探究立體幾何中的存在性問(wèn)題

■江蘇省高郵市第一中學(xué) 陳 麗

立體幾何中的存在性探索問(wèn)題,內(nèi)涵豐富,立意新穎,形式多變,一直是新高考數(shù)學(xué)試卷中的一大熱點(diǎn)問(wèn)題。此類問(wèn)題背景新穎,具有開放性、靈活性、探究性及創(chuàng)新性等特點(diǎn),無(wú)法套用統(tǒng)一的解題模式,同時(shí)體現(xiàn)了“開放探索,考查探究精神,開拓展現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)的空間”的高考命題指導(dǎo)思想與命題原則,成為高考數(shù)學(xué)試題中一道亮麗的風(fēng)景線。

一、點(diǎn)的存在性問(wèn)題

例1如圖1,已知△ABC是邊長(zhǎng)為3 的等邊三角形,E,F分別在邊AB,AC上,且AE=AF=2,M為BC邊的中點(diǎn),AM交EF于點(diǎn)O。沿EF將△AEF翻折到△DEF的位置,使得DM=

圖1

(1)證明:DO⊥平面EFCB。

(2)若平面EFCB內(nèi)的直線EN∥平面DOC,且與邊BC交于點(diǎn)N。試問(wèn):在線段DM上是否存在點(diǎn)P,使得二面角P-EN-B的大小為60°? 若存在,則求出點(diǎn)P;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析:(1)在△DOM中,易得DO=,OM=,而DM=,則DM2=DO2+OM2,故DO⊥OM。又因?yàn)锳E=AF=2,AB=AC=3,所以EF∥BC。又M為BC邊的中點(diǎn),所以AM⊥BC,所以DO⊥EF。因?yàn)镺M∩EF=O,OM,EF?平面EFCB,所以DO⊥平面EFCB。

(2)連接OC,過(guò)E作EN∥OC交BC于N。因?yàn)镺C?平面DOC,EN?平面DOC,所以EN∥平面DOC。又OE∥CN,所以四邊形OENC為平行四邊形,可得OE=NC=1。

圖2

由題意知平面ENB的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),又因?yàn)槎娼荘-EN-B的大小為60°,所 以cos 60°=|cos|=

點(diǎn)評(píng):涉及立體幾何中點(diǎn)的存在性的探索與判斷問(wèn)題,往往先假設(shè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)存在,借助參數(shù)的引入,利用線段的比例關(guān)系或向量的線性關(guān)系的構(gòu)建,通過(guò)幾何法進(jìn)行分析與推理,或利用向量法進(jìn)行分析與運(yùn)算,進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)值是否滿足題設(shè)背景,從而得以探索與判斷點(diǎn)的存在性。

二、參數(shù)的存在性問(wèn)題

例2如圖3,在幾何體ABCDEF中,平面CDEF⊥平面ABCD,∠EAD=60°,四邊形CDEF為矩形。在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD。

圖3

(1)點(diǎn)G在線段BE上,且是否存在實(shí)數(shù)μ,使得AG∥DF? 若存在,求出μ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

(2)點(diǎn)P在線段DF上,求直線BP與平面ABE所成角的正弦值的取值范圍。

解析:因?yàn)樗倪呅蜟DEF為矩形,所以CD⊥DE。因?yàn)槠矫鍯DEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,DE?平面CDEF,所以DE⊥平面ABCD。

不妨設(shè)AB=BC=2AD=2,所以在△ADE中,有DE=ADtan∠EAD=3。

圖4

點(diǎn)評(píng):涉及立體幾何中參數(shù)的存在性的探索與求解問(wèn)題,往往直接利用對(duì)應(yīng)的參數(shù)值的關(guān)系式,從幾何法或向量法視角切入,結(jié)合空間位置關(guān)系的判斷與推理、空間角的求解與運(yùn)算等加以分析,進(jìn)而求解相關(guān)參數(shù)值,對(duì)比題設(shè)條件與背景,加以合理探索與求解參數(shù)的存在性。

立體幾何中的存在性探索問(wèn)題,往往通過(guò)立體幾何背景的巧妙設(shè)置,判斷在某些確定的條件下的某一立體幾何對(duì)象(位置、圖形、數(shù)值等)的存在性問(wèn)題,先假設(shè)存在,再利用數(shù)學(xué)運(yùn)算或邏輯推理,無(wú)矛盾則存在,有矛盾則不存在,可以全面考查考生的空間想象能力與邏輯推理能力,有利于考查考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力,檢測(cè)考生的學(xué)習(xí)潛能,具有很好的選拔性與區(qū)分度。