基于非高斯態區分探測的往返式離散調制連續變量量子密鑰分發方案*

吳曉東 黃端

1) (福建工程學院管理學院,福州 350118)

2) (中南大學計算機學院,長沙 410083)

往返式離散調制連續變量量子密鑰分發,無需使用兩臺獨立的激光器也能本地生成本振光,并且信號光與本振光均來自于同一臺激光器,在有效保證系統實際安全性的同時,具有較好的同頻特性.此外,該方案與高效糾錯碼具有良好的兼容性,即使在低信噪比情況下也能獲得較高的協商效率.然而,基于非可信信源模型的往返式光路結構存在較大的過噪聲,嚴重限制離散調制方案的最大傳輸距離.針對這個問題,本文提出基于非高斯態區分探測的往返式離散調制連續變量量子密鑰分發方案,即在探測端部署非高斯態區分探測器,采用自適應測量方法并結合貝葉斯推論,可以在滿足低于標準量子極限錯誤概率的情況下無條件區分出基于四態離散調制的四種非正交相干態.本文詳細分析了所提出的基于非高斯態區分探測的往返式離散調制連續變量量子密鑰分發方案的安全性,包括漸近情況與有限長效應情況.仿真結果表明所提出的方案相比于原始方案,即使在有信源噪聲的情況下,其密鑰率與最大傳輸距離仍然有明顯的提升.這些結果表明本方案能夠有效降低往返式離散調制連續變量量子密鑰分發方案中非可信信源噪聲對方案性能的負面影響,在保證系統實際安全性的同時,實現更高效、更遠傳輸距離的量子密鑰分發.

1 引言

量子密鑰分發(quantum key distribution,QKD)[1-3]作為最成熟的量子密碼技術之一,允許相隔兩地的合法雙方Alice 與Bob 在由攻擊者Eve控制的不安全量子信道下生成安全密鑰.基于量子力學的基本定律,理想化的QKD 方案已被證明是無條件安全的[4,5].目前采用的QKD 方案主要可分為兩種: 離散變量(discrete variable,DV)QKD[6-8]與連續變量(continuous variable,CV)QKD[9-12].DV-QKD 主要依賴于造價高昂的單光子探測器技術,而CV-QKD 則是通過采用達到散粒噪聲的相干探測器來提供安全性.與DV-QKD 相比,CVQKD 由于具有較高的探測效率以及易融于現有的光通信系統而備受關注.

在眾多類型的CV-QKD 方案中,高斯調制相干態(Gaussian modulated coherent state,GMCS)方案的應用最為廣泛[13].GMCS QKD 方案在實驗室[14-17]以及現場試驗[18]中均已被證明具有較好的可行性.在傳統的GMCS QKD 實驗方案中,為了獲得用于信號探測的固定相位基準,發送方Alice將信號光與本振光安排在同一條量子信道中進行傳輸[13].然而,這種傳輸方式會導致系統出現安全漏洞.目前已報道的針對實際CV-QKD 系統的攻擊策略包括本振光抖動攻擊[19]、波長攻擊[20]、校準攻擊[21]以及飽和攻擊[22],這些攻擊策略均與CVQKD 系統中本振光的安全漏洞有關.此外,將光強度較高的本振光通過有損信道進行發送會大大降低QKD 的效率.

為了解決這些問題,2015 年,Qi 等[23]與Soh等[24]課題組各自獨立提出單向本地本振(local local-oscillator,LLO)CV-QKD 方案,即在接收端用另外一臺獨立的激光器本地生成本振光.之后,LLO CV-QKD 方案得到進一步的拓展研究[25-28].在單向LLO CV-QKD 方案中無需將本振光與信號光一起進行傳輸,因此能夠有效抵御針對本振光的攻擊策略.然而,單向LLO CV-QKD 方案在實施過程中存在眾多技術挑戰,比如需要保證所使用的兩臺獨立激光器能夠生成同頻率的信號光與本振光,對信號光進行相干探測時需要進行相位補償等.此外,單向LLO CV-QKD 系統中存在的由環境擾動引起的偏振漂移,光纖長度波動以及兩臺獨立激光器頻率的不穩定性都會導致單向LLO CVQKD 方案性能及安全性降低.

