陣元位置誤差下的嵌套陣列DOA 估計方法

賀 順, 賀小艷, 楊志偉, 孫 兵, 謝永妮

(1. 西安科技大學 通信與信息工程學院, 陜西 西安 710600;2. 西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071;3. 中國衛(wèi)星海上測控部, 江蘇 江陰 214430)

0 引言

波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計是陣列信號處理的重要內容,被廣泛應用于聲納、雷達和無線通信等領域[1-3]。 嵌套陣列是一種經典稀疏陣列,通過均勻線陣和稀疏陣列組合的靈活布陣方式,從而提高陣列的自由度和孔徑[4-5]。 然而,在實際工程應用中,由于陣元位置誤差不可避免,陣列流型存在一定的偏差或擾動,導致基于嵌套陣列的DOA估計方法性能嚴重惡化甚至失效[6-8]。

陣元位置誤差的校正方法主要分為2 大類:第1 類為自校正方法[9-10],這類方法通過構造優(yōu)化函數,聯(lián)合優(yōu)化求解陣元位置誤差和信源方位;第2類是有源校正算法[11-13],通過在空間中人為放置方位已知的校正源實現陣元位置誤差的校正。 文獻[12]在假設校正源方位已知情況下,提出迭代最大似然校正算法,有效提高角度估計精度。 文獻[13]提出改進的迭代最大似然算法,能夠進一步提高DOA 估計精度,但在小快拍情況下性能不佳。近年來,稀疏重構對強噪聲具有良好魯棒性,引起了國內外學者的廣泛關注[14-16],同時為陣元位置誤差校正算法提供了新的研究思路。 文獻[17]結合陣元位置稀疏特性和壓縮感知理論,提出適用于任意陣型的L1-SVD 方法,但存在基不匹配問題,使得陣元位置估計性能下降。 文獻[18]進行Toeplitz 預處理后,采用優(yōu)化后的核范數恢復算法得到協(xié)方差矩陣,該方法能夠避免因網格離散化處理產生的基不匹配問題,同時有效提升陣元位置誤差下的DOA 估計性能,但易受陣元位置誤差的影響。

針對上述問題,在嵌套陣列基礎上,本文提出了一種基于陣列流型分離的最小原子范數DOA 估計方法。 通過單輔助信源估計實際陣元位置,并建立陣元位置誤差情況下嵌套陣列的虛擬域接收信號模型,再利用AMS-ANM 方法分離陣列流型中的位置信息和角度信息,并且求解最小原子范數問題,最后結合root-music 方法進行DOA 估計。

1 嵌套陣列信號模型

1.1 理想條件下的信號模型

理想條件下的嵌套陣列結構圖如圖1 所示。 嵌套陣列由2 個均勻線性子陣組成,均勻子陣1 包含N個陣元,陣元間距為d1,均勻子陣2 包含M個陣元,陣元間距為d2=(N+1)d1,其中N和M是整數,d1=d=λ/2 為半波長。

圖1 嵌套陣列結構Fig.1 Geometry structure of nested array

以第一個陣元為參考陣元,陣元位置集合PNA為:

假設有K個互不相關的遠場窄帶信號入射到嵌套陣列上,其入射角度為θ=[θ0,θ1,…,θK-1]。 則嵌套陣列接收信號的第l個快拍為:

式中,x(l)= [x0(l),x1(l),…,xN+M-1(l)]T為接收信號矢量;s(l)= [s0(l),s1(l),…,sK-1(l)]T為源信號矢量;A=[a(θ0)a(θ1) …a(θK-1)]為陣列流型矩陣;a(θk)= [ej2πP0cosθk/λ,ej2πP1cosθk/λ,…,ej2πPN+M-1cosθk/λ]T為導向矢量,其中,Pq為集合PNA中第q +1 個元素;n(l) 為高斯白噪聲矢量。

1.2 陣元位置誤差模型

導向矢量可寫為:

式中,°表示Schur-Hadamard 積;Γ(θk) 為陣元位置誤差導致的相位擾動矩陣。

陣元位置誤差下的陣列流型矩陣和接收信號的矢量形式為:

則嵌套陣列L個快拍下接收數據的協(xié)方差矩陣為:

2 陣元位置誤差校正與DOA 估計

2.1 陣元位置誤差估計

由此可得第q +1 個陣元位置誤差的估計值為:

式中, angle(·) 代表求相位。

通過求解各個陣元位置誤差Δ,可得嵌套陣列實際陣元位置集合為:

