磁子學中的拓撲物態與量子效應*

王振宇 李志雄 袁懷洋 張知之 曹云姍 嚴鵬?

1) (電子科技大學物理學院,電子薄膜與集成器件國家重點實驗室,成都 610054)

2) (烏得勒支大學,理論物理研究所,烏得勒支 3584CC,荷蘭)

近年來,隨著物聯網、云計算、大數據以及人工智能等新興技術的快速發展,人們對計算能力的要求越來越高.傳統半導體器件在小型化、節能和散熱等方面面臨著巨大的挑戰,因此亟需尋找一種全新的信息載體代替電子進行信息傳輸與處理.自旋波是磁矩進動的集體激發,其量子化的準粒子稱為磁子.磁子的傳播不依賴于傳導電子的運動,因此不會產生焦耳熱,能夠克服日益顯著的器件發熱問題,因此磁子器件在低功耗信息存儲與計算領域具有重要的應用前景.本文介紹磁子學近年來的一些重要研究進展,主要包括自旋波的手性傳播,自旋波與磁孤子非線性散射導致的磁子頻率梳,磁孤子的拓撲邊界態和高階角態,以及磁子量子態、基于磁子的混合量子體系和腔磁子學.最后,對磁子學的未來發展趨勢及其前景進行分析與展望.

1 引言

自旋波(spin wave)是磁性體系中自旋進動的集體激發態,最早由物理學家布洛赫(Bloch,1952年諾貝爾物理學獎獲得者)[1]于1930 年提出,用來解釋鐵磁體自發磁化強度隨溫度變化的重要規律,隨后在1957 年被物理學家布羅克豪斯(Brockhouse,1994 年諾貝爾物理學獎獲得者)[2]采用非彈性中子散射實驗所證實.量子化的自旋波稱為磁子(magnon),每個磁子攜帶一個約化普朗克常量(?)的自旋角動量,因此磁子也可以像電子一樣承載和傳遞自旋信息.相較于傳統的電子器件,基于自旋波的磁子器件具有以下優勢: 1)自旋波的傳輸不涉及電子的運動,既可以在磁性金屬中傳播,也可以在磁性絕緣體中傳播,避免了由于焦耳熱產生的功耗;2)自旋波在低阻尼材料中可以長距離地傳播自旋信息,傳輸距離可達微米甚至毫米量級;3)自旋波的頻率范圍橫跨吉赫茲(GHz)到太赫茲(THz),能夠提高信息的傳輸以及處理速度;4)自旋波的波長可以小到幾個納米,能夠提高信息的存儲密度,有利于磁子器件的微型化和高集成度;5)磁子具備振幅、相位和極化等波動屬性,基于自旋波的相干特性可以設計出各種邏輯器件;6)磁子的量子特性也可以產生一些宏觀量子現象,如自旋超流(spin superfluidity)[3]和玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation)[4]等.由于具有這些優點,自旋波成為自旋電子學領域中的一個前沿研究熱點,并衍生出一門新興學科—磁子學(magnonics)[5-10].

磁子學的主要目的就是將信息載體從電子的電荷或自旋屬性替換為自旋波,通過自旋波來進行信息傳輸和邏輯計算;其主要研究內容包括自旋波的激發、傳播、調控、探測以及磁子與其他準粒子之間的相互作用,最終利用這些自旋波的特性來設計出磁子器件,實現信息的傳遞和處理.近年來,國內外眾多學者對磁子學進行了大量的研究,并取得了一系列重要的進展.例如,北京航空航天大學于海明課題組[11]利用鐵磁納米線陣列結構實現了超短波長(50 nm)自旋波的激發.此外,利用磁渦旋(magnetic vortex)[12]、磁疇壁(domain wall)[13]、磁性斯格明子(skyrmion)[14]等拓撲磁結構也可以激發出波長小于100 nm 的自旋波.除了激發自旋波,拓撲磁結構也可以調控自旋波,如磁疇壁可以作為自旋波的移相器(phase shifter)[15]、波導(waveguide)[16-18]、偏振片和波片(polarizer and retarder)[19];基于自旋波在磁疇壁處的傳播特性,還可以設計出自旋波二極管[20]、自旋波光纖(spin wave fiber)[21-23]以及自旋波邏輯門(spin wave logic gate)[24]等磁子型器件.利用周期性分布的斯格明子陣列可以形成磁子晶體(magnonic crystal),實現對磁子能帶的動態調控[25,26].當磁子經過斯格明子時,會感受到由貝里曲率(Berry curvature)產生的虛擬磁場,產生拓撲磁子霍爾效應(topological magnon Hall effect)[27-30].最近研究還發現非共線的拓撲磁結構可以誘導和增強磁子之間的非線性耦合,實現對束縛態自旋波的非局域探測和新奇磁子非線性效應的探索[31-36].反過來,自旋波也可以用來產生、驅動和翻轉拓撲磁結構,如利用自旋波聚焦產生斯格明子[37,38],利用磁子的自旋轉移力矩來驅動磁疇壁的運動和翻轉磁矩方向[39-41],利用磁子的軌道轉移力矩來驅動斯格明子的運動[42],利用角向自旋波和徑向自旋波來翻轉磁渦旋和斯格明子的極性等[43-45].目前,基于拓撲磁結構的磁子學[9,46]已成為該領域的研究熱點.

在自旋波探測方面,布里淵光散射技術(Brillouin light scattering spectroscopy)是目前應用最廣泛的探測手段之一,其原理是基于磁子與光子之間的非彈性散射,該技術可以做到時間分辨、空間分辨、相位分辨以及波矢分辨[47-50].此外,還可以利用行波自旋波頻譜(propagating spin wave spectroscopy)[51]、磁光克爾效應(magneto-optical Kerr effect)[52]、掃描透射X 射線顯微鏡(scanning transmission X-ray microscopy)[53]、逆自旋霍爾效應(inverse spin Hall effect)[54]等技術進行自旋波探測.近年來發展起來的氮-空位(NV)色心磁測量技術(nitrogen-vacancy center magnetometry)具有納米量級的空間分辨率和微特斯拉量級的磁靈敏度,也開始應用到自旋波探測領域[55],如對自旋波倍頻效應[56,57]、四波混頻[58]、三磁子散射[59]等非線性信號的探測.

在鐵磁體中,只存在一種磁子自旋類型,即右手極化的自旋波模式.而在反鐵磁體中,左手和右手極化的兩種磁子自旋類型可以同時存在.基于反鐵磁自旋波的極化屬性,人們發現了一系列與磁子自旋相關的物理現象,如反鐵磁自旋波場效應管[60]、磁子能斯特效應[61,62]、磁子Zitterbewegung效應[63]和磁子Hanle 效應[64]等.此外,反鐵磁體還具有無雜散場和超高工作頻率(THz)等優點,被認為是比鐵磁體更好的磁子學研究平臺[65].2018 年,Lebrun 等[66]在反鐵磁絕緣體中觀測到了磁子自旋流的長距離傳輸(可達幾十個微米).雙層鐵磁薄膜通過反鐵磁交換耦合在一起形成的人工反鐵磁體系是研究磁子-磁子耦合的良好平臺,Shiota 等[67]通過動態磁偶極相互作用打破了人工反鐵磁結構中兩層磁性薄膜之間的交換對稱性,在實驗上觀測到了磁子-磁子耦合效應.除了磁子-磁子耦合,磁子還可以與其他體系中的準粒子(光子、聲子等)發生耦合作用,進行信息的交換和協同處理.例如,Huebl 等[68]在實驗上發現當磁子模式與光子模式頻率匹配時,能帶會出現反交叉現象,表明磁子模式與微波光子模式產生了耦合作用.Holanda 等[69]利用波矢分辨的布里淵光散射觀測到磁子自旋轉移至聲子的直接證據,并證實了聲子的自旋屬性.

磁子自旋流與電子自旋流的相互轉化是實現新型磁子器件與傳統電子器件之間集成的關鍵.鐵磁層/金屬層異質結是研究磁子與電子自旋轉移效應經常采用的結構.如美國亞利桑那大學張曙豐研究組[70]于2012 年從理論上預測了在重金屬/鐵磁絕緣體/重金屬三明治結構中,存在著磁子輔助電流拖拽現象.2016 年,中國科學院物理研究所韓秀峰研究組[71]制備出具有層狀垂直式結構的Pt/YIG/Pt磁子異質結,實驗觀測到了磁子輔助電流拖拽效應.隨后,韓秀峰研究組進一步構建和研制了磁子閥[72]和磁子結[73]兩種原型器件,實現了對純磁子自旋流的調控,為構建純磁子電路奠定了器件基礎.

以上內容主要介紹了人們在自旋波的激發、傳輸、調控和探測技術等方面所取得的進展,以及一系列新奇磁子量子效應的發現和新型磁子器件的設計與研制,這些研究極大推動了磁子學領域的發展,并衍生出眾多分支,具體內容如圖1 所示.本文主要總結和概括本團隊與合作者近年來在手性磁子學、非線性磁子學、拓撲磁子學和量子磁子學等方面的理論研究成果,希望能夠起到拋磚引玉的作用,為國內讀者進一步了解和研究磁子學提供一定的線索和幫助.

圖1 磁子學領域的研究框架及其分支[11,16,25,35,55,72,73,88,198,229]Fig.1.Framework and its branches in the field of magnonics[11,16,25,35,55,72,73,88,198,229].

2 手性磁子學

手性(chirality)是指一個物體與其鏡像不同,無法通過轉動和平移操作使它們重合.手性現象在自然界廣泛存在,如左手與右手、海螺殼以及手性分子等.在自旋電子學領域,手性現象也是普遍存在的.最近,華中科技大學的于濤教授及其合作者[74]詳細討論了該領域中的手性,并將其視為廣義的自旋-軌道相互作用(generalized spin-orbit interaction).在磁性體系中,存在著豐富的手性磁結構,如磁渦旋[75]、手性磁疇壁[76]、磁螺旋態和錐形態(magnetic helical and conical states)[77]、磁性斯格明子[78]等.除了靜態磁結構,動態的磁矩進動也具有手性,如在鐵磁體中,磁矩總是繞著有效場以右手系方向旋進,所以只存在右手極化的磁子模式;在反鐵磁體中,兩個子晶格中的磁矩方向相反,若一個子晶格中的磁矩繞著有效場右手進動,則另一個子晶格的磁矩會繞著有效場左手進動,因此可以同時存在左手和右手兩種極化的磁子模式.除了磁矩本身進動的手性特征外,磁偶極相互作用和反對稱交換相互作用(Dzyaloshinskii-Moriya interaction,DMI)等能夠導致磁子能帶的不對稱性,造成自旋波的手性傳播(非互易性).

2.1 磁子的非互易傳播

2.1.1 靜磁自旋波的非互易傳播

當薄膜厚度較厚(k d ?1,k為自旋波波矢,d為薄膜厚度)時,長波長自旋波的傳播主要是由磁偶極相互作用來決定,該類型的自旋波稱為靜磁自旋波(magnetostatic spin waves).根據磁矩指向和靜磁自旋波的傳播方向,靜磁自旋波可以分為前向體自旋波(forward volume spin waves)、后向體自旋波(backward volume spin waves)和靜磁表面自旋波(magnetostatic surface spin waves,也稱為Damon-Eshbach 模)[79].靜磁表面自旋波指當磁矩躺在薄膜面內且與波矢方向垂直時的自旋波模式,其能量主要集中在薄膜表面,振幅隨著距離表面深度的增加而減小.靜磁表面自旋波的傳播具有手性,當其波矢沿相反方向傳播時,能量分別集中在上下表面,導致其傳播的非互易性[8],如圖2(a)所示.Mohseni 等[80]的研究結果表明,靜磁表面自旋波的非互易傳播不受表面粗糙度的影響,并將其傳播對缺陷的魯棒性解釋為動態退磁場引起的對稱性破缺所導致的結果,如圖2(b)所示.

圖2 (a)靜磁表面自旋波的非互易傳播示意圖[8];(b)靜磁表面自旋波非互易傳播對缺陷的魯棒性[80]Fig.2.(a) Schematic illustration[8];(b) robustness character of nonreciprocal propagation of magnetostatic surface spin waves[80].

