平面波聲場中內置偏心液滴的彈性球殼聲輻射力*

潘瑞琪 李凡 杜芷瑋 胡靜 莫潤陽 王成會

(陜西師范大學,陜西省超聲學重點實驗室,西安 710062)

基于聲波在細胞操控中的應用,建立了一個三層內置偏心液滴的彈性球殼模型模擬具有細胞核、細胞質和細胞膜的有核細胞,并分析細胞在聲場中受到的聲輻射力.從薄球殼理論出發,結合球函數加法定理推導了平面波聲場中內置偏心液滴的充液球殼所受聲輻射力的函數表達式.數值分析了偏心液滴偏心距、半徑以及液體腔內外介質特性阻抗對于充液球殼所受聲輻射力的影響.結果表明,充液球殼受到的聲輻射力對偏心液滴的位置及大小非常敏感,偏心液滴偏心程度越大,充液球殼所受的聲輻射力越大.聲輻射力隨著偏心液滴半徑的變化在無量綱粒子半徑ka ＜ 3 范圍內出現共振峰值點增多的現象,在ka ＞ 3 范圍內曲線腹點位置發生偏移.當液體腔內液滴位置及半徑同時變化時,位置變化對充液球殼所受聲輻射力的影響更加顯著,且二者產生的影響會相互疊加.對照細胞核相對特性阻抗分別為0.8,0.9,1,1.1 和1.2 時的輻射力函數隨ka 變化曲線發現特性阻抗的變化主要影響輻射力的大小且隨著細胞核阻抗的增大,在ka =5 附近的起伏幅度逐步增加,且腹點位置有右移的趨勢.因此,細胞核阻抗的增大在一定的頻率或者細胞尺寸范圍內可增強其輻射力響應.本文的研究結果對有核細胞的操作、分選及靶向治療具有潛在的價值.

1 引言

作為一種有效且無創的非接觸式操作細胞和微粒的方法,聲操控有望成為無創治療、提高藥物療效的有效工具.在過去的十幾年間,聲操控在醫學領域中得到廣泛應用[1,2].除了用作醫生病理分析診斷的輔助工具外[3],許多研究人員發現了聲操控技術在醫學治療的廣闊前景[4].Wu 等[5]通過實驗對比了有無超聲條件下藥物的輸送率,結果顯示利用超聲確實能提高將藥物輸送到指定位置的傳輸效率.Wang 等[6]基于聲流誘導碰撞建立了一種細胞裂解裝置,在20 s 工作時間內實現了95%的裂解率.Mishra 等[7]通過實驗證明輻射力也會使紅細胞變形且與光鑷產生的變形程度相當.Silva 等[8]使用多種波長的超聲波駐波裝置將囊泡變形,結合形變圖像與薄殼彈性理論獲得囊泡的楊氏模量等力學性質.Zhang 等[9]通過研發一種裝置將平面聲波轉換成渦流束來旋轉蝦卵,并提出根據細胞旋轉行為確定細胞參數的可能.細胞的聲操控有著廣闊的應用前景,是未來值得探索的領域.

細胞的聲操控是實現細胞篩選、分離的關鍵,聲操控應用的基礎是聲輻射力(ARF)的控制.懸浮在聲場中的粒子受到由聲波散射而產生的時間平均力稱為聲輻射力[10].目前已經建立了許多模型用于計算不同聲場中的聲輻射力[11-14].King[15]首先提出了剛性球面上的聲輻射力公式.Rajabi 等[16]研究了可平移振蕩的剛性振動球上出現的負向聲輻射力,為實現平面波操控粒子平移運動提供了理論支持.考慮到細胞是帶有膜結構的,結合薄殼彈性理論來建立模型,而關于在無界空間中作用在彈性球殼的聲輻射力已有很多研究[17-19].Hasegawa等[20]從理論上研究了浸沒在流體中的球殼和柱殼上所產生的聲輻射力,指出隨殼的厚度增大球殼所受聲輻射力幅值減小.Junger[21]建立了平面波聲場中薄彈性殼的聲散射理論,發現外部流體介質的阻尼效應限制球殼的共振響應.隨后,Mitri[22]推導了平面駐波場中的彈性球殼的聲輻射力函數表達式,指出彈性球殼的散射特性會因外部液體介質改變而發生變化.隨著對細胞操控和靶向治療研究的深入,陸續有研究者提出采用兩層和三層球模型來模擬細胞和藥粒,以探究該情況下細胞和藥粒的聲輻射力.Wang 等[23]研究了高斯駐波場中多層球面上的聲輻射力理論,求解了雙層球以及三層球模型的聲輻射力表達式.Wang 等[24]提出用三層球模型來模擬細胞結構,隨著內芯半徑或外殼厚度的增大模型所受聲輻射力明顯增大.

