基于攝影重構技術的三軸試樣變形測量研究

李文杰， 葉 鍇， 夏 燚， 牟春梅,2

(1. 桂林理工大學土木與建筑工程學院，廣西 桂林 541004; 2. 廣西巖土力學與工程重點實驗室，廣西 桂林 541004)

0 引 言

傳統土工三軸試驗可以獲得土體應力應變關系、抗剪強度、彈性模量等重要土力學指標，通過加載桿位移、土體排水量、換算關系得到土體的變形[1]。因試驗儀器本身的限制，傳統三軸試驗存在許多局限性[2-3]：1）加載桿與土樣接觸的間隙、土樣自身變形使得測量結果與實際出現偏差；2）三軸試驗中通過排水量換算得出試樣體積變化僅能用于飽和土，且測出的是總體積變化，土體的實際變形是不均勻的，難以對土樣局部變形進行測量；3）由于土樣兩端與加載桿，透水石直接接觸，土體的徑向變形受到外部約束干擾，經過體變、軸變以及徑變的關系得出的平均徑變并不能反映土樣的真實徑向變形；4）試樣飽和時間較長且難以達到完全飽和。

為了測量三軸試樣的真實變形，眾多學者在接觸式與非接觸式測量方面做了大量研究。接觸式測量主要是將LVDT（linear variable differential transformer）位移傳感器[4]、霍爾傳感器[5]等直接布置在土樣表面，或與三軸儀結合改造，從而進行測量。使用傳感器雖能直接測量土樣某一局部部位變形，但會因其接觸對土樣造成擾動，影響其真實性。相比之下，非接觸式測量則有著不與土樣接觸從而避免擾動的優勢。Macari 等[6]將數字圖像分析技術（DIA）運用于三軸試驗中，將相機拍攝的土樣加載圖片與計算機軟件識別分析相結合，識別土樣邊緣來計算試樣體變。但此方法仍然局限于土樣變形均勻，壓力室不會發生彈塑性變形等假設條件。Alshibli等[7]應用多臺相機對土樣變形過程進行拍攝，結合CT掃描分析結果，得到了土樣的三維圖像，以此來研究土樣的局部變形。此方法雖能有效觀察到土體的局部變形過程，但CT設備較為昂貴且操作復雜，較難廣泛運用于常規土工試驗。國內邵龍潭團隊[2,8]結合數字圖像測量技術，將三軸圓形壓力室玻璃改造成前部平板狀，利用內部光鏡反射實現了對三軸試樣局部與整體變形的測量。但該方法設備成本昂貴，對三軸試驗儀改動較大，不便于推廣。

基于此，本文將攝影測量、數字圖像處理技術和計算機技術相結合[9]，對常規三軸試驗儀進行微小改進，在荷載架上、壓力室表面以及土樣表面張貼人工標記點。運用單鏡頭相機對土樣進行環繞拍攝，將所得照片傳入PMS(PhotoModeler Scanner)軟件進行處理，修正折射效應帶來的誤差，重構試樣的真實三維模型，從而得到土樣不同區域的軸向和徑向變形。該方法能直接對試樣整體以及受端部約束影響的區域進行變形測量，并避免了將透水石、剛性試樣帽、濾紙等與試樣端部直接接觸產生的間隙算入測量范圍內，從而更為真實地反映土體的實際變形特征。

1 攝影重構技術

1.1 攝影測量原理

攝影測量是基于數字圖像測量技術[10]的變形測量技術，擁有能不與被測物體直接接觸的特點。通過數碼相機從不同的角度對黏貼人工標記點的被測物體進行環繞式拍照，借助計算機技術提取被攝物體表面的人工標記點在不同圖像中的三維坐標，利用光線追蹤原理消除折射對土樣測量值的影響，還原標記點的真實坐標及被攝物體的變形過程。