為了解決單向LLO CV-QKD 方案中存在的不足,2016 年,Huang 等[29]提出本地本振往返式CV-QKD 方案.該方案無需采用兩臺獨立的激光器來實現“本地本振”,因此具有較好的同頻特性.不僅如此,往返式的光路結構可以對系統的偏振變化進行自適應補償,從而更能夠適應及滿足實地應用的需求.

本地本振往返式CV-QKD 方案雖然能夠很好地解決LLO CV-QKD 方案中所存在的不足,保證系統的實際安全性,但往返式GMCS CV-QKD 方案相比于單向點對點GMCS CV-QKD 方案,其系統中存在有更大的過噪聲,并且在低信噪比遠距離傳輸的情況下其協商效率非常低,嚴重限制了往返式GMCS CV-QKD 方案的最大傳輸距離.解決這個問題的方法是設計一種比LDPC 碼更適用于低信噪比環境下的完美糾錯碼,然而設計并實施這樣的一種糾錯碼復雜度高,并且所需的硬件成本也高.而另外一種解決的方法是采用離散調制.2002年,Silberhorn 等[30]最早將離散調制用于CV-QKD方案中.2009 年,Leverrier 和Grangier[31]對離散調制CV-QKD 的安全性進行證明并且發現離散調制(如四態調制)在低信噪比環境下可以獲得更好的協商效率,從而實現更遠距離的量子密鑰分發.在離散調制CV-QKD 方案中,發送方準備一定數量的非正交相干態(如四態調制,非正交相干態的數量為4),并且利用所測量的每個相干態正則分量的符號來對密鑰率比特進行編碼.所測量的正則分量的符號為離散值,即使在低信噪比條件下,也能夠很好地與高效糾錯碼配合使用.因此離散調制可以有效提高CV-QKD 方案的最大傳輸距離.

雖然高性能零差或外差探測器能夠有效測量所接收到的量子信號,然而相干探測器中所固有的不確定性(電噪聲)仍然會阻礙非正交相干態的精確分辨[32-34].即使所采用的探測器為理想探測器(量子效率為1),接收方仍然無法獲得精確的測量結果.傳統的理想探測器僅能達到標準量子極限(standard quantum limit,SQL),SQL 的定義是可以通過直接測量信號光的物理性質來區分非正交相干態所獲得的最小誤差.實際上,量子力學允許存在一個被稱為Helstrom 界的誤差下限,這個下限可以通過設計一種優秀的態區分策略來獲得[35].2013 年,Becerra 等[32]提出了一種性能良好的態區分探測器用于無條件區分正交相移鍵控(quadrature phase-shift keying,QPSK)調制中的4 個非正交的相干態.該探測器通過利用光子計數及以快速反饋的形式進行的自適應測量的方式,從而接近或達到Helstrom 界.因此,采用性能良好的態區分探測器能夠有效提升CV-QKD 方案的性能[36].

基于上述本地本振往返式光路結構、離散調制的使用優勢,并且針對往返式光路結構中所存在的非可信信源噪聲對方案性能的負面影響,本文提出基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CVQKD 方案,即在探測端部署非高斯態區分探測器.所采用的態區分探測器可以滿足在低于SQL 錯誤概率的情況下無條件區分出基于QPSK 調制的4種非正交相干態,即使往返式光路結構中存在信源噪聲的情況下,相比于原始往返式離散調制CVQKD,本文所提出的方案仍能夠有效提升密鑰率與最大傳輸距離,從而能夠獲得更好的系統魯棒性.本文第2 節詳細描述了所提出的基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案;第3 節對所提出的方案的安全性進行分析,包括漸近情況與有限長效應情況下方案的安全性;第4 節總結全文.

2 基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案

首先介紹基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 的制備-測量方案,之后介紹與之等價的基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 的糾纏模型方案,最后介紹部署在探測端的非高斯態區分探測器原理.