在實際中細胞核在細胞中的位置會發生改變,因此需要考慮細胞核偏心對細胞所受聲輻射力的影響.Thompson[25]首先提出了偏心球模型并計算了偏心球源的聲輻射力,隨后Roumeliotis 等[26]發現由于引入偏心內球而引起的硬壁球形腔聲共振頻率偏移.Hasheminejad 和Azarpeyvand[27]對內置的偏心輻射源散射場進行研究,指出密封外殼的存在導致模態阻力和慣性振幅的明顯增強.Zang等[28]建立理論模型探究了位于零階貝塞爾聲束中雙層偏心液滴中偏心球的位置對負向聲輻射力產生的影響,指出當偏心球位于液體球心右側時會產生負向聲輻射力.通過對不同類型的細胞進行操控和分選以獲得某些組織的病變信息是醫學診斷的重要手段,而現有的理論模型缺少對細胞核位置及大小變化的準確描述,這就使得細胞核在發生異常的增大或偏移時細胞周圍聲散射變化被忽略.為此,需要發展一種更接近實際細胞結構的模型來估算細胞所受到的聲輻射力,從而提高診斷的可信度.所以本文在Zang 等[28]的模型的基礎上,發展了一個內含偏心液滴的彈性充液球殼的三層球模型來模擬藥粒和細胞,并重點討論了偏心液滴的不同參量對充液球殼所受的聲輻射力的影響.本工作擴展了聲輻射力的理論,有助于不同類型細胞的操控和分選,病變組織的區分檢測及靶向治療的發展.

2 理論模型

本文的研究對象是內部含有偏心液滴的球形密閉液體腔,液體腔被厚度為h的彈性薄球殼包裹構成的復合粒子,如圖1 所示,偏心液滴和彈性球殼半徑分別為a和b,球殼外部為無界理想液體.為方便分析,建立兩套球坐標系分析球形密閉液體腔在平面波聲場中的聲散射和聲輻射力.以球形偏心液滴中心為坐標原點建立球坐標系O1,坐標為(r1,θ1).設球形液滴中心與液體腔中心間的偏心距離d,以液體腔中心為原點建立球坐標系O2,坐標為 (r2,θ2) .根據液體腔的幾何形貌,將液體腔分為3 個區域,偏心液滴內部為區域Ⅰ,液滴外的液體球腔為區域Ⅱ,薄球殼外部為區域Ⅲ,其中液滴、腔內液體、外殼和外部流體密度及聲速分別為(ρ1,c1),(ρ2,c2),(ρs,cs),(ρ3,c3).

圖1 充液球殼幾何模型圖Fig.1.Geometric model of liquid-filled spherical shell.

假定流體介質是可壓縮無黏性的理想流體.利用球坐標系下的分波級數法,為簡化分析,忽略時諧因子 e-iωt,則薄球殼外部入射平面波及其散射聲場可表示為

其中γn=(2n+1)in,jn(·) 表示n階球Bessel 函數,表示n階第一類球Hankel 函數,Pn表示勒讓德多項式,Cn為聲散射系數.因此,彈性球殼外部的總聲壓為

式中ki=ω/ci(i=1,2,3)為聲波在對應區域介質中的波數.彈性球殼內偏心液滴外部液體中的聲壓可表示為

同理可得偏心液滴內部聲壓為

球坐標系下彈性殼的位移用球殼的中間層的偏移量表示,故基于球殼的廣義徑向和切向位移分量的傅里葉級數式可表示為

式中,β2=h2/(12b2),λ n=n(n+1),Ω=ωb/cp為無量綱參數,是彈性外殼的縱波相速度,ρs為彈性殼密度,h為彈性殼厚度,E是彈性殼楊氏模量,ν為泊松比,ΔPn(ω)是球殼內外聲壓差.聯立(8)式和(9)式,可得:

式 中,a -=a-h/2 和a+=a+h/2 分別為表示彈性球殼內壁面和外壁面徑向坐標.在應用邊界條件過程中需要將各聲參量利用平移加法定理[29]在球坐標O1和O2中進行轉換,因此在(13)式中引入了球坐標轉換系數Qmn,其具體表達式見附錄A.