1.2 三維重構原理

三維重構原理是指基于視差原理，通過攝像機獲得被測物體的數字圖像，借助計算機處理技術對圖像進行分析處理，建立實際世界坐標系與重構圖像坐標系，并得出被攝物體與重構圖像之間坐標的轉換關系，其重構模型如圖1所示。

圖1 世界坐標系及重構后的土樣

三維重構原理中相機所攝圖像與現實世界的坐標轉換如公式（1）與式（2）所示。在提取被測物體表面特征點的深度信息和三維空間坐標后，運用計算機視覺技術重構物體的三維立體模型。

式中：R——旋轉矩陣；

XS，YS，ZS——相機的透視中心的坐標；

k、ω、φ——世界坐標系統中的X，Y和Z軸（代表拍攝方向）的三個旋轉角度；

XI，YI，ZI——圖像點在世界坐標系的坐標。

1.3 相機成像模型

相機成像模型是有關二維像點與三維空間點之間映射關系的空間幾何模型[11]。在攝影測量中多采用針孔成像模型，根據像點、相機光心與實際空間點三點共線的關系實現圖像與實際物體之間的坐標轉換，其原理如圖2所示。

圖2 針孔成像模型

針孔成像模型雖能確定被攝點的線性方位，但還無法確定其空間位置。為了確定像點在三維空間中的真實位置，根據雙目立體視覺原理[12]，如圖3所示，拍攝多張被攝物體不同角度的圖像，根據最小二乘法原理確定成像點在三維空間中真實位置。

圖3 雙目立體成像原理

圖中A、B為兩個不同的相機點，L1與L2分別為它們透過圖像平面的點，N點為修正前的交匯點，S點為通過最小二乘法得到的確切位置。

2 相機畸變的校正

相機的鏡頭由于裝配的差異與長期的使用，會產生不同程度的彎曲，導致鏡頭畸變[13]。使得像點、投影中心點與實際空間點之間不共線，所采集的圖像產生枕狀變形、桶狀變形，如圖4所示。

圖4 圖像變形

為了消除鏡頭畸變的影響，本文采用直接線性變換法（direct linear transformation, DLT）對相機進行校正，其數學模型公式如下：

式中：X,Y,Z——世界坐標值；

(x,y),(x0,y0)——像點坐標和主點坐標；

L1～L11——直接線性變換參數。

相機畸變模型一般只考慮徑向畸變K1，K2和切向畸變P1，P2的影響因素，其數學模型公式為：

結合（3）和（4）兩個公式建立相應的方程，即可得出相應的畸變系數，對畸變進行校正。所采用的數學模型如式（5）所示。

式中：x，y——原始像片的位置坐標；

xc，yc——修正后像片的位置坐標。

當相機的所有未知參數求出，只需知道相應標記點兩張以上照片的像素坐標值，即可應用公式（3）對標記點的三維坐標值進行計算。

PMS軟件中自帶“Idealize Project”相機校驗模塊，包括了140個無編碼標記點與4個編碼標記點。此模塊處理方法采用的是上述的數學模型公式，將其導出如圖5所示。將校驗模塊平整的黏貼在一光滑平面上，保持相機與模板呈45°左右從不同方向拍照12張，將照片傳入 PMS軟件中的“camera calibration project”模塊中處理進行校檢，即可對相機畸變進行校正處理，如圖6所示，其畸變校正結果如表1所示。

表1 單鏡頭相機畸變校正

圖5 相機校正模板

圖6 相機校驗界面

3 三維折射修正模型

三軸壓力室壁和密閉介質會對光線產生折射，且壓力室壁在長期使用中會發生塑性變形，影響土樣真實變形信息的獲取。為了消除壓力室壁和密閉介質的折射效應，利用光線的可逆性，根據圖像上的一點反向追蹤到三軸土樣上對應的點，建立壓力室變形數學模型確定壓力室的形狀。以三軸儀兩側上黏貼的標志點為參照建立世界坐標系（O-XYZ），假定壓力室壁厚度恒定。測量加載桿上兩點作為世界坐標系的比例尺，從而確定壓力室表面和試樣上標記點的三維坐標變化。在壓力室中心設置局部坐標系R-XcYcZc如圖7所示。