2.2 虛擬陣列生成

為了充分利用嵌套陣列自由度優(yōu)勢,對接收數據協(xié)方差矩陣進行向量化操作,得到差分聯(lián)合陣列的接收數據:

差分聯(lián)合陣列的集合可以表示為:

理想情況下,通過去除重復位置差得到虛擬ULA 位置集合,然而,當陣元位置誤差存在時,集合不存在重復位置差。 因此,針對陣元位置誤差,提出了一種虛擬陣列提取方法,定義虛擬陣列的陣元位置集合C′為:

式中,Δm=min,min{·}表示集合“·”中的最小值。

此時,虛擬陣列的接收數據可表示為:

式中,A′=[a′(θ0)a′(θ1) …a′(θK-1)] 是陣元位置集合C′對應的陣列流型矩陣,其中a′(θk)=為第k +1 個信號的導向矢量;C′q表示集合C′中第q +1 個元素;I′C為中心元素為1、其余元素為0 的(2Lmax+1)×1 維列向量。

2.3 基于AMS-ANM 的DOA 估計方法

采用Jacobi-Anger 展開公式將陣列流型中的位置誤差信息和角度信息進行分離,從而提取陣列流形A′的范德蒙德結構,構建原子范數最小化問題求解角度參數。

根據Jacobi-Anger 展開公式:

式中,Jh(r) 是以r為自變量的h階第1 類貝塞爾函數。

由此,可將a′(θk) 中的第q +1 個數據展開:

根據第1 類貝塞爾函數的性質可得,隨著階數h的增加,Jh(r) 的值迅速衰減為0。 假設其最大階數為正整數H,并且最大階數的引入所帶來的模型誤差忽略不計。

由式(16)可推出虛擬陣列流型A′為:

式中,

則式(14)可轉化為:

定義矩陣形式的原子集合為:

式中,A k代表集合A中的一個原子。 因此,可以定義矩陣Z在集合A上的原子范數為:

式中, inf ·{ } 表示集合“·”的下確界。

因此,將陣元位置誤差下的嵌套陣列的DOA 估計問題可表示為如下的原子范數最小化問題:

式中,γ為平衡擬合誤差和原子范數的正則化參數。

式(24)所示模型可轉換為如下半定規(guī)劃問題:

式中,T(u) 是由向量u =[u0,u1,…,u2H] ∈2H+1構成的Toeplitz 矩陣。 根據文獻[19],式(25)所示的半定規(guī)劃問題,可以由CVX 工具箱求解得到T(u) ,結合root-music 方法[20]求得θ的估計值。

綜上,陣元位置誤差條件下的嵌套陣列DOA 估計方法具體步驟如下。

輸入: θs , R~s , PNA , R~ , H , I′C , γ ;步驟1:根據式(9)和式(10)得到P^NA ;步驟2:根據式(11)得到 Z~co ;步驟3:根據式(13)和式(14)得到C′和Z′;步驟4:根據式(18)構造矩陣V;步驟5:利用CVX 工具箱求解式(25)得到T(u);步驟6:結合root-music 方法實現DOA 估計;

3 仿真實驗與結果分析

對所提AMS-ANM 方法進行性能仿真及性能分析。 陣列結構為二級嵌套陣,其中子陣1 和子陣2的陣元數均為4,假設第一個陣元為參考陣元。 仿真實驗中分辨概率和均方根誤差(Root Mean Squared Error,RMSE)運行結果均由200 次獨立的蒙特卡羅實驗統(tǒng)計獲得,如無特殊說明,在每次蒙特卡羅實驗中,給陣元位置添加[-0.1λ,0.1λ]的隨機誤差,將正則化參數設置為0.15。

3.1 陣元位置估計結果

設置單輔助校正源從θs =50°方向入射,信噪比為30 dB,快拍數為500,假設陣列所在平面為x-y平面,各陣元僅在x軸方向上存在位置誤差,設置各陣元位置誤差分別為0,-0.105λ,-0.085λ,0.04λ,0.025λ,-0.08λ,0.055λ,-0.065λ。 對陣元位置的估計結果如圖2 所示。