待定散射系數Cn,Bn,En,Dn可由Ⅰ,Ⅱ流體界面和Ⅱ,Ⅲ彈性球殼界面的邊界條件確定.在液滴表面處(r1=b)聲壓和速度連續,有

在r2=a處,由球殼內外表面的徑向速度連續性,得

將 (3)式和(4)式代入(18)式,有

將(16)式代入(19)式和(20)式,得

即為Cn(n=0,1,2,···)的求解式,方程數量與n的取值相關,且有:

平面波聲場中復合粒子受到的聲輻射力取決于粒子的散射聲場.基于方程組(21)可得到彈性球殼的n階聲散射系數Cn,若n趨于無窮,則為一無限維方程組.在求解過程中,通常取一截斷n值后通過求解線性方程組的方法確定系數Cn.

3 聲輻射力

在無界理想液體中,平面聲波場中球狀粒子所受聲輻射力常用附加壓力的時間平均值的球面積分表示,與聲波在介質中形成的非線性擾動相關,即彈性球殼上的聲輻射力函數為

忽略三階小量后用速度勢表示聲壓為

基于聲場中聲壓擾動與速度勢以及速度場分布相關的二階場效應,將(23)式代入(22)式力函數為[30]

其中,er,eθ分別是單位矢量的徑向分量和切向分量,S0為散射體邊界表面.在邊界(r2=a+)處粒子速度的徑向分量和切向分量分別為

式中ψ是充液球殼外部液體環境中一階散射場速度勢φ的實部,即

因此,在平面波傳播方向(x方向)上充液球殼所受的聲輻射力分量可表示為

其中:

引入無量綱聲輻射力函數分析粒子在聲場中受到的力效應,即

將(28)式和(29)式代入(33)式即可計算復合粒子的聲輻射力函數.粒子受到的聲輻射力與粒子屬性密切相關,對于充液彈性球殼內含液性微粒,其物質分布不均勻,在聲波作用下的響應同時取決于球殼介質、殼內液體以及液滴聲學特性,同時還與結構特征有關.為分析聲波對非均勻球形液體粒子的操控影響,Zang 等 [28]研究構建了貝塞爾聲場中偏心粒子的輻射力模型,分析了小球的偏心對聲輻射力的影響,發現偏心小球位于液體球心右側時在高頻范圍內粒子會受到負向聲輻射力,而偏心小球在液體球心左側時粒子會受到正向的聲輻射力.偏心球粒子的材料種類改變時,粒子所受聲輻射力有巨大差異.

4 數值分析

為拓展薄殼包裹的非均勻液性粒子在聲操控應用中的基礎理論,分析粒子結構以及物質特性對平面波場中復合粒子所受聲輻射力,本文選取材料為鋼的彈性薄殼包裹的復合液滴以及基于細胞結構模型化后的復合微粒結構開展數值分析,相關參數見附錄B.