當薄膜厚度減小至與自旋波波長相當(k d ≈1)時,交換相互作用和磁偶極相互作用共同決定磁矩的進動,它們引起交換自旋波與靜磁波之間彼此影響,組合成新的自旋波模式,稱為靜磁-交換自旋波.交換相互作用是各向同性的短距離作用,而磁偶極相互作用是各向異性的長距離作用.靜磁-交換自旋波的非互易性是由磁偶極相互作用決定的,隨著薄膜厚度和自旋波波長的減小,磁偶極相互作用的貢獻逐漸降低,導致非互易性的減弱甚至消失,如圖3(a)所示.我們最近的研究發現[81],當微波和磁矩進動的橢圓率失配時,左手微波場也可以激發出非互易傳播的自旋波,如圖3(b)所示,而且通過調節自旋波頻率可以改變自旋波非互易性的方向,如圖3(c)所示,該工作揭示了微波場極性對自旋波激發與傳播的影響.值得一提的是,鐵磁體中的自旋波是右手極化的,基于角動量守恒的限制,傳統觀點認為左手極化的微波場無法激發出鐵磁體中的自旋波,其中的物理機制依賴于完美圓極化“光子-磁子”轉換的選擇定則.而我們的研究將這一定則從圓極化拓展到了任意極化的情況,給出了更普遍的結論.

圖3 (a)右手和線性極化微波場驅動下的自旋波振幅;(b)左手微波場驅動下自旋波的振幅;(c)微波場頻率為5.1 和6.7 GHz時,自旋波的非互易傳播[81]Fig.3.(a) Spin-wave amplitudes under the right-handed and linearly polarized microwave fields;(b) amplitudes of spin waves driven by left-handed polarized microwave field;(c) nonreciprocal propagation of spin waves at two field frequencies 5.1 and 6.7 GHz[81].

2.1.2 DMI 導致的磁子非互易傳播

在空間反演對稱性破缺的磁性體系中存在DMI[82,83],其相互作用形式為

其中,S i和Sj是相鄰格點上的自旋,D ij是二者之間反對稱相互作用矢量.DMI 主要有兩種類型: 第一種是由于材料晶格的空間反演對稱性破缺所導致的,稱為體DMI,能量密度可表示為εbulk=Dm·(?×m),這里m為單位磁矩.體DMI 一般存在于具有非中心對稱結構的塊體材料中,例如MnSi[84],FeGe[85]等.第二種起源于界面反演對稱性破缺,稱為界面DMI,能量密度形式為εiDM=D(mz?·m-m·?mz) .界面DMI 一般存在于重金屬/磁性薄膜的異質結構及其多層膜結構中,例如Fe/Ir(111)[86],Pt/Co/MgO[87]等.由(1)式可知,在存在DMI 的情況下,相鄰磁矩傾向于垂直排列,且由于叉乘算符的存在,相鄰磁矩只有按照某種特定的旋轉方向排列時,體系的能量才最低.該奇特的相互作用使得磁性材料中的磁結構具有手性.在DMI 弱于海森伯交換相互作用的情況下,磁矩仍趨向平行排列,無法形成手性磁結構,但DMI 仍會影響磁動力學行為,例如DMI 導致的自旋波非互易傳播[88,89]、納米帶中自旋波的波前傾斜[90,91]、自旋波能流的各向異性和焦散模式[92]、自旋波在手性界面處的負折射現象和古斯-漢欣效應[93-95]、手性磁子晶體中的平帶結構[96]等奇特現象.

下面以界面DMI 為例,討論DMI 對自旋波色散關系的影響.考慮一個具有垂直各向異性的磁性薄膜,自旋波的色散關系可以通過線性化Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG)方程得到:

其中,A *=2γA/Ms,γ為旋磁比,A為交換常數,Ms為飽和磁化強度,為磁晶各向異性常數,μ0為真空磁導率,ω H=γH0,H0是沿方向施加的外場強度,D *=2γD/Ms,D為DMI 常數,θ是磁矩與之間的夾角,? k是自旋波波矢與之間的夾角,如圖4(a)所示.與磁偶極相互作用類似,DMI 對自旋波傳播的影響依賴于磁矩指向(θ)和自旋波的傳播方向(?k).當磁矩躺在面內(θ=π/2)且自旋波沿著垂直磁矩方向(k ⊥m,即? k=0)傳播時,具有相同波長的自旋波反向傳播時存在一個頻率差 Δω/(2π)=2γDk/(πMs)[97],如圖4(b)所示,該效應在實驗上被廣泛應用于探測DMI 強度[98].另外,DMI 的存在會導致自旋波的等頻曲線發生偏移[93],如圖4(d)所示.當自旋波沿著垂直磁矩方向傳播時,自旋波具有不同波長[88],如圖4(c)所示.當自旋波波矢平行于磁矩方向(k//m,即? k=π/2)時,自旋波具有相同的頻率和波長,但DMI 會導致自旋波的波矢和群速(vg)的非共線(圖4(d)中紅色箭頭所示),導致自旋波傳播方向的偏轉[93],如圖4(e)所示.若固定自旋波傳播方向即群速方向沿著磁矩方向(如在磁性納米帶中傳播的自旋波),則會導致自旋波波矢偏轉,造成其波前發生傾斜[90],如圖4(f)所示.上述結果是磁矩落在薄膜面內時的情況,如果磁矩垂直于薄膜表面(θ=0),DMI 對自旋波的傳播沒有影響[89].

圖4 (a)二維磁性薄膜示意圖,m 為磁矩單位矢量,與+z? 軸之間的夾角為θ,k 為自旋波波矢,與+x? 軸之間的夾角為 ? k ;(b)波長相同的自旋波沿垂直于磁矩方向傳播時存在的頻率差[97];(c)同頻自旋波沿垂直于磁矩方向反向傳播時的波長[88];(d)自旋波在波矢空間的等頻曲線[93];(e)波矢平行于磁矩時,自旋波的非共線傳播[93];(f)在納米帶中傳播的自旋波波前傾斜(群速平行于磁矩方向)[90]Fig.4.(a) Schematic illustration of an ultrathin film,m is the unit magnetization vector having an angle θ with the+z? axis,k is the wavevector of spin wave making an angle ? k with the+x? axis;(b) frequency difference of spin waves with opposite wave vectors perpendicular to the magnetization[97];(c) wavelength of spin waves with the same frequency and opposite k perpendicular to the magnetization[88];(d) isofrequency curve of spin waves in the wave vector space[93];(e) non-collinear propagation of spin waves with opposite wave vectors parallel with the magnetization[93];(f) spin-wave canting for spin waves propagation in the nanostripe(the group velocity is parallel with the magnetization)[90].

2.2 磁子在異手性界面處的傳播

自旋波作為一種信息載體,需要具有將信息從一種介質傳輸到另一種介質的能力,因此研究自旋波在磁性界面處的傳播特性具有重要意義.目前,人們研究了自旋波在不同磁性材料、不同厚度、不同磁疇形成的磁疇壁等界面處的傳播,觀測到了自旋波全反射、全透射、雙反射、負折射等奇異現象[21,39,99-101].

已有研究表明,DMI 界面(或稱異手性界面,即界面兩邊具有不同的DMI 強度)可以控制磁疇壁和斯格明子的運動[102-104].Lee 等[105]和Gallardo等[96]利用周期性的DMI 邊界分別實現了自旋波的放大和磁子能帶的調控.類似于光波在界面處的傳播,自旋波在DMI 界面處的傳播遵循磁子的斯奈爾定律(magnonic Snell’s law)[21,93,95,100,106],可以根據自旋波沿界面方向上的動量守恒求得:

其中,θi和θt分別是入射角和折射角,分別是界面兩側區域的等頻圓半徑,可以通過色散關系求得,Δ=D/(2A) 是等頻圓在波矢空間的偏移量,如圖5(a)所示.自旋波在DMI 界面處的傳播可分為三種情況: 正常折射、全反射和負折射.根據(3)式可分別求出自旋波發生全反射和負折射現象的臨界角:

圖5 (a)自旋波在DMI 界面傳播所遵循的斯奈爾定律示意圖.不同角度入射的自旋波在DMI 界面處的傳播 (b) θi=-60° ;(c) θi=-18° ;(d) θi=0° ;(e) θi=18° ;(f) θi=60° [93]Fig.5.(a) Schematic of the generalized Snell's law for the spin-wave scattering at a heterochiral interface.Spin-wave propagation through the DMI interface under different incident angles: (b) θi=-60° ;(c) θi=-18° ;(d) θi=0° ;(e) θi=18° ;(f) θi=60° [93].

2.3 磁子的古斯-漢欣效應

磁子與光子、聲子都是玻色子,許多在光學和聲學中的現象可以“移植”到磁子學中.古斯-漢欣效應(Goos-H?nchen effect,GH effect)[107]是一種基本的光學現象,描述的是一束光在介質界面處發生全反射時,反射光相對于入射光在相位上發生突變,導致反射光沿界面方向產生一個橫向位移.該效應是一種普遍的波動現象,在聲子[108]、電子[109]、中子[110]體系中已觀測到類似的現象.目前關于磁子的GH 效應的研究主要集中在自旋波在磁性薄膜邊界處的反射[111-114],結果表明GH位移對磁性界面性質有著密切的依賴關系.因此,實驗上測量GH 位移可以作為研究磁性界面特性的一種有效手段.2018 年,Stigloher 等[115]實驗上觀測到了靜磁自旋波類似于GH 效應的相移,并從理論上計算出該相移導致的GH 位移可達幾百納米,為在實驗上直接測量GH 位移奠定了基礎.最近的理論研究預測自旋波在反鐵磁耦合的磁性界面[116,117]或者磁疇壁[118]處傳播時也都存在著GH 位移.

在2.2 節的研究基礎上,我們可以進一步定量探討自旋波在異手性界面的GH 效應[94].首先,線性化LLG 方程,將其轉化為等效的薛定諤方程[39]:

其中,Φ=mx+imz是自旋波的波函數,p?=-i??是動量算符,m *=?/(2A*) 是自旋波的有效質量.結合自旋波波函數在DMI 界面的連續性邊界條件:

可以求得自旋波經過界面時的反射率和折射率:

其中

當自旋波發生全反射時,反射系數R為復數,表明反射波發生了相位突變,根據Artmann 公式[119],計算出自旋波的GH 位移:

其中,φr=arctan[Im(R)/Re(R)] 為反射波和入射波之間的相位差.微磁學模擬結果證實了磁子古斯-漢欣效應的存在,如圖6(a)所示.圖6(b)給出了GH 位移隨自旋波入射角度以及DMI 強度的變化,結果表明只有自旋波發生全反射時才會產生GH位移.而且GH 位移的大小對入射角度和DMI 強度具有強烈的依賴性,如圖6(c)和圖6(d)所示,理論公式與模擬結果高度符合.因此,GH 效應也可以用來探測磁異質薄膜中的DMI 強度.

圖6 (a)自旋波發生全反射時的強度分布,Δr 為GH 位移;(b) GH 位移隨入射角和DMI 強度變化的相圖;(c)固定DMI 強度D=3.0 mJ/m2,GH 位移隨入射角度的變化;(d)固定入射角度為 θi=-70° 時,GH 位移隨DMI 強度的變化[94]Fig.6.(a) Intensity map of spin waves reflected from the DMI interface,Δr is the GH shift;(b) phase diagram of the GH shift in dependence on the incident angle and DMI strength;(c) GH shift as a function of the incident angle for D=3.0 mJ/m2 ;(d) dependence of the GH shift on the DMI constant for θi=-70° [94].

2.4 自旋波透鏡

最近,自旋波透鏡引起了廣泛的研究興趣,利用自旋波透鏡可以實現自旋波的聚焦,進而增強自旋波振幅,有助于微弱自旋波信號的探測以及能量的收集.目前構造自旋波透鏡主要是通過設計磁性界面的形狀[120,121]、調制折射率漸變[122-125]、超結構[126,127]等方式.

最近,我們利用半圓形DMI 界面構造了一個自旋波透鏡,實現了自旋波的離軸聚焦現象[128].自旋波在彎曲界面上的傳播同樣遵循磁子的斯奈爾定律:

其中,kr1和kr2分別是界面兩邊自旋波等頻圓半徑,Δ是DMI 區域等頻圓的偏移量,θi和θt分別是自旋波的入射角和折射角,如圖7(a)所示.與(3)式不同,這里的入射角依賴于入射點的坐標(sinθi=yi/R,yi為入射點的縱坐標,R為圓形界面的半徑).假設自旋波聚焦在入射波束與折射波束平行的路徑上(θi=θt=θ0),根據(9)式可計算出入射角度為θ0=arctan[Δ/(kr2-kr1)],如 圖7(b)所示.利用傍軸近似(θi→θ0),可以求得自旋波焦點的位置坐標:

結果表明半圓形DMI 界面會導致自旋波焦點發生偏移,與微磁模擬結果一致,如圖7(c)所示.圖7(d)給出焦點坐標隨自旋波頻率的變化,理論公式(10)與模擬結果有著較大的偏差.導致該偏差的主要原因是由半圓形界面構造的自旋波透鏡不是完美透鏡,存在著球差(不同位置入射的自旋波聚焦在不同位置),嚴重影響了自旋波的聚焦效果.