2.1 基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 制備-測量方案描述

在基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 的制備-測量(prepare-and-measure,PM)方案中,Alice 將其中一束光強較高的經典光進行保留,用作本振光,而將另外一束光強較弱的經典光(同一個激光器生成)經過標準的光纖信道后發送給Bob,如圖1 所示.Bob 在接收到由Alice發送的經典光后,對其進行離散調制.為了簡化分析,此處主要分析離散調制中的四態方案[31].在四態調制方案中,Bob 從4 種類型的調制相干態中隨機選取其中一種,然后借助于法拉第鏡,經過透過率為T、過噪聲為ξ的不可信信道反射回Alice 端.當經過非可信信道后,探測方Alice 利用分束器將發送過來的信號光一分為二,其中光強較高的信號光束(包含大多數光子)用于進行零差探測,而光強較低的信號光束(包含少數光子)則同步發送到態區分探測器中.則Alice 所接收到的混合量子態γ4=并對其進行零差探測,方案中Bob 端的離散調制方差VB=2α2,Alice 端實際零差探測器的量子效率為η,電噪聲為υel,探測方Alice 的輸入噪聲為χhom.最后,經過經典后處理,Alice 和Bob 共享一串密鑰.需要指出的是圖1 中所示的信源由不可信第三方Fred 控制,并且為了更好地量化往返式離散調制CV-QKD 方案中的非可信信源過噪聲,圖1 中采用增益參數為g的相位非敏感放大器(phase-insensitive amplifier,PIA)來對方案中的非可信信源過噪聲進行描述[29].需要指出的是,在實驗環境中,往返式結構CV-QKD方案中的非可信信源噪聲包含攻擊者Eve 對信源進行竊聽所引入的過噪聲、Alice 進行脈沖調制所引入的噪聲、Bob 端調制所引入的噪聲以及激光器的相位噪聲[29].在往返式結構CV-QKD 方案中,由于本振光并不隨著信號光一起在信道中傳輸,而是可以直接在Alice 端本地生成,因此不會產生后向散射而引入系統過噪聲.與單向CV-QKD 方案不同的是,在往返式結構的CV-QKD 方案中,Alice端為探測端,Bob 主要負責信號調制,即發送端.

圖1 基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 制備-測量方案圖.DM 為離散調制,RNG 為隨機數發生器,M 為調制器,QPSK 為正交相移鍵控,PIA 為相位非敏感放大器,FM 為法拉第鏡,BS 為分束器,LO 為本振光,T 表示非可信信道的透過率,ξ 表示信道過噪聲,g 表示相位非敏感放大器的增益參數Fig.1.Prepare-and-measure version of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection.DM,discrete modulation;RNG,random number generator;M,modulator;QPSK,quadrature phase shift keying;PIA,phase insensitive amplifier;FM,Faraday mirror;BS,beam splitter;LO,local oscillator;T,transmission efficiency;ξ,channel excess noise;g,gain parameters of phase insensitive amplifier.

2.2 基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 糾纏模型方案

由于PM 方案不利于進行安全性分析,因此介紹與之等價的糾纏模型(entanglement-based,EB)方案,如圖2 所示.Fred 制備糾纏態,其中模B發送給Bob,模A0則經過非可信信道發送給Alice.模A0與B的正則分量分別為以及〈 XB〉=〈PB〉=V,其中V=VB+1 并且非可信信源過噪聲ξ0=(g-1)+(g-1)VI.此處VI表示真空態的噪聲方差,g(g≥1) 表示PIA 的增益參數,用于衡量往返式離散調制CV-QKD 方案中的非可信信源過噪聲ξ0的大小[29].Bob 利用外差探測器對模B進行測量,而模A0經過非可信信道后轉換為模A1,Alice 對所接收到的模進行零差探測.值得一提的是,在圖2 中,采用透過率為η的分束器以及方差為ν的輔助EPR 糾纏態來分別模擬Alice 端實際探測器的量子效率與電噪聲.圖2中M1和M2表示輔助EPR 糾纏態的一對糾纏模,并且M2與A2經分束器相互作用后得到模M3與A3.當經過非可信信道后,探測方Alice 利用分束器將發送過來的模A1一分為二,即模A2和模C.其中模A2(包含大多數光子)用于進行零差探測,而模C(包含少數光子)則同步發送到態區分探測器中用于提升系統性能.當Alice 和Bob 收集到足夠多相關聯的數據時,就可以利用經過認證的公共信道進行參數估計.最后,經過信息協商和保密增強,Alice 和Bob 就可以獲得一串共享密鑰.歸結于信道輸入端的總附加噪聲χline=1/T -1+ξ,其中T表示信道透過率,ξ表示信道過噪聲.