4.1 充液不銹鋼彈性薄殼復合粒子所受聲輻射力

為討論薄殼復合粒子在平面波聲場中受到的聲輻射力,基于(33)式分析了液體特性的影響.薄球殼材料采用不銹鋼,外部流體為水,區域Ⅱ內充滿汞,區域Ⅰ為偏心放置的水滴(d/a=0.3),水滴與球殼半徑比為b/a=0.3.圖2 給出了殼層厚度分別為h/a=0.01,0.05 和0.10 三種情形下的聲輻射力隨無量綱粒子半徑k3a的變化曲線.為表述方便,后文中將k3a簡寫為ka.通過比較可以看出,在 0.7 ＜ka＜ 1.6 范圍內,3 種殼層厚度的粒子對應的輻射力函數曲線均出現明顯共振峰,但峰值分布特征不同.當ka=0.7 時,殼層厚度0.01 的聲輻射力函數曲線出現第一個峰值,ka=1.1 時出現第二個峰值;殼層厚度0.05 的聲輻射力函數曲線在ka=1.3 時達到峰值;殼層厚度0.1 時聲輻射力函數曲線在ka=1.3 附近存在負向聲輻射力.隨著殼層厚度的增大,輻射力函數曲線峰值逐漸變小.峰值位置不同反映了聲場中復合粒子聲響應特性的變化,由于考慮了粒子薄殼層的振動響應的影響,隨著彈性球殼厚度增大,殼層的徑向振動響應減弱,對入射聲波能量的共振散射能力減弱,進而導致輻射力共振峰峰值下降.比較基于聲波擾動下薄球殼應力應變響應理論相關的復合粒子所受輻射力曲線發現,殼層厚度變化將影響粒子輻射力的共振響應,主要表現為殼層越薄,粒子在低頻區的共振峰越多且越顯著,這可能與復合結構粒子各個組成部分的物質結構特性相關.球殼厚度增加導致與徑向振動相關的形變減小,可在一定程度上抑制特定頻率范圍內的背向散射,進而導致在球殼厚度為h/a=0.1 時出現的負向輻射力分布.隨著無量綱參量ka的增大,薄殼厚度變化對輻射力的影響在一定的頻率范圍內呈現出減弱的現象,如在2.4 ＜ka ＜3.8 范圍內,3 種殼層厚度的粒子所受聲輻射力差異較小,這可能與該頻段內頻率增大而波長減小,背向散射主要取決于粒子尺度大小有關.隨著ka的繼續增大,薄殼厚度影響又逐漸增大,這可能與聲波引起的結構響應的耦合效應有關,即復合結構的變化會改變粒子的一階散射場分布以及各級共振散射特性,進而導致輻射力函數曲線共振峰位置分布不同.事實上,隨著殼層厚度增大,殼層聲響應模式也不同,如彈性厚殼內需考慮橫波影響,因此,相比較而言,薄殼振動理論更適用于h/a較小的情形,因此,在后面的分析中,選擇球殼厚度為h/a=0.01.

圖2 彈性殼厚度對球體所受聲輻射力的影響Fig.2.Influence of elastic shell thickness on ARF of the sphere.

復合粒子所處的液體環境不同,輻射力響應曲線特征不同,分析了外部流體介質Ⅲ分別為甘油和汞時(其他參數與圖2 一致)的聲輻射力函數曲線,如圖3 所示.對比發現,輻射力函數曲線均呈現出不同程度的峰值響應,且主峰值的位置隨著液體不同而變化,甘油中主峰值的位置在水銀的右側,且甘油中能夠得到較大的峰值.隨著ka的增大,輻射力函數起伏變化,說明輻射力對粒子尺寸和頻率敏感.從輻射力函數數值看,同等條件下介質Ⅲ為甘油時聲輻射力峰值遠大于介質Ⅲ為汞,特別是在ka較小的范圍內,且外部介質為水銀時在ka=1.1附近區域內出現負向輻射力.因此,改變外部流體介質阻抗時,會改變球殼的共振模式,且周圍介質阻抗與殼內介質阻抗差異越大,球殼的散射能力越強,高阻抗梯度的介質環境可以產生較大的輻射力.在內部介質為水銀,外部介質為甘油時,內部與外部介質阻抗梯度極大,內部可視為硬邊界,這意味著有更多的入射波能量被散射.從共振峰的位置看,主要取決于入射聲波頻率、粒子內外介質特性等,因此,在圖3(a)出現明顯的輻射力函數的主共振、二分頻共振和三分頻共振現象,主共振峰出現在ka=5.3 附近,二分頻共振共振峰在ka=3.1 附近,三分頻共振共振峰在ka=1.6 附近,從數值看,峰值位置會發生一定程度的漂移,這可能與輻射力函數的非線性特性相關.兩種液體環境內看輻射力函數曲線在低頻區均表現出比較顯著的起伏特征,因此,從復合粒子的篩選,可以考慮利用小于主共振頻率的低頻聲波實現.

圖3 不同流體介質中球體所受聲輻射力 (a) 甘油;(b) 水銀Fig.3.ARF on the sphere in different fluid medium: (a) Glycerol;(b) mercury.

