飛翼布局飛行器結構拓撲優化設計

王一為，雷銳午，汪輝

(西北工業大學航空學院，西安 710072)

采用電力推進的飛行器方案具有減少噪聲、排放和燃料消耗的優勢[1-2]。目前，NASA 為實現N+3性能目標設計了分布式混合電推進飛行器N3-X[3-4]，該飛行器采用洛馬混合翼身（hybrid wing body，HWB）構型，相比傳統構型可以提供更高的氣動效率和更大的升阻比，而使用結構優化可以帶來更大的減重效益。因此，結構優化技術的應用是實現未來飛行器設計目標的重點。

拓撲優化作為結構優化的重要組成部分被廣泛應用在航空航天領域[5]。Eschenauer 和Olhoff[6]使用氣泡法（bubblemethod）并基于柔度最小化對翼肋的拓撲結構進行了優化；K rog 等[7]對A380 機翼翼肋進行了拓撲優化設計，總結了用于優化翼肋的不同方法。上述2 項工作在固定的布置方式下進行，可以減輕構件質量，但是沒有對結構的布置方式進行優化。宋龍龍等[8]對全動舵面進行熱彈性拓撲優化，并且根據優化結果進行重構，通過3D 打印將優化結果制作出來，體現了3D 打印在未來拓撲優化應用上的重要作用；Maute 和Allen[9]使用固體 各 向 同 性 材 料 懲 罰（solid isotropicmaterial w ith penalty,SIMP）模型，在考慮流固耦合的基礎上，對平板機翼的剛度進行了拓撲優化，但是優化結果特征不夠清晰。同樣針對機翼結構，Aage 等[10]建立了一種優化求解工具，用于使用拓撲優化設計全尺寸飛機機翼的內部結構，根據拓撲優化結果構建了彎曲梁結構的機翼；Locatelli 等[11]采用彎曲翼梁和翼肋的翼盒結構進行了拓撲和尺寸優化，證明超聲速飛行器采用彎曲翼梁和翼肋相比于直梁和直翼肋減重19%。上述工作只關注了彎曲梁結構的減重效果，與簡單直梁結構機翼對比突出彎曲構件的減重效果，未與具備標準內部結構的機翼進行比較。隨后，朱繼宏等[12]總結了拓撲優化在航空航天領域結構設計中的最新進展和應用，目前對航空飛行器的拓撲優化設計主要是針對飛行器部件進行的，機翼作為提供升力的重要部分，是近年來拓撲優化設計研究的重點。針對機翼拓撲優化的研究多采用常規機翼或簡化翼盒，具有內外翼轉折和后掠角，沿展向厚度均勻變化，而飛翼布局采用全機一體化設計，將機身和機翼融合，形成特殊的翼身結構。

基于此，本文以飛翼布局飛行器作為研究對象，基于變密度法和序列二次規劃（sequential quadratic programm ing,SQP）算法，以柔順度作為目標函數對飛翼布局飛行器整機進行拓撲優化，分析拓撲優化結果的減重機理，并對拓撲優化結果進行模型重構，通過尺寸優化分析，驗證拓撲優化的減重和增加剛度的效果，最終建立針對全機復雜構型結構優化的優化流程。

1 問題描述

將飛翼布局飛行器N3-X 作為拓撲優化設計的研究對象，如圖1 所示。N3-X 飛行器為HWB 構型，翼展65.5m，機身長4 1m[13-14]，為后續表述更加清楚，在圖1 中定義了機身和機翼的界限。中心體和機翼部分的厚度差距較大，機體沿展向弦長和厚度變化都較為劇烈，機翼部分具有大后掠、厚度小、機翼面積小的特點，這樣的特殊結構提高了拓撲優化設計的難度。

圖1 N3-X模型Fig.1 N3-X model

在建立模型后，通過計算流體動力學（computational f luid dynam ics，CFD）數值模擬獲得巡航狀態下的氣動載荷作為拓撲優化的優化條件，針對拓撲優化結果的材料分布建立重構模型，對重構模型進行尺寸優化分析，與標準模型對比，驗證拓撲優化結果的減重和增加剛度的效果，流程如圖2 所示。

圖2 結構優化設計流程Fig.2 Flowchart of structural optimization

2 優化數學模型及靈敏度分析

2.1 優化方程

為了得到結構剛度最大的結構布置方式，將整體結構的柔順度作為優化目標，這也是拓撲優化設計中最經常使用的目標函數：

蒙皮柔順度的定義為

式中， ?s代 表蒙皮整體結構；C為柔順度；K為剛度矩陣；U為有限元單元的位移量。

結合有限元數值方法，將結構設計域離散為n個單元，將密度函數離散為一個N維向量，假設該向量為X=(x1,x2,···,xn)，xi為單元i的偽密度值。偽密度值用來表述每個單元材料的有無，偽密度值為1 代表有材料，偽密度值為0 代表沒有材料。可以將拓撲優化問題轉化為