圖2 基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 糾纏模型原理圖Fig.2.Schematic diagram of the entanglement-based (EB) model of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on state-discrimination detection.

需要指出的是在往返式CV-QKD 方案中,Fred由攻擊者Eve 控制,屬于不可信的第三方.在EB方案中采用糾纏態來等價描述PM 方案中的帶噪信源,糾纏態在往返式CV-QKD 方案中本質上是雙模糾纏態,其計算方式與傳統的雙模壓縮真空態的計算方式一樣.而當Fred 是中立的第三方時,由于Fred 不受Eve 控制,即與Eve沒有關聯,在這樣情況下可認為Fred 是與Alice及Bob 等價的合法通信方,則此時糾纏態就變成三模糾纏態[37-39].

其中I2表示 2×2 的單位矩陣,σ z=diag(1,-1),并且

值得一提的是,在糾纏模型中,Eve 能夠對量子信道進行替換從而可以進行糾纏克隆攻擊[40-42].在該攻擊策略中,Eve 制備方差為R的輔助態|E〉來進行信息竊取,所替換的量子信道透過率為T,并且Eve 可以通過調整R的值來對應匹配真實信道的噪聲χline=(1-T)/T+ξ.Eve 將輔助糾纏態|E〉其中一個模E2注入到分束器其中一個未使用端口,從而獲得模E3,而對另一個模E1進行保留.當有脈沖經過信道時,Eve 都會重復上述過程,并將所收集到的輔助模E1和E3用量子存儲器進行存儲.最后,基于Alice 和Bob 所公布的經典通信信息,Eve 能夠精確測量E1和E3的正交值.

圖1 中制備-測量方案與圖2 中糾纏模型方案兩者等價處如下.

1)圖1 制備-測量方案中,由于往返式結構CVQKD 信源是從Alice 發送給Bob,第三方Fred 可以對該經典信源進行控制.Bob 在接收到由Alice 發送的經典光后,對其進行離散調制,即從4 種類型的調制相干態k=0,1,2,3}中隨機選取其中一種,然后借助于法拉第鏡,經過透過率為T并且過噪聲為ξ的不可信信道反射回Alice,這個過程等效為圖2 中Fred 制備一個方差為V=VB+1 的糾纏態(記為|Φ〉),其中模B發送給Bob,模A0則經過非可信信道發送給Alice.Bob 對模B進行保留,并用外差探測進行投影測量|Φ〉〈Φ|,如果Bob 得到的測量結果為k,這就相當于制備了相干態,從而實現了往返式離散調制.此處V B=2α2即為圖1中制備-測量模型的調制方差.

2)圖1 中,在探測方Alice 處實際探測器的量子效率η等效為圖2 中透率為η的分束器,圖1 中實際探測器的電噪聲υel則對應于圖2 中方差為ν的輔助EPR 糾纏態其中一模式M2通過分束器后所引入的過噪聲.對于圖1 中制備-測量方案,探測方Alice 的輸入噪聲為χhom,則圖2 中輔助EPR糾纏態方差ν的選擇應滿足探測器的總噪聲在糾纏模型中同樣為η χhom,因此在圖2 糾纏模型中,

綜上所述,圖1 中的制備-測量方案等價于圖2中糾纏模型方案.