4.2 理想流體中類細胞結構的聲輻射力

因細胞內部有細胞質和細胞核等,可視作一充液殼形結構[8],當利用聲波對細胞進行聲操控時,需考慮細胞結構對操控的潛在影響.基于細胞特征模型化后的復合粒子對應介質設置為: 用聚糖殼模擬細胞膜,區域Ⅲ介質為水,區域Ⅱ,Ⅰ介質分別為細胞質和細胞核.為探究殼內微粒偏心距對細胞所受聲輻射力的影響,將細胞核與細胞半徑比b/a固定為0.6,比較不同偏心距下聲輻射力曲線,如圖4 所示,其中殼內微粒偏心距d/a=0,0.05,0.10 和0.20.對比發現,當殼內微粒處于偏心狀態時可能影響輻射力函數在ka＜ 1 范圍內的響應狀態,即出現多個峰值位置,即低頻區也可能激勵出較強的輻射力.在ka＞ 2 的范圍內觀察到輻射力函數較為明顯的起伏變化,腹點位置的分布特征表現為隨著偏心距的增大,在2 ＜ka＜ 3 范圍內的腹點位置有細微的左移趨勢,而在5 ＜ka＜ 6 之間的腹點位置有較為明顯右移趨勢,且偏心程度越大,輻射力函數值越大,意味著殼內微粒的偏心效應對輻射力幅值以及分布狀態均有一定影響.細胞核偏心程度的提高改變了細胞內質量分布,細胞質心位置向相應位置的細胞膜偏移,聲波引起的細胞膜振蕩的不穩定性受到細胞核的影響也增強,同時,細胞結構的變化導致共振頻率的變化,進而影響細胞在不同頻率范圍內的聲散射特征,聲輻射力響應也隨之變化.因此,在利用超聲技術輔助病情診斷時,可以根據細胞散射特性隨細胞核的位置發生變化這一特征,借助聲操控分離出正常細胞和病變細胞從而達到診斷目的[31].

圖4 細胞 核不同偏心距細胞所受聲輻射力(d/a =0,0.05,0.10,0.20)Fig.4.ARF on the cell with different nucleus eccentric distances (d/a =0,0.05,0.10,0.20).

組織發生病變時細胞往往出現異常的增殖,為了適應細胞增殖速度,癌變細胞的細胞核會出現異常的增大[32].為了探究這一現象,了解細胞核大小對細胞周圍散射場的影響,在保持細胞核位于細胞中心且其他參數不變的情形下分析了細胞核與細胞半徑比的影響,分別設置半徑比b/a為0.5,0.6 和0.7 時的輻射力函數曲線如圖5 所示.對比發現,隨著細胞核半徑的增大,輻射力曲線出現明顯差異,主要表現為當b/a=0.7 時在ka＜ 3 范圍內的局域共振峰值點增多的現象,表明對確定尺寸的殼形細胞結構而言,內部因異常增生形成的核結構將影響其在低頻區受到的輻射力的共振響應狀態,在局域峰值點附近的聲波頻率的驅動下可能更有利于細胞的篩選.在ka＞3 的范圍內,細胞受到的聲輻射力強度隨ka變化起伏變化且腹點位置有左移的趨勢.

圖5 不同大小細胞核細胞所受聲輻射力(b/a =0.5,0.6,0.7)Fig.5.ARF on the cell with different nucleus size (b/a =0.5,0.6,0.7).

為進一步探究細胞核偏心與否和細胞內核尺寸的影響,對比分析偏心距分別為d/a=0 和d/a=0.1 時細胞結構模型的聲輻射力曲線,如圖6 所示.聲輻射力函數曲線在ka＜ 3 的范圍內出現多個共振峰,表明有局域共振響應發生.當殼層結構內核向入射聲場一側偏移時,偏移量將影響輻射力的起伏變化特征,即可能出現局域略微增強的情形.在ka＜ 1 的范圍內出現了小范圍的負輻射力函數值分布區,說明隨著結構的變化在低頻區的響應有利于不同結構特征的復合殼層粒子的分離.當細胞核偏離細胞中心時,聲輻射力變大,相比較而言,細胞核偏心距對細胞的聲輻射力幅度變化影響更加顯著.細胞核同時發生偏離和半徑變化時二者對細胞所受聲輻射力的影響可形成疊加效應.

圖6 細胞核不同大小和偏心距下細胞所受聲輻射力函數曲線 (d/a =0 實線,d/a =0.1 虛線)Fig.6.ARF on the cell with different nuclear size and eccentricity distances (d/a =0 is shown by the solid line,d/a =0.1 is shown by the dotted line).