圖7 (a)自旋波在半圓形界面散射所遵循的廣義斯奈爾定律的示意圖;(b)自旋波焦點的理論計算模型圖;(c)自旋波離軸聚焦的微磁模擬結果;(d)焦點坐標隨自旋波頻率的變化[128]Fig.7.(a) Schematic plot of the generalized Snell’s law for the spin-wave scattering at a semicircle interface;(b) theoretical model of the focal-point coordinates calculation;(c) micromagnetic simulation results of the off-axis focusing of spin waves;(d) focal-point coordinates as a function of the spin-wave frequency[128].

為了構造完美透鏡,我們類比光學中光程的概念,定義磁程(magnonic path length,MPL)為自旋波傳播距離與折射率(nSW)的乘積,其中折射率正比于自旋波波數(k=|k|).基于等磁程原理(identical MPL principle),可以反推出完美透鏡的界面形狀[37].假設一自旋波束水平入射至界面,在界面另一側聚焦于一點,如圖8(a)所示,則等磁程原理可寫為

圖8 (a)等磁程原理示意圖;(b)利用橢圓界面構造磁子透鏡聚焦自旋波的微磁模擬結果;(c)自旋波聚焦產生斯格明子的過程[37]Fig.8.(a) Schematic of the identical magnonic path length principle;(b) micromagnetic simulation of the spin-wave focusing by the magnonic lens constructed by an elliptical interface;(c) the process of the skyrmion generated by the spin-wave focusing[37].

這里n為自旋波在界面左右兩邊傳播的相對折射率,xf為焦距.根據(11)式可以計算出完美透鏡的界面方程為

自旋波聚焦能夠增強焦點附近的磁矩振動的幅度,當自旋波的激發振幅增大到一定值時甚至可以實現焦點附近磁矩的局域翻轉,為斯格明子的生成提供了成核點.圖8(c)為利用自旋波聚焦產生斯格明子的演化過程.結果發現自旋波聚焦后不是直接生成斯格明子(拓撲荷為1),而是產生拓撲平庸(拓撲荷為0)的磁滴(magnetic droplet)[129].然后,繼續施加微波場激發自旋波來不斷地擾動磁滴,打破磁滴與斯格明子之間因拓撲保護產生的能量勢壘,再將磁滴進一步地轉變為斯格明子.通過自旋波聚焦產生斯格明子有望在單個自旋電子器件中同時結合自旋波和斯格明子各自的優勢,有助于實現磁性存儲和磁邏輯元件一體化的設計與應用.

2.5 磁子的斯特恩-蓋拉赫效應

斯特恩-蓋拉赫效應(Stern-Gerlach effect,SG effect)[130]描述的是一束銀原子通過空間不均勻磁場后分裂成兩束銀原子的奇特現象,如圖9(a)所示.SG 實驗首次驗證了原子角動量的空間量子化,揭示了電子的自旋屬性,被認為是打開量子世界大門的鑰匙.2022 年恰逢SG 效應發現100 周年,很多期刊都刊登了一些紀念文章[131,132].該效應在其他體系中(如光子[133]、手性分子[134]等)也得到了預測和證實.與電子類似,磁子也可以攜帶和傳遞自旋角動量.在鐵磁體中,只存在一種磁子自旋類型,即右手極化的自旋波模式.而在反鐵磁體中,左手極化和右手極化的兩種磁子自旋類型可以同時存在,這兩種極化的磁子自旋是簡并的,雖然施加強磁場(幾個特斯拉)可以打破兩種磁子自旋的能量簡并[135],但無法實現兩種磁子自旋極化態的空間分離.

最近研究表明DMI 可以打破兩種極化自旋波模式的簡并[60,61],為實現磁子SG 效應提供了可能.我們研究了反鐵磁自旋波在DMI 界面處的傳播,發現DMI 界面可等效為一個不均勻磁場,將一束線性極化的自旋波束分裂為兩束極化相反的自旋波束[136],如圖9(b)所示.反鐵磁體系中的磁動力學可以由奈爾矢量n的方程進行描述:

圖9 (a)電子斯特恩蓋拉赫效應的示意圖;(b)磁子斯特恩蓋拉赫效應的示意圖;(c)一束線性極化的自旋波經過DMI 界面被分為兩束極化相反(左手和右手)的自旋波;(d)和(e)分別為線性極化自旋波經過半圓形異手性界面傳播的理論和微磁模擬結果;(f)實驗上利用自旋波雙聚焦產生自旋流和探測的示意圖[136]Fig.9.(a) Schematic illustration of the electronic Stern-Gerlach effect;(b) schematic illustration of the magnonic Stern-Gerlach effect;(c) a linearly-polarized spin-wave beam propagates through a DMI interface and is divided into two spin-wave beams with opposite polarizations;(d) analytical and (e) micromagnetic simulation results of the bi-focusing of spin waves propagating through a semi-circle DMI interface;(f) schematic of the spin-current generation by the bi-focusing of spin waves and detection[136].

其中,n=(m1-m2)/2,m1和m2分別是兩套子晶格的單位磁矩,λ和A分別為均勻和非均勻交換常數,K是單軸各向異性常數,D為DMI 常數.假設磁矩在平衡位置進行微小的擾動n=(1,ny,nz),定義n ±=ny±inz分別描述右手和左手極化模式,線性化(13)式得到克萊因-戈登(Klein-Gordon)方程[60]:

這里上標“±”分別對應右手和左手極化自旋波模式.根據(15)式,可以計算出兩種極化自旋波的群速:

通過(16)式可知,DMI 會導致兩種極化的自旋波的群速具有不同方向,進而實現磁子自旋的空間分離,模擬結果與理論分析完全符合,如圖9(c)所示.

類似于鐵磁體中自旋波的聚焦現象,通過設計半圓形異手性界面也可以聚焦反鐵磁自旋波,基于廣義斯奈爾定律和傍軸近似,可計算出焦點坐標:

其中,R為半圓形界面的半徑,分別是界面兩邊自旋波等頻圓的半徑,θ0是折射波束與入射波束平行時的入射角,β是入射波束與透鏡對稱軸(x軸)之間的夾角.圖9(d)給出了理論上線極化反鐵磁自旋波經過半圓形DMI 界面傳播的路徑和焦點位置,與模擬結果高度符合(見圖9(e)),結果發現兩種極化的自旋波的焦點分別沿y軸相反方向發生偏移,我們將此現象稱為磁子的雙聚焦現象[136].該現象提供了一種在反鐵磁體中無需施加外場便能夠產生自旋流的方法.在兩個焦點位置分別放置兩塊重金屬,在焦點聚焦的自旋波可以將自旋流泵浦到重金屬中,如圖9(f)所示.通過逆自旋霍爾效應,將自旋流轉變為電壓信號,通過電壓表進行探測[137,138].由于兩個焦點的自旋波極化相反,因此電壓表探測到的也是相反的電壓信號,即證明該方案可以同時產生兩種極化相反的磁子自旋流.

3 非線性磁子學

當自旋波的激發振幅較大時,LLG 方程本身固有的非線性會導致大量非線性效應的產生,這些非線性過程通常描述為磁子-磁子散射(magnonmagnon scattering)過程,它增加了自旋波激發的衰減通道,長期以來被大家認為是影響磁子器件應用的不利因素.然而,最近研究發現這些非線性效應可以實現自旋波的頻率變換(frequency conversion)[139]、玻色-愛因斯坦凝聚[4,140]等奇特現象.基于這些非線性效應,人們也設計了一些非線性磁子器件,如自旋波晶體管[141]、自旋波定向耦合器[142]等.三磁子和四磁子散射是自旋波相互作用中最常見也是最重要的兩種非線性過程[143].三磁子散射包括三磁子融合和三磁子分裂兩種類型,一般情況下是由磁偶極相互作用誘導產生的[144].三磁子融合是指兩個磁子融合為一個磁子,其逆過程為三磁子分裂,對應一個磁子分裂為兩個磁子(見圖10(a)和圖10(b)).四磁子散射是指兩個磁子轉變為另外兩個磁子,主要由交換相互作用誘導產生,如圖10(c)所示.需要指出的是,磁子作為玻色子,在磁子-磁子散射過程中粒子數可以不守恒,但需要遵循能量和動量守恒.

圖10 (a)三磁子融合,(b)三磁子分裂,以及(c)四磁子散射過程示意圖Fig.10.Schematic of (a) three-magnon confluence,(b) three-magnon splitting,and (c) four-magnon scattering process.

3.1 DMI 和磁疇壁誘導的三磁子過程

在均勻磁化的鐵磁態中,磁偶極相互作用誘導的三磁子耦合強度很弱.因此,尋找三磁子過程新的誘導機制以及增強三磁子耦合強度對設計和研制非線性磁子器件是十分必要的.研究表明,DMI也可以誘導三磁子過程的發生[93].從體系的哈密頓量出發,使用Holstein-Primakoff 變換,將哈密頓量表示為磁子生成湮滅算符(a,a+)的形式,其中三階項對應的是三磁子過程.利用該方法,DMI能量的三階項可表示為

DMI 不僅能夠使色散關系曲線發生偏移,還可以降低磁子帶隙的臨界頻率.在微磁模擬中,設置一個DMI 納米窄帶可以將自旋波束縛在其內部,然后再入射一個體態自旋波束,可以研究束縛態自旋波與入射的體態自旋波之間的三磁子耦合,如圖11(a)所示.根據三磁子過程滿足的能量和動量守恒,可以計算出三磁子融合和分裂模式的頻率與波矢,實驗上可以利用具有波矢分辨能力的布里淵光散射技術進行探測[47].反之,可以通過探測三磁子非線性信號反推出束縛態自旋波的頻率與波矢,結合色散關系,可以計算出納米窄帶的DMI強度,提供了一種實驗上非局域探測DMI 強度的方法.

圖11 (a) DMI 誘導的三磁子過程[93];(b)磁疇壁誘導的三磁子過程[32]Fig.11.Schematic illustration of three-magnon processes induced by (a) the DMI[93] and (b) domain wall[32].

此外,非均勻磁結構也可以誘導出三磁子過程和增強磁子之間的耦合作用[31,32,145].磁疇壁是一種常見的非均勻磁結構,其內部存在束縛態自旋波模式,可作為自旋波傳播的波導[16,17].磁疇壁構型體系的哈密頓量也包含磁子算符的三階項:

其中,K是各向異性常數,Y是疇壁中心位置,w=為疇壁寬度.該結果表示磁疇壁可以誘導出三磁子過程.微磁模擬結果也驗證了這一點,如圖11(b)所示.根據能量和動量守恒,利用三磁子過程可以動態監聽磁疇壁里面的自旋波,為探測基于磁疇壁為通道的自旋波的信息提供了一種新的思路.

3.2 磁子頻率梳

頻率梳是指一系列離散的、等頻率間隔的像梳子形狀的光譜.光學頻率梳就像一把“光尺”,能夠對頻率實現極其精確的測量.光頻梳技術的發明被廣泛認為是精密測量歷史上具有革命性意義的進展,因此獲得了2005 年的諾貝爾物理學獎[146,147].同時,光頻梳也促進了激光光譜學、阿秒激光物理等學科的發展,在基本物理學常數的精確測量、全球定位系統(GPS) 精度的提高、化學反應的追蹤、疾病診斷等方面有著重要的應用[148-150].光學頻率梳的成功激發了研究者們在其他體系中探索頻率梳存在的可能性.2014 年,南京大學王牧和彭茹雯研究組[151]從理論上預測了聲子頻率梳的存在.隨后,劍橋大學Seshia 教授研究組[152]于2017 年在實驗上觀測到聲子頻率梳效應.磁子與光子、聲子同屬玻色子,應具有相同或類似的性質.非線性效應對頻率梳的產生至關重要,在均勻磁化鐵磁態中三磁子耦合強度很弱,而強交換相互作用誘導的四磁子過程被證明在二維或者更高維度體系中無法產生頻率梳[35].因此,如何在磁學體系中產生頻率梳是一個有趣且具有挑戰性的問題.

3.2.1 斯格明子誘導的磁子頻率梳

目前,斯格明子與自旋波之間相互作用的研究主要集中在自旋波驅動下斯格明子的運動[42]、斯格明子導致的自旋波斜散射[153]、以及利用斯格明子構造磁子晶體[25]等,研究范圍主要局限于線性響應領域.根據3.1 節的內容可知,非均勻磁結構能夠誘導以及增強三磁子耦合強度,Aristov 和Matveeva[31]也在理論上預言了斯格明子可以誘導三磁子過程的發生.基于此,我們系統地研究了自旋波與斯格明子之間的相互作用,發現當入射自旋波的激發振幅達到一定閾值時,可以激發出斯格明子的呼吸模式(ωr),然后呼吸模與入射自旋波發生三磁子耦合產生和頻模式(sum-frequency mode,ω0+ωr)與差頻模式(difference-frequency mode,ω0-ωr),新產生的和頻與差頻模式繼續與呼吸模耦合產生更高階的自旋波模式,這一鏈式反應最終導致了磁子頻率梳的形成[35],如圖12(a)所示.