式中：vi為 單位i的 體積；V為結構總體積；fU為給定的體分比上限。

在采用基于密度的優化模型后，有限元離散后形成大規模0-1 規劃問題，提高求解難度，為此需要引入連續函數建立0 和1 之間設計變量和材料密度之間的映射關系，將式（4）中的離散問題轉換為連續變量的問題，采用SIMP 模型[15-16]。材料密度與彈性模量的關系可以表達為

式中：E0為材料完全填充時的彈性模量；p為懲罰因子，一般設p=3。

得到優化模型為

式中： δ為極小的正數來避免有限元分析中剛度矩陣的奇異性。

使用SQP 算法[17]作為拓撲優化過程中的優化算法，在每輪迭代都會產生新的設計變量，作為驗證柔順度數值的輸入變量，計算柔順度數值和靈敏度后再進行迭代產生新設計變量，直到滿足收斂條件。

2.2 拓撲優化模型

為得到最優的材料布局形式，分別選用機體柔順度和蒙皮柔順度作為拓撲優化設計的目標函數，采用相同的設計變量和約束條件：

式中：C(x)和Cs(x)分別為機體和蒙皮的柔順度。

2.3 靈敏度分析

使用SQP 算法需要提供設計目標和約束條件關于設計變量的梯度以進行迭代優化過程。推導針對柔順度相對偽密度設計變量的靈敏度，由式（1）得

對KU=F方程兩邊關于設計變量求導得

結合式（8）和式（9）可得

根據SIMP 插值模型，結合式（5）得

式中：Ci=K i U i為 單元i對應的柔順度。

同理，針對蒙皮柔順度相對偽密度設計變量的靈敏度為

2.4 拓撲優化流程

建立如圖3 所示的拓撲優化流程。在定義模型設計域、設計載荷、約束和邊界條件后，基于SIMP模型求解離散有限元單元的材料特性和單元剛度矩陣，進行目標函數和靈敏度分析，再基于SQP 優化算法進行設計變量的更新。經過收斂條件的判斷和優化流程的迭代得到最優的材料分布結果。

圖3 拓撲優化問題求解流程Fig.3 Flowchart of topology optimization

2.5 尺寸優化模型

為保證拓撲優化效果的評估不受人為因素影響，對標準模型和重構模型進行尺寸優化，使用最優的尺寸布置方式進行比較：

式中：yi為 每個設計單元的厚度；m為設計變量的數目；ymin、ymax分別為設計變量的上、下界，分別設定為ymin=0.003m ；ymax=0.03 m，σM和σd分 別為Von M ises最大應力和設計許用應力，表示應力約束。

3 N3-X 全機拓撲優化

3.1 有限元模型

對N3-X 飛行器進行有限元網格劃分，網格采用四面體網格，最大網格單元尺寸為0.35m，最小網格單元尺寸為0.03m，平均網格單元尺寸為0.1 5 m。網格量為109 萬。有限元模型如圖4 所示。

圖4 N3-X有限元模型Fig.4 Finite element model of N3-X

3.2 氣動載荷提取

為得到拓撲優化所需的氣動載荷，需要對N3-X 飛行器建立數值分析網格，如圖5 所示，使用結構網格進行劃分，總網格量為1493 萬。數值模擬巡航狀態：10668m 高度，飛行速度0.84Ma，3°迎角[18]。

圖5 CFD結構網格Fig.5 Structured mesh for CFD

3.3 拓撲優化結果及機理分析

以機體柔順度作為目標函數，共109 萬設計變量（n=1 0 9 0 000），體分比0.25（fU=0.25），使用鋁合金作為機體和蒙皮的材料，材料特性如表1 所示。

表1 材料屬性Table 1 Material properties

在巡航載荷下得到的拓撲優化迭代過程如圖6所示，共經過50 次迭代，圖中展示了第10、20 和30次迭代的優化結果。

由圖6 可以看出,材料在機翼前后緣聚集，在對稱面沒有產生完整的傳力路徑，機翼內部結構不清晰，難以針對優化結果進行后處理，因此以機體柔順度作為優化目標無法得到清晰的結果。目標函數為蒙皮柔順度的拓撲優化過程如圖7 所示。

圖6 機體柔順度為優化目標的拓撲優化迭代歷程Fig.6 Iteration history with body compliance as optimization object

圖7 蒙皮柔順度為優化目標的拓撲優化迭代歷程Fig.7 Iteration history with skin compliance as optimization object