圖7 壓力室變形前后模型

圖中A，B，C為壓力室變形的參數，（Xc,Yc,Zc）為壓力室的點在R-XcYcZc中的坐標。為了確定加壓過程中壓力室的具體中心，需將壓力室坐標轉換為世界坐標，壓力室在世界坐標中的數學表達如下式所示。

式中：XR、YR、ZR——壓力室中心在世界坐標系的坐標，即局部坐標系原點R在世界坐標系中的坐標；

ω′、φ′、κ′——從世界坐標系X、Y、Z到局部坐標系X′、Y′、Z′的旋轉角。

使用最小二乘法得出（A、B、C、XR、YR、ZR、ω′、φ′、κ′）的最優解，確定壓力室的形狀和方位。在確定折射面后，采用光線追蹤Snell定律[14]確定光線入射的具體方位，再利用最小二乘法根據同一標記點的至少三條折射光線確定物體表面相同點的實際三維坐標。

4 試驗方案

4.1 試樣制備

本次試驗以桂林紅黏土作為研究對象，其基本物理力學指標如表2所示。參照GB/T 50123—2019《土工試驗方法標準》制備干密度為1.50 g/cm3的三軸試樣，進行圍壓100 kPa、300 kPa、400 kPa的不固結不排水試驗。

表2 桂林市區紅黏土基本性質指標

4.2 三軸壓力室的布置

在試驗開始前需對常規三軸儀作一些改動：1）在包裹土樣的橡皮膜表面上以10 mm的間隔黏貼8行×18列共144個標記點。2）在兩側荷載架上各貼一列垂直且處于相同高度的編碼點，任選兩點用游標卡尺測得實際間距。3）在壓力室表面黏貼120個標記點，上下各兩圈和4個垂直列，用于構造壓力室表面參數模型，整個系統如圖1所示。

4.3 精度驗證

經唐怡懷[15]等的研究，攝影測量在空氣中具有較高的測量精度，且經折射修正后的三軸模型在注水未加載的壓力室中測量結果也與空氣中的測量結果相近，滿足測量要求。為了進一步驗證試樣在壓力室中加載變形的測量精度，本試驗將試樣在壓力室中加載至明顯變形（軸向應變達15%）后的軸向、徑向測量值與排水拆除壓力室后在空氣中的軸向、徑向測量值進行對比。

為方便數據處理，將高度為80 mm的土樣分為截面編號1～8的8個截面，上、中，下三區域，如圖8所示。

圖8 土樣分區示意圖

將制備好并貼好標記點的飽和紅黏土三軸試樣裝在三軸基座上，對壓力室注水，在0圍壓條件下對試樣加載至出現明顯變形。由于試樣在卸載后軸向與徑向上會產生一定的回彈，因此等待卸載靜置回彈結束對壓力室中試樣采集一組圖片；再排水拆除壓力室，對空氣中的土樣再次采集一組圖片進行測量，測量結果如表3和表4所示。

表3 軸向測量值

表4 徑向測量值

以攝影測量法在空氣中測得的土體數據為真值，對比表3和表4可知，各土段的軸向測量值最大誤差為0.145 mm，整體最小誤差在0.104 mm；徑向截面測量最大誤差為0.211 mm，最小誤差在0.138 mm。試樣在壓力室中受壓變形后的測量值與空氣中的測量值極為接近，說明試樣在加載變形階段經折射修正后的測量精度滿足要求。

