用等效雙星方法求解彈簧雙振子問題
——以2022年全國高考乙卷理綜第25題為例

彭定輝

(江西省南豐縣第一中學(xué)，江西 撫州 344500)

1 問題引入

彈簧雙振子是指兩物塊與彈簧相連構(gòu)成二體系統(tǒng)，在系統(tǒng)質(zhì)心做變速或勻速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，兩物塊相對(duì)質(zhì)心做簡諧運(yùn)動(dòng)．[1]彈簧雙振子模型在物理競賽中出現(xiàn)頻次較高，偶爾也出現(xiàn)于高考題中，如2022年全國高考乙卷理綜第25題，原題如下.

如圖1(a)，一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接，靜止在光滑水平面上；物塊B向A運(yùn)動(dòng)，t=0時(shí)與彈簧接觸，到t=2t0時(shí)與彈簧分離，第1次碰撞結(jié)束，A、B的v-t圖像如圖1(b)所示．已知從t=0到t=t0時(shí)間內(nèi)，物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0．A、B分離后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞．之后A再次滑上斜面，達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同．斜面傾角θ(sinθ=0.6)，與水平面光滑連接．碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．求

圖1

(1) 第1次碰撞過程中，彈簧彈性勢(shì)能的最大值；

(2) 第1次碰撞過程中，彈簧壓縮量的最大值；

(3) 物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)．

該題是一道典型的力學(xué)綜合題，涉及動(dòng)量、能量和牛頓運(yùn)動(dòng)定律等核心知識(shí)，其運(yùn)動(dòng)過程較為復(fù)雜，分析起來有一定的難度．特別是該題第(2)問，常規(guī)做法是用微元法結(jié)合動(dòng)量定理處理，但這種處理方案必須用到題設(shè)條件0.36v0t0，而且只能對(duì)特定位置或特定過程進(jìn)行求解．為此，本文試圖尋找一種簡易方法，可在中學(xué)物理范圍內(nèi)嚴(yán)格求解彈簧雙振子任意時(shí)刻的物理狀態(tài)．

2 運(yùn)動(dòng)分析

基于高考題情景，將物塊從彈簧原長位置開始?jí)嚎s到恢復(fù)彈簧原長的運(yùn)動(dòng)稱為一次擠壓過程．考慮系統(tǒng)不受其他外力的一般情況，對(duì)擠壓過程進(jìn)行分析．設(shè)彈簧原長為l0，勁度系數(shù)為k，兩物塊A、B的質(zhì)量分別為m、M，在地面坐標(biāo)系中位置。

分別為xA、xB．

根據(jù)牛頓第二定律，有

(1)

(2)

對(duì)兩式積分，可得兩物塊的速度為

再次積分，可得兩物塊的位移為

將前面兩式代入(1)式，有C=C′，D=D′+l0．

故擠壓過程中兩物塊的位移為

xA=x0+a+v0t-rAsin(ωt).

(3)

xB=x0+b+v0t+rBsin(ωt).

(4)

兩物塊的速度為

vA=v0-ωrAcos(ωt).

(5)

vB=v0+ωrBcos(ωt).

(6)

不難看出，當(dāng)cos(ωt)=0時(shí)兩物塊有共同速度且等于質(zhì)心速度v0．

將t=0代入(5)(6)兩式，得vA0=v0-ωrA，vB0=v0+ωrB．當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，由(3)(4)兩式有ωt=π，代入(5)(6)兩式，得兩物塊的末速度為vAt=v0+ωrA，vBt=v0-ωrB．聯(lián)立各式，得

即系統(tǒng)質(zhì)心速度亦等于擠壓過程兩物塊初、末速度的平均值．

3 等效雙星方法

選取質(zhì)心參考系，通過x′=x-(x0+v0t)變換位置坐標(biāo)，可得質(zhì)心系中兩物塊的位移方程為

xA′=a-rAsin(ωt).

(7)

xB′=b+rBsin(ωt).

(8)

從方程可知，質(zhì)心系中兩物塊在各自平衡位置附近做同頻反相的簡諧運(yùn)動(dòng).

由于簡諧運(yùn)動(dòng)可等效為勻速圓周運(yùn)動(dòng)(參考圓)投影的分運(yùn)動(dòng)，[3]那么質(zhì)心系中彈簧雙振子的兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)亦可拓展為兩個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng).故對(duì)物塊A，在y方向構(gòu)建一個(gè)同頻同幅的簡諧運(yùn)動(dòng)yA′=-rAcos(ωt)，使之與原x方向的簡諧運(yùn)動(dòng)xA′=a-rAsin(ωt)合成，所得圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

(xA′-a)2+yA′2=rA2.