圖2 陣元位置估計結果Fig.2 Estimation results of array element position

由圖2 可知,在輔助信源精確無偏條件下,本文方法估計的陣元位置與實際陣元位置相一致。

3.2 Bessel 函數的最高階數的選取

假設12 個窄帶信號源均勻分布在 [40°,120°] ,信噪比為10 dB,快拍數為1 000,設置陣元位置的隨機誤差為[-0.15λ,0.15λ] 。 角度估計均方誤差和運行時間隨最階數H的變化關系如圖3所示。

圖3 RMSE 和運行時間隨最高階數的變化Fig.3 RMSE and running time versus highest order

由圖3 可知,隨著最高階數H的增大,本文所提方法的角度估計精度提高,但最高階數超過55 后,增大最高階數H并不能提高所提方法的估計精度,H的增加反而會導致運算量的負擔。 因此,本文在后續(xù)仿真實驗中,將最高階數設置為55。

3.3 分辨概率的比較結果

為了驗證AMS-ANM 方法對相近的2 個信源的區(qū)分和估計能力,在不同信噪比和角度間隔下,仿真對比L1-SVD 方法[17]和矩陣重構[18]方法。 分辨概率隨著信噪比和角度間隔的變化曲線如圖4 和圖5所示。 圖4 中,設置θ1=40°,θ2=44°,快拍數為512,將信噪比從-5 dB 變化到20 dB。 圖5 中,固定θ1=40°,θ2與θ1的間隔變化范圍1°~7°,信噪比為15 dB。 如果和都小于,則認為2 個角度被成功分辨。

圖4 分辨概率隨信噪比的變化Fig.4 Resolution probability versus SNR

圖5 分辨概率隨角度間隔的變化Fig.5 Resolution probability versus angular interval

由圖4 和圖5 可知,在固定角度間隔為4°的情況下,由于基不匹配問題,L1-SVD 方法空間分辨率較低,矩陣重構方法未完全消除陣元位置誤差的影響導致其分辨率不高,而AMS-ANM 方法通過陣列流型分離技術避免了陣元位置誤差的影響,總體上優(yōu)于對比算法。 在信噪比為15 dB 和快拍數為512的情況下,對比方法無法分辨相距較小的信源,而AMS-ANM 方法在角度間隔為2°時,分辨率可達100%。 因而本文方法在不同信噪比和角度間隔下均具有明顯的空間分辨優(yōu)勢。

3.4 RMSE 隨信噪比和快拍數變化的比較結果

DOA 估計的均方誤差隨快拍數和信噪比的變化關系分別如圖6 和圖7 所示。

圖6 估計精度隨信噪比的變化Fig.6 RMSE versus SNR

圖7 估計精度隨快拍數的變化Fig.7 RMSE versus snapshot number

圖6 中,設置2 個信源的入射角分別為40°和75°,快拍數設置為512,信噪比從-5 dB 變化到20 dB。 圖7 中,設置2 個信源的入射角分別為40°和60°,信噪比設置為15 dB,快拍數從2 變化到50。

由圖6 和圖7 可知,相比于其他方法,本文所提方法估計性能優(yōu)良,即使在快拍數和信噪比較低的情況下具有良好的估計性能。

3.5 RMSE 隨陣元位置誤差變化的比較結果

下面驗證陣元位置誤差情況下的AMS-ANM 方法的估計性能,圖8 表示DOA 估計RMSE 隨陣元位置誤差變化的關系。 實驗中,設置10 個窄帶信源號均勻分布在[40°,120°] ,快拍數為512,信噪比為15 dB,給陣元位置添加[-αλ/2,αλ/2]的隨機誤差,將α從0 變化到0.35。

圖8 估計精度隨陣元位置誤差的變化Fig.8 RMSE versus element position errors

由圖8 可知,在欠定DOA 估計條件下,隨著陣元位置誤差增大,L1-SVD 和矩陣重構方法的性能惡化嚴重。 該實驗結果表明,本文所提AMS-ANM 方法在不同陣元位置誤差下具有魯棒性。 同時,該實驗證明了本文方法可實現欠定信號估計。

4 結束語

針對嵌套陣列DOA 估計方法在陣元位置誤差條件下性能下降的問題,提出了一種基于陣列流型分離的最小原子范數DOA 估計方法,通過引入陣列流型分離技術有效消除陣元位置誤差對嵌套陣列的影響。 仿真實驗表明,相比于現有方法,本文所提方法具有更高的角度分辨率和估計精度,在不同陣元位置誤差情況下,本文算法具有良好的魯棒性,能夠實現欠定DOA 精確估計。 然而,所提方法的運算量較大,如何降低運算量還需要進一步的研究。