圖12 (a)磁子-斯格明子非線性散射產生自旋波頻率梳的示意圖;(b)微磁學模擬驗證結果[35]Fig.12.(a) Schematic of nonlinear magnon-skyrmion scattering induced spin-wave frequency comb;(b) micromagnetic simulation results[35].

對體系哈密頓量進行二次量子化處理,保留至三階項,可進一步推導出參與三磁子過程的各個自旋波模式的動力學方程:

其中,Δ ν=ων -ω0(ν=k,p,q) 表示自旋波模式激發的失諧程度,α ν(ν=k,r,p,q) 是各個自旋波模式的阻尼系數.通過數值求解(20)式可以得到各個自旋波模式的占據數.理論分析與模擬結果相符合,如圖12(b)所示.斯格明子的呼吸模式頻率與其半徑平方成反比,因此可以施加磁場或電場等方式改變斯格明子半徑進而實現調控頻率梳的頻率間隔.最近,浙江大學王杰教授課題組[154]利用應力改變斯格明子的半徑,實現了對磁子頻率梳間隔的調控.斯格明子誘導磁子頻率梳現象同樣適用于其他拓撲磁結構,如中南大學郭光華課題組[155]報道了自旋波與振蕩的磁疇壁相互作用產生的自旋波頻率梳.此外,其他產生磁子頻率梳的方法最近也被相繼報道.如華中科技大學熊豪教授[156]提出了利用共振增強的磁致伸縮效應的方案來產生磁子頻率梳.德國亥姆霍茲德累斯頓羅森多夫研究中心的Schultheiss 研究組[157]實驗上在一維磁性納米帶中探測到通過四磁子過程誘導的磁子頻率梳.上海科技大學陸衛教授課題組[158]在鐵磁絕緣體中利用光誘導磁子態的非線性產生了磁子頻率梳，可以有效地避免電子噪聲的干擾，有望在信息技術中實現超低噪聲的信號轉換.

3.2.2 磁子頻率梳與彭羅斯超輻射

除了常見的自旋角動量(spin angular momentum,SAM),最近研究發現在具有旋轉對稱性的磁體系中(如納米圓柱、圓盤等)自旋波還可以攜帶軌道角動量(orbit angular momentum,OAM)[159,160],這類特殊的磁子稱為渦旋自旋波(twisted spin wave).渦旋自旋波的相位結構呈現螺旋狀分布,可由相位角?和非零拓撲荷l構成的函數 exp(il?)來表示,其中整數l也稱為渦旋自旋波的階數,表示其攜帶的OAM 量子數.不同于SAM 量子數只能取±1,OAM 量子數理論上可以取任意整數.因此,渦旋自旋波攜帶的OAM 比SAM 大很多倍,通過OAM 轉移,可以更加有效地操控斯格明子等拓撲磁孤子[42].另外,不同OAM 量子數的渦旋自旋波之間具有正交性,被認為是一種出色的信息載體,可用于多路復用以提高磁子通信的信道容量.然而,如何產生OAM 可調諧的寬頻帶渦旋自旋波(含有多OAM 態的渦旋自旋波)是基于OAM復用的通信技術需要解決的關鍵問題.

傳統上,三磁子過程的發生需要滿足能量和動量守恒,而渦旋自旋波因其獨特的旋轉對稱性要求三磁子過程的發生需要滿足能量和軌道角動量守恒,因此渦旋自旋波頻率梳中不同頻率的譜線攜帶著不同的軌道角動量.如果能夠產生基于三磁子過程的渦旋自旋波頻率梳,就能實現OAM 的多路復用,有望帶來磁子通信技術方面的巨大變革.目前,渦旋自旋波的研究主要集中在均勻磁化的納米圓柱中[42,159,160],偶極相互作用誘導的三磁子耦合強度較弱,無法產生磁子頻率梳.早期研究結果表明,不均勻磁結構可以誘導和增強三磁子的耦合強度[31,32,145],有望實現磁子頻率梳的產生.

磁渦旋態是納米圓盤中一種常見的穩態,它具有三種典型的本征模式: 渦核的旋進模式、徑向和角向自旋波模式[161].其中,角向自旋波具有軌道角動量屬性,屬于渦旋自旋波的一種.實驗上已經觀測到磁渦旋態體系中的三磁子過程,當徑向自旋波的激發振幅達到一定閾值時,會分裂為兩個OAM量子數不等的角向自旋波[33].因此,磁渦旋態是一個產生渦旋自旋波頻率梳的良好平臺.

與斯格明子誘導的磁子頻率梳類似,當渦旋自旋波(角向自旋波)的激發振幅大于一定閾值時,渦核會被自旋波驅動到一個大半徑軌道上旋進,渦核的旋進模式會跟渦旋自旋波繼續發生三磁子耦合,進而產生渦旋自旋波頻率梳[36],如圖13(a)所示.頻率梳的相鄰譜線之間的頻率間隔等于渦核的旋進頻率,攜帶的軌道角動量相差一個量子數,如圖13(b)所示.

圖13 (a)渦旋自旋波與旋進渦核之間發生非線性散射產生渦旋自旋波頻率梳的示意圖以及微磁模擬驗證結果;(b)渦旋自旋波頻率梳的模式分布[36]Fig.13.(a) Schematic of twisted magnon frequency comb induced by nonlinear scattering between twisted spin waves and gyrating vortex core,and the verification of micromagnetic simulation results;(b) mode profiles of twisted magnon frequency comb[36].

進一步研究還發現,當渦核的旋進速度大于渦旋自旋波的相速(ωg＞ωl/l)時,會出現類似天文學中的彭羅斯超輻射(Penrose superradiance)現象,該現象是彭羅斯[162]在研究如何從旋轉黑洞中提取能量時發現的.此時,旋進的渦核類似于旋轉的黑洞,旋進的軌道形成一個能層(ergoregion).頻率梳中的高階模式從能層中獲取能量從而逃逸出去,并且振幅得到了放大;而低階模式的能量被能層吸收,振幅降低,被束縛在能層內部,如圖14所示.磁子彭羅斯超輻射效應顯著提高了磁子頻率梳的平整度(flatness),有助于磁子頻率梳在微波精密測量和磁傳感等領域的應用,開辟了利用磁子學模擬旋轉黑洞等天文學現象的新思路.

圖14 渦旋自旋波發生彭羅斯超輻射效應時頻率梳模式的振幅以及模式分布[36]Fig.14.Amplitude and mode profile of twisted magnon frequency comb with and without Penrose superradiance effect[36].

4 拓撲磁子學

自20 世紀80 年代發現量子霍爾效應以來[163,164],人們逐漸認識到一種新物相——拓撲相的存在,這種奇異的物相能使系統免于材料缺陷和無序的干擾,其邊界態的魯棒特性在信息傳輸與量子計算領域存在巨大的潛在應用[165,166].對拓撲相的研究雖然始于電子系統[165,166],但是近年來這一概念已經被拓展到了幾乎所有物理學分支,如光學[167]、聲學[168]、力學[169]、電路[170]和自旋電子學[171]等.拓撲理論中存在著一種非常重要的對應關系,即所謂的體邊對應: 體能帶的性質決定邊界態的屬性[165,166].傳統的n維拓撲絕緣體(TI)具有n -1 維拓撲邊界態,被稱為一階拓撲絕緣體,如圖15(a)所示.有趣的是,近幾年,拓撲絕緣體的概念被推廣到了高階情形,即所謂的高階拓撲絕緣體[172].和普通(一階)拓撲絕緣體所不同的是,高階拓撲絕緣體允許n-2 甚至n -3 維拓撲邊界態的存在,如圖15(b)和圖15(c)所示.對高階拓撲相的刻畫需要借助于一些新的拓撲不變量,如體極化[173]、格林函數零點[174]和Z N貝里相[175]等.

圖15 不同類型的拓撲絕緣體示意圖 (a)一階拓撲絕緣體及不同維度下系統的邊界態;(b)二階拓撲絕緣體及對應邊界態(角態和鉸鏈態);(c)三階拓撲絕緣體及對應邊界態(角態)[171]Fig.15.Schematic plot for different types of TIs: (a) The firstorder TI and edge states in different dimensions;(b) the second-order TI and edge states (corner state and hinge states);(c) the third-order TI and edge states (corner states)[171].

在經典的磁性系統中,自旋波(或磁子)和磁孤子(如疇壁、渦旋、斯格明子等)代表了兩種重要的元激發.如前文所述,類似于電子和光,磁子和磁孤子也能作為載體實現對信息的操控、傳輸和處理,基于它們的器件具有高密度、低能耗和非易失等傳統電子器件無法企及的優勢.但是一般的自旋電子器件容易受到材料中不可避免的缺陷和無序的影響,尋找磁性材料中的拓撲相有望成為解決這一問題的關鍵.2010 年磁子霍爾效應(MHE)的發現[176]揭開了人們研究磁子拓撲相的序幕,最近人們又發現磁孤子陣列的集體振蕩在一定的條件下也能表現出拓撲相[177-179],基于磁子和磁孤子晶體(或超材料)的拓撲絕緣體和半金屬吸引了越來越多研究者的關注.本節介紹磁子和磁孤子系統中的拓撲相.

4.1 拓撲磁子

對磁子的研究雖然可以追溯至20 世紀20 年代,但磁子的拓撲性質一直很少被人提及,直到實驗上觀測到磁子霍爾效應,磁子拓撲屬性的大門才慢慢被打開.

4.1.1 磁子霍爾效應

2010 年,Katsura 等[180]從理論上預言,磁子的熱霍爾效應可以在kagome 晶格結構的磁體中實現,這為實驗上探測磁子霍爾效應提供了方案.同年,Onose 等[176]在燒綠石晶格結構的絕緣鐵磁體 L u2V2O7中觀察到了磁子霍爾效應.燒綠石結構可以看成交替的kagome 和三角形晶格的堆疊,如圖16(a)所示.當沿縱向施加溫度梯度時,可以在橫向上觀察到熱流,圖16(c)給出了橫向熱霍爾電導的測量結果.一般而言,材料中的電子、聲子和磁子都能產生熱流.然而,從圖16(c)可以看出,熱霍爾電導在低磁場區域內急劇增加并達到飽和,這無法用正常的霍爾效應(電導率與磁場強度成正比)來解釋.另外,強磁場區域內熱霍爾電導的下降也不能用聲子機制來解釋[181].因此,這里橫向熱流的產生只能通過磁子霍爾效應來解釋.圖16(b)給出了磁子霍爾效應的示意圖,在該模型中,DM 相互作用破壞了系統的反演對稱性,從而導致了磁子霍爾效應.

圖16 (a) 燒綠石絕緣鐵磁體 L u2V2O7 的晶體結構示意圖;(b)磁子霍爾效應: 縱向的溫度梯度導致橫向熱磁子流;(c)不同溫度下,熱霍爾電導隨磁場的變化[176]Fig.16.(a) Crystal structure of pyrochlore ferromagnet L u2V2O7 ;(b) magnon Hall effect: the longitudinal temperature gradient leads to the transverse thermal magnon current;(c) magnetic field dependence of the thermal Hall conductivity for various temperatures[176].

磁子霍爾效應被發現后,人們試圖理解其中橫向熱磁子流的起源.Matsumoto 和Murakami[182]證明,磁子波包受到溫度梯度的作用后(如圖17(a)和圖17(b)]將獲得一個垂直于梯度方向的反常速度,該速度與邊界磁子流相關.進一步的計算表明橫向熱霍爾電導κxy與貝里曲率Ω n(k) 之間具有如下關系:

從(21)式可以清楚地看出,κ xy起源于動量空間中的非零貝里曲率.當能帶彼此靠近時(交叉點附近),貝里曲率的值最大,此時κ xy也達到最大值.磁子霍爾效應可以理解如下: 當系統處于平衡態時(如圖17(c)),由于限制勢的存在,系統存在沿邊界循環傳播的磁子流.磁子流在兩個相反邊界處的大小相等,導致通過磁體的總熱流等于零.施加溫度梯度(如圖17(d))后,磁子將從高溫區流向低溫區,這就打破了兩個相反邊界處的熱流平衡,從而導致非零熱霍爾電流的產生.此外,Zhang 等[183]研究表明,這些邊界磁子流實際上是由非平凡的拓撲磁子能帶所導致的手性邊界態,這種單向傳播的邊界態能免疫缺陷和無序的干擾.總之,具有魯棒特性的磁子霍爾效應起源于磁子的非平凡能帶結構.