圖8 為拓撲優化結果的材料分布。材料在機身和機翼處的連續性較好，傳力路徑完整，材料沒有在機翼前后緣位置堆積，構成了完整的梁結構，并從對稱面延伸到翼梢。

圖8 拓撲優化結果Fig.8 Result of topology optimization

N3-X 飛翼布局飛行器中心體厚度較大，使用框結構和蒙皮可以產生較大的結構強度，因此在機頭位置沒有材料分布。拓撲優化結果的材料分布構成了多個彎曲梁構件，與傳統的直梁相比，彎曲梁具有彎扭耦合的特點，并且可以提高蒙皮抗屈曲能力[19]。Jutte 等[20]研究了基于彎曲梁、翼肋結構的氣動彈性問題，證明了機翼內部采用彎曲部件可以有效降低機翼質量。拓撲優化結構在外翼交接處建立了3 個彎曲梁結果加強該位置的結構強度，并且可以作為新的傳力路徑將外翼段載荷傳輸到全機中心體位置，符合飛翼布局飛行器的受力特點[21]。大部分飛翼布局飛機的受力特點相似，綜合上述分析，拓撲優化結果不僅針對N3-X 飛行器適用，對于具備相似受力特點的飛翼布局飛行器都可以作為結構布置的參考。

4 優化結果分析

4.1 重構模型創建

為后續使用尺寸優化來驗證拓撲優化效果，需要在遵循優化結果和飛行器傳力基本原則的基礎上，對拓撲優化結果進行重構。圖9 為重構后的飛行器內部結構布置情況。設置3 根主梁，前梁延伸到翼梢，采用彎曲梁的形式進行布置，中梁以較小的彎曲曲率從對稱面延伸到翼梢，后梁在靠近外翼交接處有一個轉折，并且在外翼交界處連接到中梁。拓撲優化通過加強外翼交接處的結構強度來得到更大的總體剛度，因此，在外翼交接處再設置3 個主要的承力構件，在靠近中梁的位置從對稱面延伸出的1 根輔助梁在外翼交接處連接到中梁，1 根彎曲梁從前梁和第2 根翼肋交接處延伸到前梁，最后在上述2 根輔助梁之間建立連接構件（第3 根輔助梁）。

圖9 拓撲優化結果的重構模型Fig.9 Rebuilt model for topology optimization

4.2 標準模型創建

為研究拓撲優化帶來的減重效益，需要建立一個對照模型。飛翼布局飛行器需要承擔雙重功能，作為客艙需要承載壓力載荷，作為機翼需要承載機翼彎曲載荷，N3-X 飛行器屬于HWB 構型，氣動載荷主要由中心體承載[21]，翼身融合體（blended w ing body，BWB）構型因為受到的機翼彎矩和剪力峰值小于常規客機構型，結構布置也主要考慮的是建立中心體結構來承受客艙的壓力載荷[22]，所以HWB 和BWB 構型的受載特點十分相似。因此，該對照模型根據更具代表性的BWB 構型的內部結構進行建模。以Boeing 設計的第二代結構布置作為參考[20]，對N3-X 飛行器進行結構布置。

如圖10 所示，該結構布置包括前梁、后梁、和中梁，其中中梁作為中間加強梁。前梁在外翼交接處和機翼中段處有一個拐折，中間加強梁考慮到常規的構型布置，需要在外翼段給副翼和方向舵留出足夠的安裝空間，僅在中心體和外翼交接處有轉折，在外翼段都為直線，考慮到發動機的傳來的載荷，布置后梁進行發動機載荷的傳遞。結構布置一共31 個翼肋，中心體的肋條和自由來流方向垂直，外翼段的大部分翼肋和前梁保持垂直。

圖10 標準模型結構布置Fig.10 Standard model configuration

4.3 重構模型和標準模型對比分析

重構模型采用彎曲梁的形式，后梁和中梁的位置與標準模型相似，但沒有在機頭位置布置梁構件，前梁直接從機身中間位置向對稱面延伸到翼梢，前梁布置方式的改變可以減少翼梁長度，減小結構質量。需要加強的位置主要集中在機翼和外翼交接處。在外翼交接處，重構模型根據拓撲優化結果建立彎曲輔助梁，優化結果只具備梁的特征，為了和標準模型進行對比并保證蒙皮不發生變形，需要在重構模型中構建翼肋，為保證對比的合理性（見圖11），在重構模型中設置和標準模型完全相同的翼肋布置方式，研究采用根據拓撲優化結果構建的彎曲梁所帶來的減重和增加剛度的效果。

圖11 重構模型結構布置Fig.11 Rebuilt model configuration

重構模型內部結構的布置方式是在典型飛翼布局飛行器N3-X 基礎上建立的，對于用途相似的飛翼布局飛行器都可以作為結構布置的參考，重構模型精確的減重效果通過使用尺寸優化獲得。

