)為雙曲正切函數。

穩定性驗證，取Lyapunov函數為

由式(15)和(16)可得：

由式(17)可知，該新型趨近律滿足Lyapunov穩定性理論且控制系統為漸進穩定。

由式(14)和(15)可得系統的控制率為

3 自適應模糊滑模控制器設計

在實際工作環境中，機械臂系統受到的外界干擾d由許多復雜的因素耦合而成，外界干擾d的上界值通常情況下很難預測，因此，在設計系統的控制器時，應該盡量避開d的上界值。在上文控制器的基礎上，為了減小外界擾動的影響，引入模糊逼近的方法來估計外界干擾信號d中無法利用干擾觀測器觀測出來的部分。

3.1 模糊控制系統設計

若模糊邏輯系統使用單值模糊化，乘積推理機和重心平均解模糊化，則模糊邏輯系統的輸出可由下式表達[12]：

式中：θ為可調參數向量且θ=[θ1,···,θm,···,θM]T；ξ(x)為模糊基函數向量且 ξ(x)=[ξ1(x),···,ξm(x),···,ξM(x)]T；M為模糊規則數量；μm(xi)為模糊集合m的隸屬度函數 。

3.2 自適應控制率設計

為了減少模糊規則的總數，本文使用模糊系統來 逼近無法觀測的摩擦干擾函數F(),則模糊系統可設計為

自適應模糊滑模控制率可設計為

只要合理地選取k1和k2的值，當逼近誤差 ω很小時，可保證≤0。當≡0時，s≡0，根據LaSalle不變性原理[13]，該系統為漸進穩定。

4 仿真分析

本文以二自由度串聯機械臂為例，機械臂動力學模型式（1）中各個矩陣參數為：

式中：p=(m1+m2)l12。

在Matlab/Simulink中建立機械臂的動力學模型并進行仿真，仿真中各參數可設置為：m1=0.5kg、m2=1.5kg分 別為機械臂兩連桿的質量；l1=1m、l2=0.8m分別為兩連桿的長度；q1、q1分別為兩連桿實際軌跡，初始軌跡為期望軌跡為在仿真中只考慮粘性摩擦和庫侖摩擦其中z=0.5、l=0.1；新型趨近律中的參數k1=dig[10,10]，α=1.8k2=dig[50,50]；在干擾觀測器中：

在模糊逼近中隸屬度函數為：

由圖2和圖3曲線可知，在不確定干擾的情況下分別采用傳統趨近律滑模控制和新型趨近律滑模控制對機械臂1、2關節位置進行軌跡跟蹤控制，傳統的滑模控制策略相較于新型趨近律滑模控制策略存在明顯的抖振且跟蹤精度低等問題。由圖3和圖4曲線可知，在新型趨近律滑模控制策略下采用非線性干擾觀測器對新型趨近律的滑模控制策略進行補償以減小外界擾動的影響，干擾觀測器可以有效地改善系統的跟蹤性能。有圖4和圖5曲線可知，采用模糊逼近的方法來估計系統中無法觀測的擾動，可以進一步提高了系統的跟蹤性能。圖6為機械臂1、2關節位置的軌跡跟蹤誤差曲線，圖7為模糊補償的變化曲線。

圖2 傳統趨近律軌跡跟蹤曲線

圖3 新型趨近律軌跡跟蹤曲線

圖4 新型趨近律軌跡跟蹤曲線（含干擾觀測器）

圖5 本文的控制方法的軌跡跟蹤曲線

圖6 本文控制方法的軌跡跟蹤誤差曲線

圖7 模糊補償的變化曲線

由表1可知，在傳統滑模控制策略下機械臂的1、2關節軌跡跟蹤存在明顯的抖振和誤差且最大誤差分別為0.071 7 rad和0.122 4 rad；而在新型趨近律滑模控制策略下機械臂雙關節的最大跟蹤誤差為0.035 5 rad和0.109 5 rad，由此可以說明新型趨近律滑模控制策略可以有效地削弱機械臂系統的抖振，提高軌跡跟蹤的精度。在新型趨近律的基礎上加入干擾觀測器，機械臂1、2關節分別在0.49 s和0.74 s后能夠較準確地跟蹤期望的軌跡且最大跟蹤誤差分別為0.026 8 rad和0.060 7 rad。采用本文的控制策略機械臂1、2關節在0.2 s時能夠穩定跟蹤機械臂的期望軌跡且最大跟蹤誤差為0.003 8 rad和0.004 1 rad，具有較快的收斂速度和較高的跟蹤精度。

表1 不同方法的仿真數據對比

5 結語

為了驗證本文控制策略可行性和有效性，首先，采用傳統趨近律滑模控制與新型趨近律滑模控制進行仿真試驗比較，來證明新型趨近律可以有效地削弱系統的抖振；其次，在存在外界干擾的情況下使用新型趨近律滑模控制進行仿真，并且使用干擾觀測器對機械臂系統的復合干擾進行估計補償，驗證了干擾觀測器可以提高系統的跟蹤性能；最后，在存在外界干擾的情況下采用新型趨近律滑模控制，并同時采用干擾觀測器和模糊補償的方法進行仿真，結果表明模糊補償可以進一步地改善系統的跟蹤性能。通過以上仿真結果表明，基于干擾觀測器的機械臂自適應模糊滑模控制策略可以有效地提高機械臂軌跡跟蹤的精度，進而證明了該方法的有效性和準確性。