4.4 運用攝影重構技術的三軸試驗

試驗步驟：1）對在空氣中的三軸基座上的土樣拍攝一組照片作為初始數據。2）將壓力室注水，以軸向位移每分鐘增加0.2 mm的剪切速率進行間歇式加載，當軸向位移達到 0 mm、2 mm、4 mm、6 mm、···、12 mm 時分別拍攝一組照片，每次拍攝30張左右并保證土樣上每個標記點在照片上出現3次以上，整個過程保證光源充足。3）將以上拍攝好的照片分組保存并導入PMS軟件中進行數據提取，再在Matlab中建立的修正模型進行修正，得到真實三維坐標。4）每個試樣重復上述操作。土樣圖像環繞采集方式如圖9所示。

圖9 土樣圖像環繞采集方式

5 試驗結果分析

5.1 土樣三維重構模型

在獲取試樣的三維坐標后即可對其各變形階段進行三維重構，取300 kPa圍壓試樣的部分變形過程圖與所有試樣加載完成圖如圖10和圖11所示。

圖10 三軸試樣各階段三維重構示意圖

圖11 三軸試樣最終加載圖

5.2 軸向應變分析

從土樣上部區域截面1到3，中部截面3到6，下部截面6到8作為土樣上中下區域軸向高度計量點，測量其不同加載階段的軸向高度變化確定土樣上中下區域的軸向變化，同理由截面1到8確定土樣整體軸向變化。所得土樣加載完成各區域的軸向應變如圖12所示。

由圖12可知：1）相比于常規三軸試驗在加載過程中的軸向應變呈穩定線性增長趨勢，攝影重構法所得土樣整體與各區域應變曲線增長出現波動性；同時，土樣中部與上部軸向應變分別表現為最高與最低的兩條曲線，說明三軸試樣在壓縮過程中上部受端部約束影響較大，變形量小，中部受端部約束小，變形量大。2）與300 kPa、400 kPa下試樣中部測定值穩定偏高和上下部測定值穩定偏低的趨勢不同，100 kPa下試樣上部軸向應變很小，下部軸向應變偏大。這是由于制樣時壓制不夠密致，壓縮過程中土樣的粗顆粒向下部滑移較多，導致中下部壓縮量較大；而300 kPa、400 kPa下土樣的上中下區域軸向應變則表現出了“中間大，兩端小”的對稱形式。攝影重構法所測軸向應變與圖11土樣實際變形相符。3）攝影重構法對土樣整體軸向應變測量值小于常規測量結果，整個加載階段平均偏小了20.16%。由于常規三軸試驗中把試樣端部接觸的間隙壓縮量考慮在了軸向位移中，導致所測軸向應變結果比實際情況偏大。而攝影測量所測結果規避了常規三軸試驗中端部區域壓密產生的誤差，能對土樣不同區域軸向變形進行實測，測得的土體整體軸向應變更符合真實情況。

圖12 土樣軸向應變對比

5.3 徑向應變分析

在傳統的三軸試驗中通常假設土樣徑向變形均勻，計算徑向應變時將軸向力作用面積進行了修正，使得結果與實際徑向應變出現偏差，如下式所示。為了獲得土樣各部位的徑向變形，運用Matlab將土樣1至8截面標記點坐標進行圓面擬合，通過圓截面半徑變化獲得徑向應變數據，結果如圖13所示。

圖13 土樣徑向應變對比

式中：Aa——土樣軸向力作用面積；

ε1——軸向應變，%；

A0——土樣的初始斷面積；

Δh——試樣剪切時高度變化，mm；

h0——初始試驗高度，mm。

由圖13可知：1）三個圍壓下的徑向測量結果與圖10試樣實際變形情況相符：在整個加載過程中，100 kPa下試樣5、6、7截面的徑向應變表現為最高的三條曲線，此時試樣徑向變形集中在中下部區域，其原因已在軸向應變分析中說明。結合圖11可知，300 kPa、400 kPa下試樣的 4、5、6截面徑向應變最高，呈現出較為對稱的中部截面曲線高，兩端截面曲線低的特征，此時土樣徑向應變主要發生在土樣中部區域。2）軸向位移初始階段土樣徑向應變增長趨勢大致相同，之后出現差異化發展：隨著軸向位移增加，不同圍壓下試樣中部的徑向應變曲線上升趨勢較為穩定，靠近上下端部截面的徑向應變出現“下降-上升”交替的波動趨勢，說明土樣上下端部區域在受壓膨脹后出現收縮，受儀器端部約束作用明顯，三軸試樣變形不均勻性進一步體現。

