海洋深水表面張力波-重力波的單波列第n 階自共振定律*

黃虎 田澤冰

(上海大學力學與工程科學學院,上海市應用數學和力學研究所,上海市能源工程力學重點實驗室,上海 200072)

波-波共振機制,無論在微觀物質還是在宏觀物質的能量傳播、分布進程中都起著一種根本、突顯的作用.對于地球上最為廣闊、直觀的海洋表面波運動,勢必更加如此而可觀可知.那么,可否從中提煉出一般的波-波共振規律? 尤其是最為特殊、簡要的單波列共振法則.為此,依據Phillips 開創現代水波動力學而提出特定4-波共振條件的經典一整套方式方法,從基本的海洋深水表面張力波-重力波控制方程組出發,運用Fourier-Stieltjes 變換和攝動方法依次給出自由表面位移的Fourier 分量的第一階微分方程和愈來愈復雜卻趨于完整的第二、三、四階積分微分方程,在一套自創、自明而又簡潔的符號體系下依次求解這些方程而求得其單波列第一階自由表面位移和第二、三、四階非共振與共振自由表面位移的Fourier 系數以及第二、三、四階共振條件,從而順勢推斷出一般的單波列第 n 階自共振定律.這就完整揭示了海洋表面張力波-重力波之單波列共振動力學的豐富內涵,有效擴展了海洋表面重力波之經典Phillips 共振單波列解的適用范圍,為刻畫海洋表面波之雙波列、更多波列的單重、多重共振相互作用機制奠定了基石,因而在全部波動領域的單波列共振規律的探尋上提供了一種典型范例.

1 引言

波之運動,可貫穿所有物質時空.大致說來,紛繁多樣的波可劃分為兩大類: 雙曲波和色散波[1].后者,即以地球上最為廣闊、直觀的海洋表面波為其典型代表.現代水波動力學,始發于20 世紀60年代初表面重力波第三階四波共振的Phillips 解[2].波-波共振在動理學方程的建立[3]、雙波列的最簡計算[4]、能量共享機制更為清晰的闡明[5]、非線性共振相互作用的簡化[6]、實驗證實[7,8]等等方面上引發了一系列經典結果.目前,適用于Bose-Einstein 凝聚[9]、非線性光學[10]、海洋表面波[11]和內波[12]、宇宙開端的重力波[13]等幾乎所有物質波運動尺度、具有極大普適性的波湍流[14-17]的立足點,正是集中性地表現于海洋波-波共振的動理學方程[3,11,12,18-20]上.

海洋表面波,可以是純粹的表面張力波或重力波,或表面張力波-重力波[17,21,22].最近,從實驗上觀察到在表面張力波-重力波交疊處的非局部三波列共振現象[23,24]: 既可在通常的表面張力波-重力波之間發生,也可在以往不允許的表面重力波之間發生.這就涉及雷達直接觀測表面張力波、潛艇航行等相關的一系列海洋活動、工程相關問題,必將對表面重力波固有的頻率適用范圍產生影響.波-波共振,可以是一重的單波列或多波列[25,26]或多重的單波列或多波列[27].這兩種情形就指向一種最基本的復合波態: 單波列之表面張力波-重力波的波-波共振.其若從低階向高階以至于第n階演化下去,則其所對應的共振條件是什么? 未知.則多重多波共振條件更是無從回答.唯有前者獲得精準結果,方可使后者有所憑依,最終求得確切答案,也才能彌補經典深水表面重力波的Stokes 波理論[28,29]和Phillips 共振解[2]在共振上遺留下的歷史空白,也才使得與普適的Hamilton 函數[17,30,31]密切關聯的現今動力學方程[17,32]及其系綜平均的動理學方程[3,11,12,18-20]得以極大擴展和統一刻畫.

目前,存在著深水表面張力波-重力波的第二階三波共振條件[33]和深水重力波的第三階四波[2]、第四階五波[34]、第五階六波[35]的共振條件.較之單一的重力波,表面張力波-重力波的單波列從低階到高階的自共振傳播無疑具有更為豐富的內涵和結構.從中,正所謂“道生一,一生二,二生三,三生萬物”[36],可對應著從四面八方滾滾涌來的萬頃波濤.

基于此,本文按照經典水波共振的Fourier-Stieltjes 變換[2],運用在科學、工程中大行其道的攝動方法[2,37,38],力求嚴格推論出深水表面張力波-重力波之單波列自共振由低階至高階的一般通用共振定律.