圖17 (a)磁子波包的自轉產生的磁子邊界流;(b)沿邊界傳播的磁子;(c)處于平衡態的邊界磁子流;(d)溫度梯度的施加會導致有限熱霍爾電流的產生[182]Fig.17.(a) Self-rotation of a magnon wave packet with a magnon edge current;(b) magnon near the boundary;(c) magnon edge current in equilibrium;(d) a finite thermal Hall current emerges when temperature gradient is applied[182].

自燒綠石鐵磁絕緣體[176]中發現磁子霍爾效應以后,人們逐漸地也在其他磁性材料中觀察到了類似的效應,如kagome 磁體Cu(1,3-bdc)[184],阻挫焦綠石量子磁體 T b2Ti2O7[185]和釔鐵石榴石(YIG)[186]等.

4.1.2 磁子拓撲絕緣體

通過調節參數JNN/JN和D/JN,系統可以在4 個不同的拓撲相之間轉變.這里JN和JNN分別表示最近鄰和次近鄰晶格之間的交換系數,D表示最近鄰晶格之間DM 相互作用的強度.圖18(b)給出了系統的相圖,同時也標明了由磁子霍爾效應產生的橫向熱電導κ xy的符號.為了進一步描述相圖中出現的不同拓撲相,可以畫出半無限大系統(圖18(a))的能帶結構,如圖18(c)—(f)所示.這里用一個具體的例子來說明上面關于纏繞數ν和拓撲邊界態的關系,考慮拓撲相(3,—2,—1)(如圖18(f)),因為ν1=C1=3,所以最低帶隙中存在三個具有正向群速度的拓撲邊界態;在第二帶隙中,只存在一個具有正向群速度的拓撲邊界態,因為ν2=C1+C2=1 ;又因為所有能帶的Chern 數求和必須等于零,所以在最上面能帶的上方不可能存在拓撲邊界態.對其他情形,也可以做類似分析.在這個模型中,磁子的拓撲相起源于DM 相互作用.

圖18 (a)半無限大kagome 晶格結構;(b)系統的相圖及Chern 數;(c)—(f)不同拓撲非平凡相(圖(b)中紅點所示)所對應的能帶結構[187]Fig.18.(a) Semi-infinite kagome lattice;(b) topological phase diagram of the system with different Chern numbers;(c)—(f) band structures for different topologically nontrivial phases as marked with red dots in panel (b)[187].

除DM 相互作用可以導致拓撲磁子絕緣體外,Shindou 等[188]從理論上預言,磁偶極相互作用也可以賦予磁子能帶非零的Chern 數,且邊界態的傳播方向可以通過外磁場進行調節.此外,Wang等[190]也發現,自旋軌道耦合誘導的贗交換相互作用也能打開磁子帶隙,從而誘導出非平凡的拓撲磁子態.

上述討論的磁子霍爾效應都是基于共線磁結構,Hoogdalem 等[28]發現,非共線磁結構(如斯格明子)可以產生虛擬磁場,這也會導致磁子熱霍爾效應.這種霍爾效應完全由磁結構的局域非零拓撲荷密度導致,因此被稱為拓撲磁子霍爾效應(TMHE).隨后,Mochizuki 等[191]在實驗上證實了TMHE 的存在.

4.1.3 磁子拓撲半金屬

在拓撲磁子學中,除磁子拓撲絕緣體外,另一類重要的拓撲相是磁子拓撲半金屬[192-194](如外爾半金屬).類似于電子系統中的外爾半金屬[195],磁子外爾半金屬中的能帶在動量空間中的特殊點(稱為外爾點)處線性交叉.外爾點處的貝里曲率顯示出磁單極子的特性,由整數拓撲荷或手性來表征.基于no-go 定理,整個布里淵區內的凈拓撲荷為零,因此,外爾點必須成對出現,且具有相反的拓撲荷(± 1)[196].外爾點附近的磁子可以用有效的外爾哈密頓量來描述,被稱為外爾磁子.在外爾半金屬中,每對外爾點之間的拓撲邊界態存在于系統表面[197],這些表面態的等能面形成弧,弧的數量等于外爾點的對數.

最近,Su 和Wang[194]在理論上指出,堆疊型蜂巢鐵磁體(如圖19(a)]能實現磁子外爾半金屬.系統的哈密頓量可以表示如下:

這里,i和j表示晶格的位置,l和l ′表示層序數,〈i,j〉和〈 〈i,j〉〉分別表示最近鄰和次近鄰層內的晶格位置,〈 l,l′〉表示最近鄰層間晶格,S i,l表示第l層位置i處的自旋.第一項表示層內鐵磁交換相互作用,第二項表示易軸沿著z方向的磁晶各向異性能,第三項表示層間交換相互作用,第四項表示DM 相互作用,最后一項描述塞曼能.通過分析磁子哈密頓量,可以發現系統存在三個不同的磁子外爾半金屬相: 兩個外爾半金屬相具有一對處于不同位置的外爾點,一個外爾半金屬相具有兩對外爾點.選取兩組不同的參數來表征磁子外爾半金屬相(一對和兩對外爾點).圖19(c)和圖19(d)畫出了系統在k x-kz平面(k y=0)內的能帶,紅色和藍色小球分別表示手性為+1 和-1 的外爾點.相應的貝里曲率分布在圖19(e)和圖19(f)中給出,黑色箭頭表示貝里曲率在k x-kz平面內的投影,背景顏色表示貝里曲率的散度(紅色表示正值,藍色表示負值),可以很明顯地看出在外爾點的位置,貝里曲率表現出磁單極子的特性.同時,受拓撲保護的表面態形成的磁子弧可以在半無限大系統的能帶圖清晰地看到,如圖19(g)和圖19(h)所示.此外,Mook等[192]和Su 等[193]也指出燒綠石鐵磁體(L u2V2O7)是一種天然的磁子外爾半金屬,通過對系統能帶的表征,可以觀察到磁子外爾半金屬的典型特征: 磁子弧和磁子手征反常等.

圖19 (a)堆疊蜂巢型鐵磁體示意圖;(b)第一體布里淵區和表面布里淵區;(c),(d)外爾磁子的能帶結構,紅色和藍色小球分別表示手性為+1 和—1 的外爾點;(e),(f)貝里曲率的空間分布;(g),(h)有限大系統的能帶結構[194]Fig.19.(a) Schematic diagram of stacked honeycomb ferromagnets;(b) the first bulk Brillouin zone and the first surface Brillouin zone of the system;(c),(d) band structures of Weyl magnons,the Weyl nodes of chirality ± 1 are marked by red and blue dots,respectively;(e),(f) corresponding Berry curvatures of the magnon bands;(g),(h) band structures of finite system[194].

在磁子自旋電子學中,一個關鍵問題是如何控制自旋波的傳播.傳統的自旋波對器件幾何結構、內部和外部擾動非常敏感,這使得自旋波器件的靈活性和穩定性都很差.此外,常規的自旋波很難實現單向傳輸.為了設計可調控的和穩定的自旋波器件,拓撲魯棒的自旋波是必不可少的.Wang 等[190]預測了鐵磁蜂巢晶格上的拓撲手性自旋波,并且進一步提出了拓撲磁子器件的概念[198].邊界態自旋波傳播的方向與磁矩的方向密切相關,如圖20(a)所示.利用自旋波的單向傳播特性,可以設計自旋波二極管,如圖20(b)所示: 當激發源在位置②時,自旋波能單向傳輸到位置①,此時二極管處于導通狀態,而如果激發源在位置①,自旋波不能傳輸到位置②,此時二極管處于斷開狀態.拓撲磁子的傳播方向在相反的兩個磁疇區域是不同的,利用這個性質可以設計自旋波分束器,如圖20(c)所示,一束自旋波最終被分成了4 束(最底下的黑色箭頭表示自旋波激發源,其他黑色箭頭表示探測位置).另外,在磁子學中,自旋波干涉儀是一個非常重要的設備,利用拓撲磁子,可以設計穩定的、可調控的自旋波干涉儀,如圖20(d)所示: 一束拓撲磁子(AB)通過分束器分成兩束,經過不同路徑的磁子在C 處匯合實現干涉,最后再次分成兩束.此外,Shindou 等[189]利用磁子晶體中的拓撲磁子,也設計出了自旋波分束器和干涉儀.

圖20 (a)自旋波傳播示意圖,黑色箭頭表示磁矩的方向,黃色箭頭表示自旋波的傳播方向;(b)自旋波二極管;(c)自旋波分束器;(d)自旋波干涉儀示意圖[198]Fig.20.(a) Schematic illustration of SW propagation,the black arrows denote the direction of magnetization,yellow arrows represent the propagation direction of SW;(b) illustrations of SW diode;(c) SW beam splitters;(d) SW interferometers[198].

4.2 拓撲磁孤子

磁孤子是磁性系統中一種非常重要的非線性激發.一般來說,磁孤子由它們的拓撲荷[78]來描述:

這里m表示沿局域磁矩方向的單位矢量.典型的磁孤子包括磁渦旋[199]、磁泡[200]、斯格明子[201]和磁疇壁[202]等,如圖21 所示.磁泡和斯格明子的拓撲荷為±1,而磁渦旋的拓撲荷則為±1/2 .拓撲荷是受拓撲保護的不變量,意味著平凡磁結構(如鐵磁態)不能連續變形為磁孤子結構.磁孤子具有尺寸小、易操控和穩定性高等特點,在實際應用中具有重要發展潛力,是凝聚態物理中長期被關注的重要課題[203,204].

圖21 (a)磁泡,(b)渦旋,(c)布洛赫型斯格明子,(d)奈爾型斯格明子,(e)反渦旋,(f)反斯格明子,(g)奈爾型疇壁,(h)渦旋型疇壁和(i)布洛赫型疇壁微磁結構示意圖[171]Fig.21.Micromagnetic structures of (a) magnetic bubble,(b) vortex,(c) Bloch-type skyrmion,(d) Néel-type skyrmion,(e) antivortex,(f) antiskyrmion,(g) Néel-type,(h) vortex-type,and (i) Bloch-type domain walls[171].

類似于其他(準)粒子,磁孤子陣列的集體振蕩也能表現出波的特性[205,206].通過將無質量的Thiele 方程映射到Haldane 模型[207],Kim 和Tserkovnyak[208]在理論上預言二維蜂巢結構的磁孤子晶格能實現手性邊界態.不久,Li 等[209]在微磁模擬上也證實了這一點.最近,磁孤子的高階拓撲絕緣體和外爾半金屬也相繼被報道[177-179,210,211],磁孤子晶格作為一種全新的超材料吸引了人們越來越多的關注,本節重點介紹磁孤子系統中的拓撲相.

4.2.1 一階拓撲絕緣相

拓撲絕緣體中,Su-Schrieffer-Heeger (SSH)[212]和Haldane[207]模型是兩種典型的一階拓撲模型,在各種系統中已被廣泛研究.在磁孤子系統中,可以構造類似的晶格結構實現一階拓撲絕緣相.

圖22(a)給出了不同磁孤子的一維SSH 模型示意圖,磁孤子被周期性的缺口釘扎住,黑色箭頭表示磁矩的方向.磁矩的動力學由Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG)方程來描述[214]:

這里m表示沿局域磁矩的單位矢量,γ是旋磁比,α是吉爾伯特阻尼常數,有效場Heff包含外磁場、交換場、磁晶各向異性場和偶極場.這里選取疇壁(domain wall,DW)作為具體的例子來討論,利用集體坐標的方法[215],經過一系列數學運算之后,可以得到疇壁的動力學方程:

這里M=2μ0LyLz/[γ2(Nz -Ny)Δ] 是單個疇壁的有效質量,是疇壁寬度,q j是第j個疇壁的位置,K是釘扎勢的恢復系數,I(djk) 是最近鄰疇壁之間的耦合強度,μ0為真空磁導率,L y和L z分別表示納米帶的寬度和厚 度,N i(i=x,y,z) 表示不同方向的退磁因子,A為交換常數,Ms為飽和磁化強度,Ku為磁晶各向異性常數.通過求解方程(25),可以得到無窮大系統的能帶,如圖22(c)所示.當d1=d2時,系統能帶為無帶隙結構,而當d1d2時,系統能帶會在布里淵區邊界打開帶隙,這里d2的長度被固定為140 nm.通過計算拓撲不變量Zak 相,發現系統在d1/d2=1 的位置發生了拓撲相變,如圖22(d)所示.為了進一步表征系統的拓撲相,計算了有限大情況下的能帶和本征模式,發現在疇壁振蕩的本征頻率位置,出現了模式局域在系統一端的邊界態,如圖22(e)和圖22(f)所示,邊界態的強度分布很好地符合冪指數衰減形式.另外,這些邊界態也被證實能免疫中等強度的缺陷和無序的干擾.

