翻折多變化，動態顯身手
——立體幾何中的翻折問題

■江蘇省高郵市第一中學 徐曉霞

立體幾何中的翻折問題是高考試卷中的一類創新題型,借助平面圖形的翻折變成空間圖形,進而借助平面圖形的數量、位置等“變”與“不變”之間的聯系,合理構建空間圖形中的相關元素間的數量、位置關系,進而來解決一些相關的立體幾何問題。此類問題能很好地考查同學們各方面的能力與素養。

一、線段長度問題

例1如圖1,在平面四邊形PDCB中,PD∥BC,BA⊥PD,PA=AB=BC=2,AD=1。如 圖2,將△PAB沿BA翻折到△SAB的位置,使得平面SAB⊥平面ABCD。

圖1

圖2

(1)設平面SDC與平面SAB的交線為l,求證:BC⊥l;

(2)點Q在線段SC上(點Q不與端點重合),平面QBD與平面BCD夾角的余弦值為,求線段BQ的長。

解析:(1)依題意,AD⊥AB,因為PD∥BC,所以BC⊥AB。由于平面SAB⊥平面ABCD,且交線為AB,又BC?平面ABCD,所以BC⊥平面SAB。

因為l是平面SDC與平面SAB的交線,所以l?平面SAB,故BC⊥l。

(2)由(1)可知,AD⊥平面SAB,所以AD⊥SA,由題意可知SA⊥AB,AD⊥AB。

以A為坐標原點,AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖3 所示的空間直角坐標系A-xyz,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),可得=(1,-2,0),=(2,2,-2)。

圖3

二、空間角問題

1.線面角

例2如圖4,在四邊形ABCD中,AB=AD=,BC=CD=4,且AB⊥AD。如圖5,將△BCD沿著BD翻折,當三棱錐C-ABD的體積最大時。

圖4

圖5

(1)求此時三棱錐C-ABD的體積;

(2)求此時直線AD與平面ABC的夾角的正弦值。

解析:(1)在△BCD沿BD翻折的過程中,當平面ABD⊥平面BCD時,三棱錐C-ABD的體積最大。由平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,取BD的中點O,連接AO,則AO⊥BD,所以AO⊥平面BCD。又AB=AD=2,BC=CD=4,AB⊥AD,故BD=4,所以△BCD為正三角形。在△BCD中,BD邊上的高為2,則(V三棱錐C-ABD)max=

圖6

2.二面角

例3如圖7,四邊形ABCD是等腰梯形,DC∥AB,DC=2,AB=4,∠ABC=60°,過D點作DE⊥AB,垂足為E。如圖8,將△AED沿DE折到△A′ED的位置,且A′C=2。

圖7

圖8

(1)證明:平面A′ED⊥平面EBCD;

圖9

三、空間距離問題

例4如圖10,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=2AD=2,∠ABC=60°。如圖11,將△ACD沿著AC翻折,使得點D翻折到點P的位置,且AP⊥BC。

圖10

圖11

(1)求證:平面APC⊥平面ABC;

(2)求點C到平面APB的距離。

解析:(1)在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC。而BC⊥AP,AP∩AC=A,所以BC⊥平面APC。又BC?平面ABC,所以平面APC⊥平面ABC。

立體幾何中的翻折問題,看似背景簡單,其實內涵深遠,在很大程度上優化并改善同學們對立體幾何的思維定式,合理構建空間立體幾何直觀圖,使得靜態數學動態化,讓平面圖形“立”起來,提升空間想象能力,優化數學思維品質。