2 運動方程組及其Fourier-Stieltjes變換

假定存在一個無黏、無旋、不可壓縮的深水海洋表面波運動.建立直角坐標系O-xyz: 原點O、水平坐標x=(x,y) 位于靜水面上,豎直坐標z向上為正.速度勢函數為?(x,z,t),自由表面位移為ζ(x,t) .其中,t為時間.于是,深水海洋表面波的運動方程組可表述為

其中,dB(k,t) 和 dA(k,t) 可稱為Fourier-Stieltjes變換,B(k,t) 和A(k,t) 則稱為Fourier 系數[2],積分區域為整個波數矢量k平面,k=|k|.

據此,運動學邊界條件(2)和動力學邊界條件(3)可以Fourier-Stieltjes 變換依次表征為

其中,T=T′/ρ,dA和 dB為簡潔起見而忽略了自變量t,B ′和B ′′依次代表對時間的第一、第二階導數,Dn(n=1,2) 和H n(n=1,2,3,4) 的詳細表達式可見文獻[2].此外,

3 單波列各階動力學方程

為求解方程(8),可對Fourier-Stieltjes 變換 dB(k,t) 進行攝動級數展開:

相應地,可得:

將(13)式代入(8)式,可得第一階的微分方程和第二、三、四階的各自積分微分方程:

4 B 和C 的下標符號約定

為規范、簡要、明確地表示單波在一對或多對正負波數矢量點上的哪一階共振與否的Fourier 系數B及其表達式里出現的系數C,特做出以下上下標規定.

1) 第一階各量只有一個下標,均為1.

2) 第二階各量包含以一個減號相隔的兩個下標: 第1 個下標均為2;第2 個下標以一個奇數m(表示“非共振”)或偶數“m+1 ”(表示“共振”)表征.某一對正負波數矢量點即以(m,m+1)刻畫.第2 個下標也可圍繞 (m,m+1) 而表征為“m,m+1”.

3) 第三階各量包含以兩個減號相隔的3 個下標: 第1 個下標均為3;第2 個下標均為1,即代表單波唯一一對第二階正負波數矢量點處的非共振位移;第3 個下標同樣以一個奇數m(表示“非共振”)或偶數“m+1 ”(表示“共振”)表征,同樣也可表征為“m,m+1 ”.

4) 第四階各量包含以三個減號相隔的4 個下標: 第1 個下標均為4;第2,3 個下標皆為1,依次表示在第二、三階正負波數矢量點上的非共振位移;第4 個下標照樣以一個奇數m(表示“非共振”)或偶數“m+1 ”(表示“共振”)表征,照樣亦可表征為“m,m+1 ”.

5 單波列各階共振條件

5.1 第一階自由表面位移和色散關系

解方程(15),可求得:

其 中,K1=|K1|,δ(k) 表 示Diracδ函 數.(21)式即為單波列第一階色散關系.實際上,這正是后續高階共振條件的內在本質體現.

5.2 第二階自由表面位移的Fourier 系數和共振條件

將(19)式代入(16)式,可得對積分有非零貢獻的一對正負波數矢量點k: (±2K1)(1,2) .假設:

其中,K=(K′,K′′)=±2K1或K=(K′,K′′)=0,ε為一個任意小的正數.由(22)式可將(16)式化為

其中,

其中,

據此,可求得(24)式隨時間線性增長的共振特解:

其中,

5.3 第三階自由表面位移的Fourier 系數和共振條件

由(26)式可得:

將(19)式和(31)式代入(17)式,可給出有積分貢獻的兩對正負波數矢量點k: (±3K1)(1,2) ;(±K1)(3,4) .與前類似,在k的小區域內對(17)求k積分,可得:

由(32)式,可令K分別等同于上述兩對波數矢量點k,則可得如下方程:

其中,

和(33)式隨時間線性增長的共振特解:

其中,

顯見,(34)式滿足共振-色散關系(21)式,則可得其隨時間線性增長的共振特解:

其中,

5.4 第四階自由表面位移的Fourier 系數和共振條件

由前述可判知,若要發生第四階共振,則須不發生第二、三階共振.為此,由(37)式可得:

將(19)式、(31)式、(44)式代入(18)式,可給出有積分貢獻的兩對正負波數矢量點k:(±4K1)(1,2) ;(±2K1)(3,4) .再與前類似,在k的小區域內對(18)式求k積分,可得:

進而,在(45)式中可令K=k=±4K1,則得到:

其中,

和(46)式隨時間線性增長的共振特解:

其中,

同樣,可求出第四階在另一對正負波數矢量點(±2K1)(3,4)上的非共振和共振的自由表面位移的Fourier 系數.于是,由上述第二、三、四階自由表面位移的Fourier 系數可求出各階非共振和共振的自由表面位移，進而求出第三、四階在各自不同對正負波數矢量點處的若干典型組合位移，最終得出單波列從第一階到第二階直至第四階的非共振和共振的若干自由表面總位移.