圖22 (a)被周期性缺口釘扎的渦旋,斯格明子和疇壁賽道示意圖;(b)歸一化磁矩分量沿疇壁賽道中心的分布;(c)無限大疇壁賽道的能帶結構;(d) Zak 相隨比值 d1/d2 的變化;(e)對不同的 d1/d2,有限大疇壁賽道的能譜;(f)邊界態對應疇壁振蕩強度的分布[213]Fig.22.(a) Illustration of the vortex,skyrmion,and DW racetrack with periodic pinnings;(b) components of normalized magnetization along the center of DW racetrack;(c) band structure of an infinite DW racetrack;(d) dependence of the Zak phase on the ratio d1/d2 ;(e) spectrum of a finite DW racetrack for different d1/d2 ;(f) DW-oscillation amplitude for edge state[213].

除一維SSH 模型外,二維Haldane 模型也能實現一階拓撲絕緣體.磁孤子組成的蜂巢型晶格的集體動力學由Thiele 方程[216]來描述:

假定U j=(uj,vj),且定義ψ j=uj+ivj,方程(26) 可以簡化為

這里ω K=K/|G|,ζ=(I//-I⊥)/2|G|,ξ=(I//+I⊥)/2|G|θjk〈j〉,表示j和k位置磁孤子連線與x軸的夾角,表示j位置的最近鄰.更進一步,利用旋轉波近似,方程(27)變形為

當考慮斯格明子組成的蜂巢陣列時,由于磁斯格明子表現出明顯的質量效應[218],Thiele 方程中加入時間的高階項才能準確地描述其動力學[219]:

這里G3表示三階非牛頓回旋系數,M表示磁孤子的有效質量.通過和前面類似的方法,推廣的Thiele 方程也能映射到Haldane 模型中.考慮如圖23(a)所示的磁結構,通過求解斯格明子的動力學方程,可以得到有限大系統的能帶結構,如圖23(c)所示,從圖中可以看出系統在本征頻率6.1,12.6和16.6 GHz 附近,存在三個明顯的手性邊界態.由于前面兩個本征模式和第三個本征模式的旋轉方向相反(如圖23(b)),計算得到的邊界態傳播方向也相反.這些結果進一步被微磁模擬所證實,如圖23(d)和圖23(e)所示.

圖23 (a)布洛赫型斯格明子組成的蜂巢陣列示意圖;(b)整個系統的共振頻譜;(c)半無限大系統的能帶結構;當頻率f =12.62(d) 和16.65 GHz (e) 時邊界態的傳播圖像[209]Fig.23.(a) Illustration of the honeycomb lattice with Bloch skyrmions;(b) resonant spectrum of the whole system;(c) band structure of the semi-infinite system;(d) snapshot of the propagation of edge states with frequency (d) f=12.62,(e) 16.65 GHz[209].

4.2.2 高階拓撲絕緣相

上一節討論了磁孤子系統中的一階拓撲絕緣相,最近人們又發現通過構造“呼吸型”的晶格結構[177-179,210],在磁孤子系統中能實現高階拓撲絕緣體.圖24(a)所示為磁渦旋組成的二維呼吸型kagome 晶格,d1和d2表示兩個交替變化的距離常數.由于存在兩種不同的耦合系數,方程(27)中的ζ和ξ需要用ζ l=(I//,l-I⊥,l)/2|G|和ξl=(I//,l+I⊥,l)/2|G|來替代,這里l=1 (l=2)表示最近鄰渦旋之間的距離是d1(d2).為了得到系統的相圖,需要先確定耦合系數I//和I ⊥隨渦旋之間距離d變化的函數關系.一方面,通過兩渦旋組成系統的微磁模擬,可以得到當d取不同值時I//和I ⊥的具體數值.另一方面,已經有文獻報道[220]I//(I ⊥)隨距離的變化需滿足的函數形式.利用前面得到的離散數據(圖24(b)中的小圓點),擬合可以得到I//(I ⊥)隨距離變化的精確表達式,如圖24(b)中的實線所示.取不同的d1和d2,通過計算渦旋的動力學方程,可以得到相圖,如圖24(c)所示.系統存在三個相:平凡相、金屬相和拓撲相,其中拓撲相和金屬相被直線d2/d1=1.2 分開,而直線d1/d2=1.2 則把平凡相和金屬相分隔開.高階拓撲性質可以用拓撲不變量體極化(bulk polarization)[173]來描述,通過計算體極化的值,這里的拓撲相進一步被證實為二階拓撲絕緣相.對于二維系統,二階拓撲絕緣體的典型特點是存在角態.選取一組系統處于高階拓撲相的參數,計算得到的本征頻率如圖24(d)所示,結合模式的空間分布(如圖24(e)所示),可以很容易地辨別出系統確實出現了高階拓撲態(角態).通過施加一定程度的無序和缺陷,這些角態也能穩定存在.

圖24 (a)渦旋組成的呼吸型kagome 晶格;(b)耦合常數 I// 和 I ⊥ 隨距離d 的變化;(c)系統的相圖;(d)系統處于高階拓撲相時,渦旋晶格的本征頻率;(e)不同模式對應渦旋振蕩的分布[177]Fig.24.(a) Illustration of the breathing kagome lattice of vortices;(b) dependence of the coupling strength I// and I ⊥ on the vortex—vortex distance d;(c) phase diagram of the system;(d) eigenfrequencies of kagome vortex lattice for higher-order topological phase;(e) patial distribution of vortex gyrations for different states[177].

除了二維呼吸型kagome 晶格,Li 等證實,對于二維呼吸型的蜂巢晶格[178]和四方晶格[179],磁孤子系統也會表現出二階拓撲絕緣相.另外,如果考慮三維呼吸型晶格,磁孤子系統能實現三階拓撲絕緣體[210].值得一提的是,除了體極化,拓撲不變量Z N貝里相[175]也是用來判斷系統是否處于高階拓撲相的強有力工具.此外,呼吸型晶格中出現的高階拓撲態被證實受手征對稱性的保護[221,222].

4.2.3 外爾半金屬相

在磁孤子系統中,除了存在具有帶隙結構的拓撲絕緣相,Li 等[211]在理論上證明,無能隙的外爾半金屬也能在磁孤子系統中實現.考慮三維堆疊型的磁渦旋蜂巢晶格,如圖25(a)和圖25(b) 所示,磁渦旋之間依靠靜磁相互作用耦合在一起.外爾半金屬相的出現必須保證時間反演和空間反演對稱性中的至少一種發生破壞,方便起見,可以將A 和B位晶格的圓盤大小設置成不一樣的值,即rArB,可以打破系統的空間反演對稱性.假定|rA-rB|?(rA+rB)/2,可以得到ωA=ω0-δω和ωB=ω0+δω,且 δω遠小于ω0,這 里ωA和ωB分別表示A 和B 位磁渦旋的回旋頻率.通過求解磁渦旋的動力學方程,可以得到系統的相圖,如圖25(d)所示.系統存在三種不同的相: 拓撲絕緣體、外爾半金屬和平凡絕緣體.其中外爾半金屬相又分為兩類: 含有一對外爾點(用WSM1 表示)和含有兩對外爾點(用WSM2 表示).對系統哈密頓量在外爾點進行泰勒展開,可以發現能帶線性交叉于外爾點,另外,貝里曲率的空間分布也在外爾點處表現出磁單極子的特性,這些都是外爾半金屬的特有屬性.由于磁渦旋之間的層間耦合具有特殊的形式:μUj ·Uk(μ表示層間耦合系數),系統哈密頓量會出現“傾斜項”,由于這一項的存在,動量空間的狄拉克錐發生嚴重傾斜,導致外爾點處上下兩個能帶的費米速度同號(圖25(e)給出了系統在WSM2 相時有限大系統的能帶),這種類型的外爾半金屬被稱為第二類外爾半金屬[223].

圖25 (a)渦旋組成的堆疊型蜂巢陣列;(b)一層結構的放大圖;(c)系統的第一布里淵區;(d)系統的相圖;(e)系統處于WSM2相時,對應半無限大晶格的能帶結構[202]Fig.25.(a) Illustration of stacked honeycomb lattice composed of vortices;(b) zoomed in details of one layer;(c) the first Brillouin zone of the crystal;(d) phase diagram of the system;(e) band structures of semi-infinite system for WSM2 phase[202].

5 量子磁子學

除了自旋電子學,量子計算和量子信息是革新信息處理方式的另一條潛在思路.量子信息調控自旋的量子狀態,并利用量子力學的基本原理如量子態的疊加性和糾纏性作為資源來進行數據的計算和信息的傳遞[224].比如,一個自旋1/2 的系統可以作為量子比特來編碼信息.和經典的比特不同,量子比特可以處于自旋向上和向下的任意疊加態,因而系統的自由度大大增加.同時對N個比特進行協同調控,數據存儲的密度和速度會以指數形式提升.已有實驗表明,一個含有53 量子比特的處理器可以在200 s 內解決一類特殊的取樣問題,這在目前的超級計算機上需要1000 a[225].量子信息和量子計算的發展正在引領我們進入第二次量子革命的時代[226],有望在未來重塑我們的生活.

最近,由于以下原因,磁子學的發展開始和量子信息出現交集: 1)隨著技術發展,磁子學器件的尺度越來越小,量子效應越來越顯著.為了維持磁子學器件的穩定工作,必須系統地考察自旋和磁子的量子效應;2)磁性系統可以自然地和光學系統、超導比特系統、聲學系統等量子平臺耦合在一起,進行信息的協同處理;3)作為磁性系統的基本激發,磁子是玻色子,和光子一樣需要用連續變量語言來刻畫.基于光子的連續變量量子信息已經在精密測量、信息加密、遠程傳態等領域取得了一系列進展[227,228].如何利用磁子的長壽命、高度可調性等優勢來實現基于磁子的量子信息正在引起大家關注.基于這個背景,量子磁子學在過去幾年時間里方興未艾.

概括來講,量子磁子學是探究磁子量子態以及磁子系統與其他量子平臺耦合和協同工作的學科[229].如圖26 所示,磁子量子態包括單磁子態、壓縮態、薛定諤貓態等,廣義來說,磁子的宏觀量子態,如自旋超流態、玻色-愛因斯坦凝聚態也屬于量子磁子學的研究范疇;進一步來講,目前發展比較成熟的量子平臺如超導比特、NV 色心、光學諧振腔、聲學模式等已經能夠和磁性系統進行耦合并實現信息的交互處理.下面從磁子量子態和基于磁子的混合量子體系這兩方面出發,來簡要介紹量子磁子學的發展現狀.

圖26 量子磁子學研究范疇,包括磁子量子態以及磁子與比特系統、光學系統和聲學系統的耦合[229]Fig.26.Framework of quantum magnonics that includes the quantum states of magnons and its coupling with qubit platforms,photonic platforms,and phononic platforms[229].

5.1 磁子量子態

在通常探究磁子的輸運性質時,會在磁性多層膜上加上較強的外界驅動[7],如微波、電流等,這樣產生的磁子處于相干態,多表現出經典物理的特性;再次,輸運實驗多在室溫進行,這時磁子的量子性被熱噪聲淹沒,很難表現出來.因而要實現磁子的量子態,首先需要降低系統的溫度,來抑制熱噪聲對系統量子性的破壞作用;其次要放大能產生磁子間量子關聯的作用,如磁子間的參量泵浦作用可以產生磁子壓縮,克爾非線性相互作用可以產生磁子的反聚束等.據此思路,磁子的反聚束態[230-232]、壓縮態[231]、貓態[233,234]等相繼被提出并進行了初步的探究,這里簡要介紹磁子反聚束態和壓縮態.

磁子的反聚束態在粒子數空間的分布如圖27(a)所示,不同于磁子熱態和相干態,反聚束態需要用亞泊松分布來描述磁子數在不同粒子數態的占據情況,這時磁子數的平均值大于磁子數的漲落.其中一個極限情況是,系統有較大概率占據第一激發態,而極少躍遷到高階激發態上,這時系統表現出單磁子態的行為,即系統的磁子激發主要是單磁子態,這個行為類似于量子光學里的單光子態[235].要實現單磁子態,可以減小磁性小球的尺寸,來增強系統的克爾非線性[231].這時,磁子的能級呈現出如圖27(b)所示的非諧特性.當施加于磁體上的微波驅動匹配系統第一激發態的能量時,磁子會被強烈地激發,而由于失諧磁子往更高階激發態的躍遷會被嚴重抑制.此外,也可以利用磁體和量子比特的耦合來實現磁子能級的非諧性[230,232].