為了比較細胞質和細胞核對細胞所受到聲輻射力強度的調控作用,基于細胞核和細胞質特性阻抗展開分析.在分析過程中將特性阻抗進行了無量綱化,具體的細胞核阻抗Zn1和細胞質阻抗Zn2的取值參看附錄B 表B1.圖7 給出的數值分析結果表明,由于細胞周圍的散射場同細胞核、細胞質的特性阻抗密切相關,因此,輻射力函數受細胞核以及細胞質阻抗變換的影響顯著.圖7(a)中給出細胞核相對特性阻抗分別為0.8,0.9,1,1.1 和1.2 時的輻射力函數隨ka變化曲線,相比較而言,其特性阻抗的變化主要影響不同ka值時輻射力的大小,對變化趨勢影響不明顯.隨著細胞核阻抗的增大,在ka=5 附近的起伏幅度逐步增大,且腹點位置有右移的趨勢.圖7(b)給出了細胞質相對特性阻抗分別為0.8,0.9,1.0,1.1 和1.2 時的輻射力函數曲線,對比發現,當細胞質特性阻抗比小于1.0 時,在1.1 ＜ka＜ 2.6 范圍內,細胞受到負向的聲輻射力,阻抗比為0.8 時起伏變化更加顯著,說明特性阻抗比的微小變化可對聲輻射力形成影響.對比細胞質阻抗比大于1.0 的3 種情況發現,除了沒有負向輻射力出現外,三者的起伏變化特征也存在明顯差異,因此,輻射力函數隨著ka的變化對細胞質特性阻抗非常敏感.相比較而言,細胞質的特性阻抗對聲輻射力強度影響更為顯著.當細胞質發生變化時,殼內介質與外部介質阻抗梯度變大,散射增強,聲輻射力也增強.Jo 和Guldiken [33]在實驗中就曾發現密度較大的細胞受力較大,伴隨著較大的橫向位移從而運動到通道兩側,密度較小的細胞橫向位移可以忽略,從而實現細胞的分選.細胞質在細胞總體積中占比更大,當其密度增大時,細胞特性阻抗改變更大.由此產生更強的聲輻射力,可以利用這一特性實現對異質細胞的篩選.

圖7 不同阻抗下細胞所受聲輻射力 (a) 細胞核;(b) 細胞質Fig.7.ARF on the cell with different impedance: (a) Nucleus;(b) cytoplasm.

5 結論

本文從有核細胞的聲操控出發,提出用內置偏心液滴的充液彈性球殼模擬有核細胞,以探究充液球殼各部分參數對其所受聲輻射力的影響.基于薄球殼理論推導了內置偏心液滴的充液彈性球殼在平面波入射聲場中的聲輻射力公式,討論了彈性球殼的厚度、內置液滴偏心距、半徑大小以及外部液體環境對充液球殼所受聲輻射力的影響.彈性球殼的厚度越大,充液球殼所受聲輻射力越小.隨內置液滴偏心距的增大,充液球殼所受聲輻射力增大.偏心液滴半徑大小變化時,充液球殼所受聲輻射力曲線在ka＜ 3 范圍內共振峰增多,在ka＞ 3 范圍內極值點有左移的趨勢.以上結果表明,內置液滴位置和大小是影響充液球殼所受聲輻射力的重要因素,即可以根據充液球殼散射特性對腔內液滴的大小和位置進行判斷.液體腔內介質及偏心液滴的特性阻抗的改變會影響聲輻射力強度,二者對比發現液體腔內介質的特性阻抗對于充液球殼所受聲輻射力的變化起著主要調配作用,其特性阻抗減小時在特定頻率范圍內會產生負向聲輻射力.這意味著可以通過充液球殼受到的聲輻射力來確定內部液體的密度和聲速等物理參數.本文理論模型有助于分析基于聲波對細胞核形態和位置異常細胞的篩選的物理機制,對聲操控技術實現病變組織進行監測和判斷提供理論支持.

附錄A

球坐標轉換系數Q mn具體表達式如下[27]:

當2q是奇數時 (nμ00|m0)=0 .

附錄B

數值計算中使用介質的聲速、密度及阻抗等參數見表B1,彈性球殼的密度、楊氏模量和泊松比見表B2[24].

表B1 液體介質參數值Table B1.Some parameter of liquid medium.

表B2 彈性球殼參數值Table B2.Some parameters of elastic shell.