2.3 部署在探測方Alice 處的非高斯態區分探測器原理

部署在探測方Alice 處的非高斯態區分探測器原理如圖3 所示.該量子探測器可以滿足在低于標準量子極限(standard quantum limit,SQL)錯誤概率的情況下無條件區分出基于四態離散調制的4 種非正交相干態.由圖3 可知,本方案所采用的態區分探測器能夠對相干態|α〉進行W次自適應測量.對于每次探測i(i ∈{0,1,···,W}),態區分探測器以當前經典寄存器中的數據為基準,制備一個具有最高概率的預測量子態之后利用位移算符D(δi) 對相干態|α〉進行位移變換,使得|α〉位移至隨后采用一個光子數分辨探測器(photon number resolving detector,PNRD)對位移場的光子數量進行探測.假如探測得到表明預測態是正確的,Λ0發生響應,主要原因是輸入場在位移置換的作用下被位移至真空,因此PNRD 無法探測到任何光子[32].需要指出的是,此處 Λ0響應意味著態區分策略對所輸入的量子態進行正確的預測,預測成功則給定類別標記為h i=0,而預測失敗類別標記則為h i=1 .經過i次自適應測量后,該策略根據當前標記集 ΞHist以及預測集采用貝葉斯推論,就能計算出所有可能態的后驗概率.在下一輪中,指定具有最高概率的量子態作為反饋的輸入態.需要指出的是,在本輪中δi已被加入到預測集同其他歷史數據一起進行迭代以計算可能態的后驗概率.因此,根據上述分析可知,所有可能態的概率在每一個反饋階段都在進行動態更新,并且第i次反饋的后驗概率則會轉換為第i+1 次反饋的先驗概率.貝葉斯推論的規則其表達式可寫為

圖3 非高斯態區分探測器原理圖.PNRD 為光子數分辨探測器Fig.3.Schematic diagram of non-Gaussian state discrimination detector.PNRD,photon-number-resolving detector.

其中,Ppo({|α〉}|δi,hi) 表示后驗概率,Ppr({|α〉})表示先驗概率,Υ(hi|δi,{|α〉}) 表示對量子態|α〉進行位移操作后所觀測到的結果hi的條件泊松概率,參數?表示標準歸一化因子.由于貝葉斯推論采用貝葉斯定理來對假設的概率進行更新,屬于統計推論的一種方法,所給的信息越充分,推論也就越準確.因此,輸入態|α〉在 經過W次自適應測量后,能夠由第W+1 的預測態|δW+1〉 所決定[34].

從數學的角度考慮,標準量子極限區分采用QPSK 調制的非正交相干態,其失敗概率的表達式可寫為

表示QPSK 信號Gram 矩陣的特征值.由于在往返式方案中,Alice 為探測方,并且執行零差探測,因此在所提出的方案中將非高斯態區分探測器與零差探測器并行部署在探測方Alice 處.基于此,量子態的探測結果由零差探測器與非高斯態區分探測器共同決定.此處,為了更好地描述態區分探測器對往返式離散調制CV-QKD 方案性能的提升效果,可定義一個參數,即提升因子Ω,其表達式可寫為[36]

3 方案安全性分析

本節在漸近情況[43]以及有限長效應情況[44]下對基于非高斯態區分探測器的往返式離散調制CV-QKD 方案進行安全性分析.

3.1 方案的漸近安全性

此處主要考慮反向協商下方案的漸近密鑰率,并且為了簡化分析,主要考慮探測端Alice 執行零差探測的情況.為了獲得更加緊的安全界限,本方案假定第三方Fred 由攻擊者Eve 控制,則所提出方案的漸近密鑰率其表達式可寫為

其中I o(A:B)=ΩoptI(A:B) 表示引入非高斯態區分探測器的往返式離散調制CV-QKD 方案中Alice 與Bob 的互信息量,I(A:B) 表示未引入非高斯態區分探測器的原始方案中Alice 與Bob 的互信息量,參數β表示方案的協商效率,Ωopt表示所采用的非高斯態區分探測器的最優提升因子,χ(A:E)表示Eve 從Alice 密鑰中所竊取的信息量Holevo 界.此處將光纖的衰減系數設為?,則光纖透過率的表達式T=10-?L/10,其中L表示光纖長度.原始方案中Alice 與Bob 的互信息量I(A:B)的表達式可寫為

接下來計算Alice 共扼零差探測器的加性噪聲歸結到信道輸入端,其表達式可寫為

其中,參數η和υel分別表示Alice 探測器的量子效率以及探測器電噪聲方差.