磁子的壓縮態是指自旋沿某個方向分量的不確定性被壓縮到對稱極限之下的狀態.例如,沿z方向磁化的經典自旋S,如果系統存在xy面內的各向異性K,這時自旋分量的不確定性會變成:

這里r=arctanh(K/ωm)/2＞0 定義為壓縮因子.這時,可以看到 ΔSx小于對稱極限同時 ΔSy的不確定性增大,如圖27(c)所示,因而海森伯不確定關系依然滿足.由于這里只涉及一個磁子模式,產生的壓縮態稱為單模壓縮態.與之對應,當磁體里有兩個或多個磁子模式同時存在時,也可能產生雙模或者多模的壓縮態[236-238].例如,在如圖27(d)所示的雙子晶格反鐵磁里,由于近鄰自旋間的反鐵磁交換作用,在一套子晶格上激發出一個磁子模式a會伴隨著另一套子晶格上激發出一個磁子模式b,即磁子間會通過a b+a?b?形式耦合在一起,這個形式類似于光學系統里光子的非簡并參量激發.磁學系統里,這種參量形式的耦合會產生磁子的雙模壓縮態,把兩個磁子模式給糾纏起來.最后,我們強調磁子壓縮態和磁子沿著非圓形軌道進動是關聯但不等價的.前者是量子效應,在溫度升高時會消失;后者則與溫度關系不大,主要來源于系統哈密頓關于平衡態磁矩方向的旋轉對稱性破缺.

圖27 (a)磁子反聚束態示意圖;(b)磁性小球里產生磁子反聚束態的思路示意[231];(c)磁子的單模壓縮態示意圖;(d)雙子晶格反鐵磁里磁子的雙模壓縮態示意圖[237]Fig.27.(a) Scheme of magnon antibunching and (b) its generation in magnetic sphere[231];Scheme of (c) single-mode and (d) twomode squeezed states of magnons[237].

5.2 基于磁子的混合量子體系

在探究磁子量子態的基礎上,如何把磁子體系和發展成熟的量子平臺耦合在一起形成混合量子系統是量子磁子學的重要課題.目前在實驗上已經實現了磁子和微波腔里光子的耦合、磁子和超導比特以及NV 色心的耦合、以及磁子和聲子系統的耦合,這里的聲子系統包括磁體晶格周期性振動和外界的機械振子兩類.

磁光耦合的探究可以追溯到20 世紀五六十年代,當時人們考察了磁體對微波腔里電磁波傳播的影響,發現當磁體里磁子的頻率和微波腔里光子的頻率匹配時,磁子和光子的狀態會發生雜化;這反映在微波腔的透射譜里,會出現能級免交叉的現象[239,240].2010 年,Soykal 和Flatté[241]重新探索了這個問題,發現通過適當地選擇低耗散的磁性材料和高品質的微波腔,磁子和光子的耦合可以達到強耦合區間.2013 年,這一預言被Huebl等[68]證實,如圖28(a)所示,他們將磁性絕緣體YIG 置于超導腔里,通過測量系統的透射譜,發現了磁子能級和光子能級的免交叉.之后人們發現,當把封閉腔換成開放腔時,磁光的耦合還會出現能級吸引的現象,這時開放腔里的行波模式作為媒介,在磁子和微波腔的駐波模式間建立了耗散耦合[242-244].在發生能級吸引時,磁子和光子之間不再進行拉比振蕩,而是會形成一個穩定的糾纏態[245].

在磁光耦合的基礎上,Tabuchi 等[246]將一個超導比特和磁性小球同時放進微波腔里,這時腔里電磁波的電場和磁場分別和超導比特以及磁性小球耦合在一起,從而在超導比特和磁性小球之間建立了一個間接的耦合通道.當調節磁體的頻率與比特的頻率接近時,比特和磁子模式會發生雜化而產生能級免交叉,如圖28(b)所示.在后續工作里,他們通過調節磁體、比特以及腔場的頻率,實現了磁體和比特間的耗散耦合,即a ?aσz,這里a是磁子的湮滅算符,σz是描述比特的泡利算符.這時比特的激發與磁子激發數密切相關,通過探測比特的狀態,作者間接地探測到了單磁子的激發[248].這為單磁子態在量子信息里的應用提供了實驗基礎.

另一個拓展磁光復合系統的思路是考慮聲學模式,這里的聲學模式可以是磁體里晶格振動模式,它會通過磁彈相互作用與磁子模式耦合在一起[247,249],耦合形式為a ?ab,其中b為聲子模式,如圖28(c)所示.這類耦合已經在量子光學的腔光力系統里被廣泛研究,其中磁子模式對應著這里的光學模式.基于這個相似性,腔光力系統的諸多物理和應用相繼在磁光聲的復合系統里找到對應,如磁子-光子-聲子的多方糾纏和量子導引、磁子的貓態、聲學系統溫度的測量等[250-254].

圖28 基于磁子的混合量子體系示意 (a)磁體-微波腔[68];(b)磁體-量子比特[246];(c)磁體-聲子復合系統[247]Fig.28.Hybrid magnonic platforms: (a) Magnet-microwave cavity[68];(b) magnet-qubit[246];(c) magnet-phonon systems[247].

5.3 腔磁子學

光和物質的相互作用是物理學前沿研究的重要課題.物質間的強相互作用可以實現兩個或多個系統的量子態雜化,有潛力帶來革命性的量子信息技術.過去十年間(2013—2022),人們見證了微波腔磁子學(microwave cavity magnonics)的興起和發展[68,246,255-261].它的核心是磁子與微波腔光子由于共振耦合形成雜化態—磁光極化子(magnonpolariton).得益于一些磁性材料的低阻尼性質和高品質因子的微波共振腔,磁光極化子的實驗觀測相繼得以實現.磁光極化子融合了磁子相干時間較長和光子頻率高、易操控的特點,在未來量子網絡計算中擁有廣闊的前景.

另一方面,量子系統的非厄米性和宇稱時間對稱性(parity-time symmetry,PT symmetry)是目前熱門的研究領域.作為量子力學基本假設之一,所有可觀測物理量均由厄米算符表示,具有實數本征值.封閉系統的哈密頓量是厄米的,保證系統的能量守恒.然而,具有PT 對稱性的非厄米哈密頓量仍然在某些參數的調控下具有實數本征值,而相應的非厄米簡并點(又稱為例外點)則具有本征值和本征態同時簡并的特殊性.這引起了許多新興的物理現象,如單向光傳輸[262],PT 對稱性破缺引發的激光[263],PT 對稱性聲子受激輻射[264],例外點附近的非絕熱動力學[265]等.PT 對稱性在磁子系統、微波腔磁子系統中的研究也逐步開展,包括磁子系統的例外點[266,267]及高階磁性例外點[268],PT對稱性磁光系統的相變和超高磁靈敏度[269],實驗觀測PT 對稱性微波腔磁子系統的例外點等[270].同時,由于PT 對稱性的磁子系統需要同時滿足耗散-增益條件,又對實現吉爾伯特(Gilbert)負阻尼形式的磁增益提出了挑戰.最新的研究表明,光學腔(optical cavity)光子與磁子的非共振耦合有望實現對磁阻尼的調控,這也給腔磁子學(cavity magnonics)這一領域帶來了新的機會.

5.3.1 微波腔磁子系統

2013 年,實驗首次報道觀測到在YIG 薄膜與共面波導耦合系統中形成的磁子與微波腔光子的強耦合現象[68],表現為微波腔的透射光譜中出現兩支反交叉的耦合態.

鐵磁共振是多自旋系統集體激發態的最低能態,相應的激元是具有鐵磁共振頻率的磁子.磁子與光子的耦合可由量子TC (Tavis-Cummings)模型描述,哈密頓量表示為單粒子交換相互作用:

其中,Δ被稱為調制參數,可由外加磁場(ωm～B)調制.該本征值表示了磁光雜化態的共振頻率,其共振中心處的頻率差為 2geff.

實驗上可以通過微波共振腔的透射波譜觀測上述耦合模,理論上可以通過量子光學中的輸入-輸出公式(input-output formula)來描述光學探測過程,其透射系數為

其中κm/c分別表示磁子系統和微波腔的耗散,微波腔的耗散包括外部耗散(external loss)和內部耗散(internal loss)兩部分(κc=κe+κi),磁子系統的耗散正比于吉爾伯特磁阻尼系數(κm～α).

另一方面,實驗樣品的尺寸已達到毫米量級,磁子系統與光子的強耦合不僅只有單粒子過程和鐵磁共振模,還存在非線性效應和高階自旋波模式等.因此,我們建立了基于描述電磁波的麥克斯韋方程和磁動力學的LLG 方程的第一性原理散射模型[259].該理論廣泛適用于描述各類邊界條件,且自洽地包含高階自旋波模式、多粒子過程等.

建立散射模型首先需要在空間建立微波共振腔(如圖29(a)所示),在一維坐標系兩點建立共振腔壁,可以用δ函數形式的相對磁導率描述μr(x)=1+2?δ(x)+2?δ(x-L) .共振腔的寬度L可以決定共振頻率,選取厘米量級的共振腔可以得到GHz 頻率的共振微波.共振腔的耗散可以由不透明系數?描述,?越大,耗散越小,共振腔的品質因子就更高.磁體可置于微波腔中任意位置,而置于共振微波波腹處能夠得到較大的有效耦合強度.因此,描述整個系統微波的麥克斯韋方程可分區寫為

圖29 第一性原理散射理論 (a) 一維散射模型;(b) 鐵磁共振態與微波腔耦合的透射波譜,在共振中心處,兩個耦合模的頻率差為 geff ;(c) 耦合強度隨磁體厚度平方根的變化,在厚度較小的時有良好的線性關系;如考慮自旋交換相互作用,高階自旋波與微波腔的強耦合能夠顯示在透射波譜中 (d) 磁體厚度 1 μm,(e) 磁體厚度 5 μm ;(f) 耦合強度隨著自旋波階數的增加而降低;(g) 自旋波與微波腔的耦合強度與磁體厚度的平方根均呈現線性關系,當厚度增加時,鐵磁共振模(p=1)的耦合強度較高階模增加更多[259]Fig.29.First principle scattering theory: (a) 1-dimensional scattering model;(b) transmission spectrum of coupled microwave cavity and ferromagnet,the frequency difference between the hybrid modes at the resonant center is 2 geff ;(c) coupling strength is increasing with square root of ferromagnetic thickness,the linearity between them conforms well when the thickness is small;if we consider the exchange interaction,the standing spin wave modes are also coupled strongly with the microwave cavity,the transmission spectra are plotted when (d) d=1 μm and (e) d=5 μm ;(f) coupling strength decreases with the increasing order of spin waves;(g) coupling strength for each spin wave is linearly increasing with the thickness however with different slopes.The FMR mode(p=1) has the largest slope[259].

其中q=ω/c為光在真空中的波矢,?r為磁體內的相對介電常數.磁體內部的磁化動力學m(x,t) 則可以由LLG 方程描述.由此,可以得到磁光極化子的色散關系.描述散射可以將空間各個區域的微波寫為左行波和右行波的線性疊加,利用邊界條件可以解出散射系數,解得的透射系數可表示為

其中磁體厚度為d.β=(ηq-k)/(ηq+k),k為磁體內部的波矢,由色散關系確定.tc=i/(i+q?) 和rc=-q?/(i+q?) 為單個腔壁的透射及反射系數.該透射系數在薄膜條件和長波極限下(d ?L,k ?1/d)可以得到與量子模型散射系數S21一致的形式.選擇合適的微波腔尺寸L=46 cm,共振模頻率ωc/(2π)=9.84 GHz,以及磁體厚度d=1 μm,得到了鐵磁共振模的散射頻譜如圖29(b)所示,而數值計算也表明耦合強度隨磁體厚度平方根呈線性關系,如圖29(c)所示,相應地,由微擾理論得到的關于耦合強度的公式也在磁體厚度較小時與數值結果高度符合.

考慮交換相互作用,得到高階自旋波與光子耦合的透射頻譜,如圖29(d),(e)所示,分別對應磁體厚度為1 和5 μm.由透射頻譜可以看出,耦合強度隨著自旋波階數的增加而降低(圖29(f)),且高階自旋波與微波腔的耦合強度亦與磁體厚度的平方根呈現線性關系,斜率隨著自旋波階數的增加而降低.當厚度增加時,鐵磁共振模(p=1)的耦合強度較高階模增加更為劇烈.