4.4 尺寸優化分析

對比重構模型和標準模型可以看出，兩者在構件數量和構件布置方式上存在較大差異，難以直接進行部件尺寸設定從而對比質量與剛度等特性，而尺寸優化則可以直接得到最優的尺寸布置來進行比較，這也是使用尺寸優化進行結果分析的優勢。因此，使用TACS 求解器[23]，對標準模型和重構模型進行尺寸優化，使用最優的尺寸布置方式進行比較。

為進行尺寸優化分析，建立重構模型和標準模型的有限元模型，如圖12 所示，均采用四邊形網格單元，單元尺寸為0.2m，標準模型共3 5 116 個網格單元，334 8 9 個單元節點，重構模型共3 7 225 個網格單元，35234 個單元節點。

圖12 重構模型和標準模型的有限元模型Fig.12 Finite element model of rebuilt model and standard model

根據結構特點，標準模型設置191 個設計變量，重構模型設置217 個設計變量，如圖13 所示。

圖13 標準模型和重構模型的設計變量分布Fig.13 Distribution of design variables of standard model and rebuilt model

對標準模型和重構模型進行以質量為目標函數的尺寸優化，迭代過程中質量和柔順度的收斂曲線如圖14 所示。經過尺寸優化，重構模型的質量相比標準模型減少了5116 kg，降低了19.71%，但是重構模型的柔順度大于標準模型的柔順度，這是因為減重過多，導致總剛度下降。因此，為了更加準確地通過尺寸優化對比拓撲優化的效果，將標準模型尺寸優化結果的質量和柔順度作為重構模型尺寸優化的約束條件，通過對比等柔順度下質量和等質量下柔順度來判斷拓撲優化的效果。

圖14 標準模型和重構模型的尺寸優化迭代過程Fig.14 Iteration history of sizing optimization for standard model and rebuilt model

對重構模型分別進行包含柔順度約束和質量約束的尺寸優化，得到圖15 所示的迭代過程曲線。在等柔順度條件下，采用彎曲梁結構的重構模型的質量相比標準模型減少了3455kg；在等質量條件下，重構模型的柔順度相比標準模型減少了245844J。

圖15 質量約束和柔順度約束的尺寸優化結果Fig.15 Sizing optimization with mass and compliance constraint

圖16 對比了z向的位移大小，更直觀地表現剛度的增加效果，翼梢z向位移相比標準模型降低了1.133m，降低了標準模型翼梢位移的44.87%。尺寸優化結果證明，在等質量條件下拓撲優化結果有明顯的剛度增加效果。

圖16 z向位移對比Fig.16 Comparison of displacement in z direction

將尺寸優化結果整理如表2 所示，表中重構模型1 代表在應力約束和質量約束下得到的結果，重構模型2 代表在應力約束和柔順度約束下得到的結果，相比標準模型，重構模型具有14.53%的減重效果，可以減少47.90%的柔順度和44.87%的z向位移。通過尺寸優化證明了采用彎曲梁結構的拓撲優化結果具備良好的減重和增加剛度的性能。目前，因為彎曲構件的加工難度較大，彎曲梁還沒有實現工程層面的大規模應用，但宋龍龍等[8]建立的完整拓撲優化和制造流程表明了3D 打印技術可以有效解決加工難度大等問題的可能性，將拓撲優化和更為成熟的3D 打印技術相結合，未來就可以實現全機大規模拓撲優化的工程應用。

表2 優化結果Table 2 Optim ization results

綜合上述研究工作，構建針對復雜構型的拓撲優化和尺寸優化分析流程，具體如圖17 所示。該流程包括拓撲優化設計、針對拓撲優化結果建立重構模型、對重構模型進行尺寸優化從而評估拓撲優化結果的有效性。

圖17 拓撲優化設計與尺寸優化Fig.17 Topology optimization design and sizing optimization

5 結 論

通過對電推進飛翼布局N3-X 全機進行拓撲優化并對結果建立重構模型，再使用尺寸優化與標準模型對比來驗證拓撲優化效果，得到如下結論：

1）通過拓撲優化，獲得了傳力路徑完整、結構清晰的材料分布結果，使用彎曲梁的布置方式，可以減少構件數量，提高外翼交接處的結構強度，使用輔助梁可以增加傳力路徑，將載荷傳遞到中心體位置。

2）從彎曲梁的布置、質量、柔順度及z向形變4 個方面證明了飛翼布局N3-X 飛行器拓撲優化結果的合理性。在等柔順度時，重構模型相比標準模型質量減少14.53%；在等質量時，重構模型相比標準模型全機柔順度降低47.90%，證明了拓撲優化結果的減重效果。并進一步驗證了彎曲構件具備減重效果。

3）建立了針對復雜構型的優化-評估機制，證明了尺寸優化不僅可以作為結構優化設計的一部分，還可以作為拓撲優化效果的驗證工具。

4）根據典型飛翼布局飛行器建立的優化評估機制對于用途相同、構型和受力特點相似的飛翼布局飛行器的內部結構布置具有參考價值。