6 單波列第 n 階自共振定律

單波列的第二、第三、第四階自共振表達式已依次推出,它們均表現出鮮明的一致特征.據此,可順勢推斷出單波列的第n階自共振定律:

若海洋深水表面張力波-重力波的單波列自第二階起始的第 (n-1) 階波均不發生自共振,則第n階波發生自共振的條件為

其中,κ表示表面張力與重力的比值,即著名的Bond 數的倒數.

依據深水海洋表面波的下列劃分范圍[27]: 表面張力波,n ＜0.5 ;表面張力波-重力波,0.5＜n ＜6.45 ;表面重力波,n ＞6.45,可給出單波列第n階自共振定律(53)式的演變特征圖1.從中可知,共振波數從“表面張力波”區域急劇地下滑到“表面張力波-重力波”過渡區域,然后平緩地進入“表面重力波”區域.在“表面張力波-重力波”區域內可發生5 種正整數階共振:n=2,3,4,5,6 ;在“表面重力波”區域內可發生無窮多正整數階共振:n=7,8,···.在“表面張力波”區域內則無共振,故以虛線表之.但是,純表面張力波當可發生最低階之第二階的3-波共振[33].顯見,上述劃分的“表面張力波和表面重力波”并非純粹,只是各以其主打“表面張力波-重力波”中的某種波.若從Navier-Stokes方程出發,則可發現存在一個無窮可數“波象(wave-like)”共振集合,可同胚于Cantor 有理數集合[39].(53)式所包容的大于1 的無窮多正整數階共振集合便為其一個特定、典型的子集合,也可更為深刻、通透地以“波粒二象性(wave-particle duality)”加以刻畫[40].

圖1 深水海洋表面張力波-重力波的單波自共振定律,ρ =1000 kg/m3,g=9.81 m/s2,T ′=0.074 N/m,T=7.4×10-5 m3/s2Fig.1.Self-resonance law of one wave for ocean surface waves in deep water: ρ=1000 kg/m3,g=9.81 m/s2,T′=0.074 N/m,T=7.4×10-5 m3/s2 .

將自由表面位移的動力學邊界條件方程作某種典型級數展開,將會發現在其各項的分母中出現冪乘積因子 (κn-1)[41].這就意味著存在一種可數無窮的內在共振族[27],也就給予共振定律(53)式一個充分證實.從(53)式中可以看出: 當n →∞時,K1→0 .這就預示著“物極必反”: 超大波長的波平浪靜,或海流.所謂湖泊,所謂海洋,其動力學乃至于動理學的極致表現,大致在此.

在理論上,可繼續對(53)式的第五、第六階直至第n階單波列持續進行一番循序漸進、愈來愈繁重的運算、求解、論證.從中,自可或可顯出自共振定律(53)始終如一的特性.在實驗上,可以精巧的構想、布局而證實(53)式.例如,可通過對重力環境的改變以達到表面張力和重力區域之間的理論變遷頻率[22].的確,因推演、推斷或猜想而一舉成功的著名物理學定律、方程,總是數學物理或理論物理或應用數學向前推進的一座座不可或缺的里程碑.例如,石破天驚的牛頓運動定律、萬有引力定律[42]和楊-米爾斯方程[43].

7 結論

水波,體現在色散性,重在與其他波動共存的共振性.以此,可將能量從低階向高階顯著地傳播、擴散下去,則最基本的單波列自共振一般特征不可不洞察.本文按照經典的Phillips 共振理論推導出單波列第二、三、四階共振關系而從中推斷出的海洋深水表面張力波-重力波的單波列自共振定律(53)式,即是一大典型實例.這就為深水海洋表面波的單重、多重[27]的雙波列[25]、多波列[26]共振條件定律的提出奠定了基石,而基本的對稱性[44,45]必蘊含在這些定律的構造中.從更為實際的波浪環境條件來看,共振定律(53)式受制于理想的深水波.若是較為實際的有限常水深波[46,47]呢? 更進一步的緩變[48]或陡變[49]的海底波呢? 再將環境流的作用納入其中而包含基本、普遍的波-流-海底共振相互作用機制[50]呢? 無疑,(53)式可以充當這一切擴展的出發點、向導,進而積極推演,大膽預測,最終為與波-流-海底共振密切關聯的能量海浪譜和具有極大普適性的波湍流之Kolmogorov-Zakharov-型譜[3,14-16,19-22]的深入、完整研制提供一個可靠的理論基礎平臺.