5.3.2 PT 對稱性的微波腔磁子系統

在磁光相互作用的研究中,發生強相互作用的條件為耦合強度遠大于系統的耗散.在過去,尋找耗散系數更低的磁性材料是實現強耦合的主要途徑(也可通過提高材料的尺寸或微波腔的品質).然而,具有PT 對稱性的磁性系統,只要耗散系數低于臨界值,系統存在實數本征頻率解,宏觀的磁矩就可以保持穩定進動[265-268].

一個典型的PT 對稱的微波腔磁子系統可以由非耗散微波腔以及耗散-增益相互平衡的磁子系統組成,如圖30(a)所示[269].該系統存在高階例外點并可在例外點附件實現超高靈敏度的對外響應.系統的哈密頓量可表示為

可以得到該矩陣的本征值滿足以下三次方程:

頻率Ω=(ω-ωs)/g,調制參數Δ=(ωs-ωc)/g以及耗散-增益參數P=β/g,均為無量綱數.本征值隨調制參數的演化如圖30(b),(c)所示,實線和虛線分別對應本征值的實部和虛部.三階EP 點出現在光子和磁子共振處(Δ=0).圖30(d)表示系統相圖隨Δ和P的變化.三階EP點出現在P=PEP3=以及Δ=0 處,圖中紅星所示.

根據輸入-輸出理論,可以推導出透射系數為

其 中κc為微波腔外部耗散.Σ(ω)=Σgain(ω)+Σloss(ω) 包含兩部分:Σgain/loss(ω)=g2/[i(ω-ωs)±β]增益(+)和耗散(—).可以注意到,Σ(ω) 是一個純虛數,這將導致共振透射時為完全透射.

圖30(e)—(g)為透射波譜|S21|2隨探測波頻率Δ ω和調制參數 的變化,分別對應不同的P值.作為參考,空微波腔的共頻譜如圖30(h)所示.當P ＜PEP3時,透射頻譜顯示出“Z” 狀(圖30(e)),而非傳統磁光極化子的反交叉頻譜.除了兩支由強耦合引起的磁光極化子,中心處出現了一支線寬極窄的模,對應為暗態磁光極化子(dark-state cavity magnon-polariton).隨著P的增加,三個磁光極化子模逐漸融合,在三階EP 點處形成了一個平坦且寬的透明窗口,如圖30(f)所示.當P繼續增大,即P ＞PEP3時,暗態磁光極化子仍然存在,然而其線寬急劇增加,如圖30(g)所示,這是PT 對稱性破缺導致的類似珀賽爾(Purcell)效應.各個模的線寬隨P的變化可以簡單由下列漸近式給出:

如圖30(i)所示,理論公式與數值結果高度相符.

圖30 (a) PT對稱性微波腔磁子系統;調制參數分別為 (b) Δ=0 和 (c) Δ=-0.3 時,系統本征頻率隨耗散-增益參數P的變化,微波腔的頻率設置為 ωcg=5 ;(d) 系統PT對稱性相圖;不同參數下的散射頻譜 Δ=0 (e) P=0.5,(f) P=,以及 (g) P=2 ;(h) 空微波腔的共振頻譜;(i) 腔磁光極化子共振峰的半寬隨著耗散-增益因子的變化;(j) 三階EP 點附近的磁性靈敏度[269]Fig.30.(a) PT symmetric cavity magnon polariton system.The eigenvalues varies with the loss-gain parameter P when the detuning (b) Δ=0 and (c) Δ=-0.3,with the solid and dashed curves respectively representing the real and imaginary part of eigenfrequencies.The cavity frequency is set as .(d) PT-symmetric phase transition diagram;transmission spectrum for different gain-loss parameters: (e) P=0.5,(f) P=,and (g) P=2 .The right panel in (e)—(g) shows the zero-detuning spectrum.(h) Transmission spectrum of a bare cavity.(i) Half-linewidth of CMP modes as a function of the gain-loss parameter P at the zero detuning point.(j) Sensitivity at P=PEP3,symbols denote numerical results and the blue curve represents the analytical formula(42)[269].

通常可以在簡并點處定義系統隨外界擾動的靈敏度(可看作簡并解除與外界擾動的對應關系,厄米系統的靈敏度一般隨外界擾動呈線性關系).在非厄米簡并EP 點附近,也能研究系統對外界擾動的響應,通常定義為EP 點附近兩個分離的共振模之間的頻率差隨外加磁場的變化.然而由于三階EP 點附近的本征模高度融合,不易區分(見圖30(f)),很難提取出兩個分裂峰之間的頻率差.目前的系統中,由于總是存在暗態磁光極化模,更合適的定義為該模與微波腔共振模的頻率差隨外加磁場的變化,在三階例外點P=PEP3時,該頻率差為:

這與數值計算的結果保持一致(在EP 點附近的小范圍內,見圖30(j)).在調制參數|Δ|＜0.06 的范圍內,(對應于g ～1 GHz 的外加磁場|δB|＜2 mT),滿足|Δ|1/3的響應規律,這與例外點附近的靈敏度正比于外加擾動的 1/N次方的規律相符,其中N為例外點的階數.如果考慮到微波腔的共振峰線寬,即分辨率|δωEP3|～κc,磁靈敏度可表示為

5.3.3 光學腔-磁子系統對磁阻尼的調控

非厄米磁子系統的研究,存在一個巨大的挑戰,即如何實現吉爾伯特形式的磁增益.近期,我們提出光學腔磁子相互作用的方法用于實現吉爾伯特形式的負磁耗散.該裝置包含一個放置在光學腔中的磁性小球,與三個互相垂直方向上的圓偏振激光實現腔光子-磁子的非共振耦合,如圖31(a)所示.入射激光與光腔共振模存在頻率差,當該調制為藍色調制時,即入射光波頻率大于光學腔共振頻率,系統釋放出一個磁子和一個頻率較低的光子,如圖31(b)所示.當為紅色調制時,即入射光波頻率小于光學腔共振頻率,系統吸收一個磁子和一個頻率較高的光子,如圖31(c)所示.該系統的哈密頓量可表示為

圖31 (a)光學腔磁子系統;(b)藍色調制時,入射光波頻率大于光學腔共振頻率,釋放出一個磁子和一個頻率較低的光子;(c)紅色調制時,入射光波頻率小于光學腔共振頻率,吸收出一個磁子和一個頻率較高的光子;(d)光學誘導吉爾伯特系數和(e)磁場隨調制因子的變化[272]Fig.31.(a) Schematic illustration of a macrospin S interacting with three orthogonally propagating circularly-polarized lasers (red beams) in an optical cavity;off-resonant coupling between the driving laser (ωlas) and the cavity photon (ωcav) mediated by magnons (ωm ?ωcav) in the (b) blue and (c) red detuning regimes;(d) optically induced magnetic gain and (e) induced magnetic field vs.the optical detuning parameter η[272].

該系統的運動方程由海森伯-郎之萬方程(Heisenberg-Langevin equations)描述,由此可在快光近似下(fast-cavity approximation)求解系統的光子數,從而得到光子誘導的等效LLG 方程[272].在以下兩個假設前提下: i)三束完全相同的驅動激光,即A j=A,gj=g,κj=κ,和Δ j=Δ;ii)遠調制區間,即調制因子η=Δ/(gS) 且|η|?1 .最終,得到光學調制的吉爾伯特系數和磁場為

至此,描述磁矩運動的LLG 方程中,有效吉爾伯特系數為αeff=-αopt+α,可以看見光學誘導項在遠藍調制區間能減小磁性系統的內稟耗散,甚至可以超越零點讓該有效耗散為負,即為磁增益.圖31(d)給出了光學誘導的吉爾伯特系數αopt隨調制因子的增大而減小的變化情況,其中分別標注了將有效磁耗散為零和為負的調制點.圖31(e)為光學誘導的磁場隨調制的變化,該誘導磁場的整體強度遠小于一般鐵磁共振的外磁場強度,一般可忽略不計.

6 結論

磁子技術旨在利用自旋波來進行信息處理、傳輸和存儲,已成為下一代低能耗超快運算技術的有力競爭者.本文主要介紹了本團隊最近五年在手性磁子學、非線性磁子學、拓撲磁子學以及量子磁子學方面的理論工作.在手性磁子學方面,介紹了磁偶極相互作用和DMI 誘導的自旋波非互易傳播以及自旋波在手性界面處傳播所展現的負折射、古斯-漢欣效應、斯特恩-蓋拉赫效應等奇特物理現象.在非線性效應方面,揭示了DMI 和磁疇壁誘導的三磁子過程,并預言了磁子與磁結構(斯格明子和磁渦旋態)之間非線性散射產生的磁子頻率梳現象.然而,磁子頻率梳的調控和實際應用還有待進一步的研究和發掘.對磁性系統中拓撲相的基礎研究不但能揭示和理解這些有趣的拓撲物理,同時還能為將來設計受拓撲保護的自旋電子器件提供重要的參考和建議.對磁子量子態、離散和連續變量系統的量子糾纏等基礎知識的詳細介紹,能為初學者進入這個領域提供有益的參考.

早期關于磁子學的研究對象主要集中在低維鐵磁體系中低振幅自旋波的線性效應,近年來人們對自旋波的新屬性自由度、新材料體系、新邏輯計算等方面的探索極大拓展了磁子學領域的研究范圍.首先,在反鐵磁或亞鐵磁體系中,磁子自旋具有完整的極化自由度[65,273],可以類比電子的自旋屬性,因此基于電子自旋屬性的信息完全可以由磁子來進行傳輸.除了常見的自旋角動量,磁子在具有旋轉對稱性的體系中還可以攜帶軌道角動量[160].不同于自旋角動量量子數只能取±1,磁子的軌道角動量量子數理論上可以取任意整數,且軌道角動量不同的磁子模式之間具有正交性,因此基于軌道角動量屬性的多路復用可以提高磁子的通信容道,實現海量數據的并行處理.對自旋波引入自旋極化和軌道角動量屬性,開辟了新的磁子調控的自由度.然而,如何建立基于磁子自旋極化屬性和軌道角動量屬性的大容量磁子通信系統仍是一個嚴峻的挑戰.

磁性材料是磁子器件的基礎,傳統工藝制備的具有二維幾何形貌的磁性薄膜,不可避免地會產生界面缺陷,增加了磁子自旋信息在傳輸中的損耗.當磁性薄膜減小至單個原子層厚度時,二維磁性材料體系會展現出優異的傳輸特性和豐富的新奇物理效應,如自旋軌道距[274]、量子反常霍爾效應[275]、磁斯格明子[276]等.另外,在基于魔角雙原子層的二維磁性材料莫爾超晶格中,通過對轉角的調控,可以改變磁子的能帶結構,實現磁子平帶、拓撲馬約拉納態等奇特的物態性質[277-279].磁子器件的集成化需要將二維磁性材料垂向堆疊成三維多層膜結構[280],通過層間的交換作用、磁偶極相互作用、磁矩指向等方式可以進一步調控磁子的傳輸特性[281,282].由多層膜結構構成的人工反鐵磁或亞鐵磁體系也是研究磁子-磁子耦合效應的理想平臺[67,283].此外,在具有一定厚度的磁性塊體材料中存在著自旋結構復雜的三維拓撲磁結構[284-286],它們的自旋動力學以及與磁子之間相互作用也將是一個值得探討的問題.不管是單原子層的二維磁體還是具有一定厚度的三維磁體,維度的變化都有望帶來更多磁子相關的新效應、新物理的發現,并為新型磁子器件的研制提供理想的研究平臺.除了調制磁性體系的空間維度,人們最近還將磁子學的研究拓展至時間維度,實現了磁子的時間晶體[287].

傳統的基于布爾運算的磁子邏輯器件已經被廣泛研究[10,288],如自旋波邏輯門[289,290]、二極管[20]、定向耦合器[142,291]等.近年來,新型的自旋波計算構架也被提出.例如,人們利用非線性自旋波干涉設計出一種基于自旋波的神經網絡,實現了信號路由和非線性激活等神經形態計算功能[292].最近,一種基于自旋波逆向設計的方法被提出,該方法基于反饋的計算算法實現了自旋波的復用器、非線性開關、循環器等磁子器件的設計[293].未來,其他新型自旋波構架的設計與研制將是人們感興趣的一個研究方向.

總之,磁子學的研究是未來信息領域最具發展前景的方向之一,目前正處于飛速發展的階段.然而,目前主流的研究還聚焦于新奇磁子物理效應的理論探索和相關磁子器件的設計上.真正能與傳統電子器件相互集成的磁子型器件卻鮮有研發出來,也是阻礙磁子學領域發展的一個難題.因此,未來需要更多具有實驗以及產業背景的科研人員投身該領域,驗證各種理論上預言的新奇物理現象,并最終制造出具備實際功用的磁子器件以及實現其應用化,帶來磁子技術層面的重大革新.