由于信道加性噪聲歸結到輸入端χline=1/T-1+ξ ξ,其中 表示非可信信道的過噪聲[25].則歸結到信道輸入端的總噪聲其表達式可寫為

為了計算參數χ(A:E),此處假定Eve 無法對Alice 系統中的不完美器件進行攻擊.該噪聲評估模型已經被廣泛應用于CV-QKD 實驗中[15,19,28,29].基于此種噪聲評估模型,Eve 和Alice 之間互信息量的Holevo 界χ(A:E) 的表達式可寫為

接下來分析基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案在漸近情況下的方案性能.涉及的仿真系統參數分別設定為V B=0.35,η=0.6,υel=0.05 .所提出方案的漸近密鑰率與傳輸距離在不同增益參數g=1,1.003,1.005,1.01 下的關系如圖4 所示,其中協商效率β=0.8 .此處g值的大小用于衡量非可信信源噪聲的強弱,即g值越大,方案的非可信信源噪聲強度越高.在圖4 中也仿真出了Pirandola-Laurenza-Ottaviani-Banchi(PLOB)界,該界限表示點對點量子通信性能的最終極限[45].圖4 中實線表示原始往返式離散調制CV-QKD 方案的性能曲線,而虛線則表示所提出的基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CVQKD 方案的性能曲線.由圖4 可以觀察到,無論是在理想信源的情況(g=1,不存在信源噪聲)還是在實際信源的情況(g ＞1,存在非可信信源噪聲)下,所提出的方案性能始終優于原始方案的性能.即使在實際信源的情況下(g ＞1),所提出的方案其漸近密鑰率與安全傳輸距離仍然顯著優于原始方案的漸近密鑰率與安全傳輸距離,并且所提出方案的性能更接近PLOB 界.比如當g=1.005 時,所提出方案的安全傳輸距離為90.8 km(綠色虛線),而原始方案的最大傳輸距離則不足50 km(綠色實線).這表明所提出的方案能夠有效抵御往返式系統中非可信信源噪聲對其性能產生的負面影響,相比于原始方案,受非可信信源噪聲的影響更小.

圖4 不同增益參數 g 下基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案的漸近密鑰率和傳輸距離的關系Fig.4.The relationship between the asymptotic secret key rate of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection and the transmission distance under different gain g .

圖5 給出了所提出方案的漸近密鑰率與協商效率β在實際信源 (g=1.005) 以及不同的傳輸距離L=40,50,60,70 km 下的關系.圖中虛線表示所提出方案的性能曲線,實線表示原始方案的性能曲線.從圖5 可以觀察到,對于所提出的方案,協商效率β的可使用范圍隨著傳輸距離的增大而減小.相比于原始方案,本文所提出的方案在相同的傳輸距離以及協商效率下,其漸近密鑰率始終高于原始方案的漸近密鑰率.比如當傳輸距離L=40 km 以及協商效率β=0.8,所提出方案的漸近密鑰率為0.004 bit/pulse,而原始方案的漸近密鑰率僅為0.00066 bit/pulse.不僅如此,所提出方案其協商效率β的可使用范圍顯著大于原始方案中協商效率β的可使用范圍.比如在L=40 km 的情況下,所提出方案的協商效率β的可使用范圍為[0.65,1],而原始方案協商效率β的可使用范圍僅為[0.775,1].

圖5 在實際信源(g=1.005)與不同傳輸距離 L 下,基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案的漸近密鑰率與協商效率的關系Fig.5.The relationship between the asymptotic secret key rate of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection and the reconciliation efficiency under practical source(g=1.005) and different transmission distance L .

圖6 給出了有無態區分探測器時,信噪比隨不同信源條件(增益參數g的不同)的變化曲線.從圖6 中可以發現在相同傳輸距離下,是否采用態區分探測,信噪比是存在差異的,即引入非高斯態區分探測器的方案(本文所提出的方案),其信噪比(實線)高于沒有引入非高斯態區分探測器的方案(稱為原始方案)的信噪比(虛線),并且隨著增益參數g的增大,信噪比逐漸降低.而由圖5 可知,所提出方案其協商效率的可使用范圍顯著大于原始方案中協商效率的可使用范圍.主要原因在于所提出的方案的互信息量I o(A:B) 要大于原始方案的互信息量I(A:B),而根據(17)式可知,互信息量的增大使得本文所提出方案的信噪比 S NRo大于原始方案的信噪比 S NR,因此信噪比的變化使得所提出方案的協商效率與原始方案的協商效率適用范圍不同.