對(duì)物塊B，同樣構(gòu)建簡諧運(yùn)動(dòng)yB′=rBcos(ωt)，使之與原x方向的簡諧運(yùn)動(dòng)xB′=b+rBsin(ωt)合成，所得圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

(xB′-b)2+yB′2=rB2.

顯然，兩圓圓心位置為兩物塊的平衡位置，距離為彈簧原長，即a-b=l0；軌道半徑等于兩物塊做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅；速度大小等于兩物塊振動(dòng)的最大速度，有uA=ωrA，uB=ωrB．

發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的力學(xué)規(guī)律與天體運(yùn)動(dòng)的雙星系統(tǒng)[4]十分相似，同樣存在mrA=MrB、muA=MuB、mω2rA=Mω2rB等約束關(guān)系．由(7)(8)兩式作出質(zhì)心系中彈簧雙振子的簡諧運(yùn)動(dòng)與兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)應(yīng)投影圖像如圖2，若平移兩圓使圓心重合，則所得圖像與雙星系統(tǒng)的軌跡相同．因此將質(zhì)心系中彈簧雙振子對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)稱為等效雙星．

圖2 彈簧雙振子與圓周運(yùn)動(dòng)的投影對(duì)應(yīng)關(guān)系

此外，將等效雙星的速度矢量平移到同一個(gè)位置，則兩速度矢量隨時(shí)間變化的軌跡亦如雙星系統(tǒng)圖像，其在x方向的投影與由(5)(6)兩式的速度圖像對(duì)應(yīng)，如圖3所示.

圖3 彈簧雙振子的速度圖像與圓周運(yùn)動(dòng)速度矢量的投影對(duì)應(yīng)關(guān)系

從圖3中容易看出，兩圖線交點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的質(zhì)心速度，而兩物塊的速度圖像相對(duì)交點(diǎn)位置對(duì)稱，即有

uA=vAt-v0=v0-vA0，

uB=vB0-v0=v0-vBt.

等效雙星之于彈簧雙振子，猶如參考圓之于簡諧運(yùn)動(dòng)，無需求解微積分方程，僅由等效雙星的矢量投影對(duì)應(yīng)，便可嚴(yán)格求得彈簧雙振子在任意時(shí)刻的位置和速度．

即彈簧雙振子的最大彈性勢(shì)能等于等效雙星的總動(dòng)能．

4 問題求解

下面用等效雙星方法對(duì)2022年全國高考乙卷的第25題進(jìn)行求解．

(1) 從圖1(b)知0到2t0時(shí)間為彈簧雙振子系統(tǒng)的第1次擠壓過程，其質(zhì)心速度為v0．故雙星圓周運(yùn)動(dòng)速度大小分別為uA=v0-0=v0、uB=1.2v0-v0=0.2v0．由muA=MuB，可得M=5m．而彈簧雙振子的最大彈性勢(shì)能等于雙星圓周運(yùn)動(dòng)的總動(dòng)能，即

(3) A從斜面返回后與B第2次擠壓彈簧，設(shè)此過程系統(tǒng)質(zhì)心速度為vc，作出第2次擠壓過程的彈簧雙振子的速度圖像，如圖4所示．

圖4 第2次擠壓過程中彈簧雙振子的速度圖像

由題意可知，第2次擠壓時(shí)B的初速度為第1次擠壓的末速度，即0.8v0，其對(duì)應(yīng)的圓周運(yùn)動(dòng)速度為uB′=0.8v0-vc．而第2次擠壓后A能再次滑上與前次相同的高度，則其末速度與前次的末速度相同，即2v0．故A對(duì)應(yīng)的圓周運(yùn)動(dòng)速度為uA′=2v0-vc．由muA′=MuB′，解得vc=0.5v0．

設(shè)A首次滑上斜面的最大距離為L，由動(dòng)能定理有

則其下滑時(shí)同樣有

聯(lián)立兩式求解得

5 結(jié)束語

用等效雙星方法求解彈簧雙振子問題，其計(jì)算過程簡單直觀，僅用到質(zhì)心參考系和勻速圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)，比較適合中學(xué)物理教學(xué)．該方法作為簡諧運(yùn)動(dòng)參考圓的拓展，可以幫助學(xué)生將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到陌生場景，有利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究能力和物理建模能力．

限于篇幅，本文僅討論了無外力作用下的彈簧雙振子問題，對(duì)于有外力作用的情況，等效雙星方法仍具有一定的參考價(jià)值．