將試樣加載全過程的整體與中部區域徑向應變與常規試驗得到的結果進行對比，如圖14所示。

圖14 土樣加載全過程徑向應變箱型圖

由圖14知：1)試樣在三個圍壓下的徑向應變表現為“中部-整體-常規”由高到低的階梯型排列，攝影重構法所得土樣整體徑向應變略大于常規測量所得結果，經計算整個加載過程攝影測量所得徑向應變比常規測量增大了7.03%。2)結合圖11知，受端部約束的影響，試樣加載完成階段試樣兩端徑向變形小，中部區域向外鼓出明顯，中部區域的徑向應變遠大于上下端部區域與整體的徑向應變，由常規測量法所得的整體徑向應變難以代表試樣此時中部區域的真實徑向變形。經計算，三個圍壓下試樣加載完成階段的攝影重構法所得中部區域徑向應變平均為常規測量法所得整體徑向應變的1.81倍，差距較為明顯，攝影重構法對試樣局部徑向變形測量的適用性得以體現。

綜上所述，常規三軸試驗所測徑向應變比實際偏小，且不能代表試樣局部的變形特征。

5.4 應力-應變曲線分析

應力-應變關系一直是土樣的強度分析和建立土體本構模型的重要參考依據。攝影重構法得到了經折射修正后每個加載階段的土樣半徑，由此確定土樣的軸向力作用面積，進一步確定偏應力。由攝影重構法與常規試驗得到的應力-應變曲線如圖15所示。

圖15 應力-應變曲線對比

由圖15可知，三個圍壓下試驗開始初期常規試驗與攝影重構法得到的應力-應變曲線呈線性增加趨勢且大體一致，此時試樣內部受力均勻，變形量較小，兩種方法所測軸向力作用面積無明顯差異。隨著加載的進行，三個圍壓下攝影重構法所得偏應力小于常規試驗所得，但發展趨勢大致相同，經計算攝影重構法得到的偏應力較常規試驗所得減小了6.94%。

在常規三軸試驗中，通常假設軸向力作用徑向面積均勻來計算偏應力。而隨著試驗的進行，試樣內部結構發生不均勻的破壞，又受到端部約束的影響，導致中部的變形量大于兩端，使實際軸向力作用面積與假設出現偏差。而攝影重構法避開了這一假設條件，得到的徑向面積更接近真實試樣變形情況，對傳統三軸試驗的偏應力測量進行了優化。

6 結束語

1）基于攝影測量與計算機重構技術，提出了一種操作方便，經濟高效的無接觸三軸土樣變形測量方法。整個過程無需對三軸儀設備與實驗室環境進行較大改造，不需要專業測量相機，使用市面經濟易得的單鏡頭相機即可滿足測量要求。且經過相機鏡頭畸變校正與光線追蹤折射修正使測量精度滿足試驗需求。

2）通過攝影重構技術對土樣的不同區域軸向、徑向變形進行了測量，避免了對土樣變形過程造成擾動，建立了直觀的三維重構模型，得到了常規三軸試驗無法得到的局部變形數據。

3）對三軸試樣整體與局部進行變形測量，發現攝影重構法所測得的試樣變形情況與常規三軸試驗結果有所差異：由攝影重構法得到的試樣整體軸向應變偏小，徑向應變偏大，偏應力偏小。由于儀器的限制與諸多假設條件，常規三軸試驗所測結果難以真實的代表土樣整體與局部的變形，而攝影重構法對土樣變形進行直接測量，結果更符合實際。

4）攝影重構技術能突破試樣必須完全飽和這一限制，可推廣至非飽和土與其它特殊土的變形測量。