圖6 不同傳輸距離下L 下,基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案的信噪比與增益參數g (不同的信源條件)的關系Fig.6.The relationship between the signal-to-noise ratio of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection and the gain g (different source conditions) under different transmission distance L.

3.2 有限長效應情況下方案的安全性

在上述漸近安全性分析中,對所提出的基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案漸近密鑰率計算的前提是假定Alice 和Bob 可以采用無限多的信號進行互換交流.然而這在實驗中是無法實現的,主要原因是實際安全密鑰的長度是有限的.因此有必要考慮有限長效應情況下所提出方案的安全性.則反向協商下所提出方案的有限長密鑰率計算公式為[44]

其中I(A:B),β以及Ωopt的定義在上述分析中已給出.F表示所采集到的有效數據總長度,f表示Alice 和Bob 生成最終密鑰所需的數據量長度,Q=F -f表示方案參數估計所需的數據量長度,εPE表示參數估計失敗的概率,Δ(f) 則和保密增強相關聯,其表達式可寫為

其中HA表示與Alice 原始密鑰相對應的Hilbert空間,表示平滑參數,εPB表示保密增強失敗的概率.由于原始密鑰是基于二進制比特來進行編碼,因此 d imHA=2 .

由(32)式可計算(25)式中有限長效應影響下所提出方案的密鑰率.

接下來分析所提出的基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 在有限長效應情況下方案的性能.涉及全局的仿真系統參數與漸近情情況下所采用的仿真系統參數一致.圖7 給出了在不同的有效數據總長度F=108,109,1010下所提出方案的有限長密鑰率與傳輸距離的關系,并且也給出PLOB 界.圖7(a)—(d)分別對應不同強度的非可信信源噪聲,即g=1,1.003,1.005,1.01 .在圖7(a)—(d)中也給出了漸近密鑰率曲線以及PLOB界,用于參照對比.結合圖7(a)—(d)可以發現,所提出方案的漸近密鑰率(藍色虛線)總是高于其有限長密鑰率,然而隨著F的增大,所提出方案的有限長密鑰率曲線逐漸趨近于漸近密鑰率曲線以及PLOB 界.此外,即使考慮有限長效應情況,所提出的方案其性能(虛線)無論是在理想信源的情況(g=1,圖7(a))還是在實際信源的情況(g ＞1,圖7(b)—(d))始終都要優于原始方案的性能(實線).這表明所提出的基于非高斯態區分探測往返式離散調制CV-QKD 能有效降低有限長效應,以及系統信源噪聲對方案性能的負面影響.

圖7 在不同的有效數據總長度 F 下基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案有限長密鑰率與傳輸距離的關系 (a) g=1 ;(b) g=1.003 ;(c) g=1.005 ;(d) g=1.01Fig.7.The relationship between the finite-size secret key rate of plug-and-play discrete modulation CV-QKD protocol based on non-Gaussian state-discrimination detection and the transmission distance under different total exchanged signals F : (a) g=1 ;(b) g=1.003 ;(c) g=1.005 ;(d) g=1.01 .

4 結論

本文提出了一種基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CV-QKD 方案,通過在探測方Alice 處部署非高斯態區分探測器,在滿足低于標準量子極限錯誤概率的情況下無條件區分出基于四態離散調制的4 種非正交相干態,從而能夠有效彌補往返式光路結構中非可信信源噪聲對方案性能的負面影響.此外,對所提出的方案進行安全性分析,不僅考慮了其漸近安全性,同時也對有限長效應情況下方案的安全性進行分析,使得所獲得的結果更符合實際情況.仿真結果表明本文所提出的基于非高斯態區分探測的往返式離散調制CVQKD 方案相比原始方案,無論是在理相信源情況(g=1)、實際信源情況(g ＞1)還是有限長效應情況,其性能都有明顯的提升.不僅如此,本文所提出的方案其協商效率β的可使用范圍顯著大于原始方案中協商效率β的可使用范圍.這表明所提出的基于非高斯態區分探測往返式離散調制CVQKD 方案能夠有效降低有限長效應以及系統信源噪聲對方案性能的負面影響.因此本文所提出的方案在保證系統實際安全性的同時能夠實現更高效、更遠傳輸距離的量子密鑰分發.