以IYPT賽題圓柱體骰子為例探討非質點物體碰撞問題

郭逸兮 楊 藝 尹 碩 范 婷

(石河子大學理學院，新疆 石河子 832000)

物理教學過程中，對于碰撞問題，大部分教科書都會涉及.人教版高中物理課本[1]中講述了可看作質點的物體的碰撞.在大學物理力學教程中，[2]總結了惠更斯和牛頓在這方面的研究，并介紹了恢復系數概念.并在例題中展示了圓柱體在完全非彈性情況下的碰撞.在奧林匹克競賽物理教程中，[3]對以輕桿連接的小球的碰撞進行了討論.而李海龍先生和鄭金先生也曾對競賽中的該類問題處理做了有借鑒意義的討論.[4-5]在以上方法處理的問題中，題干里面常有與光滑的面進行碰撞，或者是碰撞期間的摩擦力忽略不計等設定.而在一些比較貼近現實的問題中，摩擦力是否可以忽略不計呢？

尹小剛先生曾經對這個問題進行了研究.[6]該篇論文中，假設小球在平行于碰撞面的方向有水平分量，并給出結論，摩擦力在碰撞過程中產生的沖量是不可忽略的.而對于碰撞時有水平分量，且有轉動的情況，劉延柱先生曾經做過相關的研究，[7]即摩擦碰撞的Kane難題.文中特別指出，如果用恢復系數去處理該類問題，就可能造成能量不守恒的情況.

筆者以IYPT賽題圓柱體骰子為例，建立了包含摩擦力的碰撞理論，避免了采用碰撞系數，并以程序計算和驗證二次碰撞的實驗進行驗證.

1 質點碰撞理論的局限

1.1 反彈系數應用誤區

首先可以這樣考慮，假如有一個很理想的長方體與水平地面成某一夾角，自由落體，落在地面上.這種情況下的碰撞，該如何考慮？顯然以不同角度落在地上的圓柱體，彈起的高度是不一樣的，如圖1，也就是說在這個問題里面并沒有一個常數可以用來表示反彈高度與下落高度之間的關系.因此碰撞系數這一概念在該類問題中不再適用.

圖1 各角度落下反彈高度不同

因為在碰撞過程中碰撞使圓柱體產生了旋轉，而只要存在這個旋轉，轉的速度不同，所彈起的高度也不同，如果堅持用圓柱體材料本身的彈性系數來進行計算的話，會發現，碰撞之后的能量大于初始能量.例如某圓柱體彈性系數e=1，以角度θ從高度h下落，與地面碰撞，由于e=1，其碰撞前后速度相等，那么顯然可以回到初始高度，但這是由于碰撞圓柱體產生了旋轉，所以產生了額外的轉動能量，此時圓柱體具有的能量大于初始能量，故以碰撞系數解決此問題的思路不適用.前人在處理旋轉的球體碰撞問題中遇到過能量增加的情況，即Kane難題，[7]二者都是在產生轉動的碰撞中錯誤使用碰撞系數造成的.

1.2 水平速度的產生

如果不使用彈性系數而直接使用高中競賽中常用的以沖量為出發點的碰撞理論來處理圓柱體的碰撞問題，會發生什么情況呢？

此處簡單交代清楚以下公式及物理量：

角速度與沖量關系如下，其中J為轉動慣量，l為接觸點到質心的距離

(1)

豎直速度與沖量關系如下

(2)

由機械能守恒，可推得落地前的速度

(3)

不考慮摩擦，整體能量守恒

(4)

將(1)-(3)式代入(4)式得

(5)

解得

聯立了能量方程、動量方程和角動量方程，發現確實可描述該問題.但由于忽略了摩擦力，碰撞后質心位置不會變化，而實際上，圓柱體如果進行自由落體的話，是會產生水平速度的，碰撞前后情況如圖2.

圖2 碰撞前后圖片截取

我們用Tracker軟件進行了位置追蹤，得到的圖像如圖3.

圖3 Tracker逐幀追蹤

提取其坐標點，進行擬合后如圖4.

圖4 對位置的軌跡擬合

忽略摩擦力的碰撞理論無法解釋此時產生水平速度的原因，與實際情況有較大偏差.

2 非質點碰撞理論的建立

2.1 建立必要性

歷年IYPT賽題中和碰撞理論相關的問題，往往研究論文極少.例如2022年第7題圓柱體骰子中涉及的碰撞問題，如果采用常用的不考慮摩擦的碰撞理論，會發現這個圓柱體骰子無法停下，因為沒有任何的能量損失，投擲結果便永遠無法得知.所以建立一個討論摩擦力作用下的碰撞理論十分必要.

2.2 模型簡化

由于圓柱體本身的對稱關系，可以看到，不管它以何種水平夾角落到地面上，運動區間都是其質心-受力點連線所在的豎直平面.故在這里可以采用二維化的方法處理問題.

由于不同材料恢復彈性形變的耗能是不同的，并且沒有一個統一的理論可以將其描述，這里只討論恢復彈性形變的耗能可以忽略不計的材料.

由于現實中骰子本身的性質，只討論碰撞形變極小，恢復時間極短的材料，且在這種情況下，不存在因摩擦力使運動反向的情況.

2.3 正方向和參數設定

為方便確定碰撞中的受力方向和判斷最終狀態，做如下規定.

速度分量和角速度正方向如圖5所示.

圖5 正方向的標注

接觸點速度在水平上投影的方向表示為j，

若vx+ωlsinθ<0，則j=-1；

若vx+ωlsinθ>0，則j=1；

若vx+ωlsinθ=0，則j=dir.

由于第1次碰撞之前接觸點水平速度為0，但是碰撞途中產生了速度，定義dir用于代表第1次碰撞時產生的速度的方向.

若cosθ>0，dir=-1；若cosθ<0，dir=1；若cosθ=0，dir=0.

相關參數及變量：

初始條件：夾角為θ0，初始高度為h，初始角速度w0=0，初始速度v0=0；

物理參數：物體重量為m，與地面摩擦因數為μ；

第i次碰撞前水平速度為vi-1x， 豎直速度為vi-1y，角速度為ωi-1；

第i次碰撞后水平速度為vix， 豎直速度為viy，角速度為ωi， 下落時間為ti.

2.4 碰撞過程中摩擦力做功

由沖量定義，可以把碰撞中所受的力寫為沖量關于時間的一階導

(6)

摩擦力為正壓力與摩擦因數μ的乘積

f(t)=-jμF(t).

(7)

將(6)式代入(7)式得

(8)

受力點在該極短時間的位移可以寫為平動與轉動的組合(如圖6)

圖6 極短時間內的位移關系

dx=v點dt.

(9)

dx=v(t)dt+ω(t)lsinθdt.

(10)

在碰撞過程中水平速度關于時間的函數為

(11)

其中I(t)是該次碰撞中對應時間沖量變化的總量.

在碰撞過程中角速度關于時間的函數為

(12)

在碰撞中某一瞬間摩擦力做的功為

dW=fdx.

(13)

代(8)(10)式入(13)式得

dW=fdx=

(14)

將(11)(12)式代入(14)式得

(15)

兩邊同時積分得

(16)

得到做功關于沖量的表達式為

(17)

2.5 反彈過程中各參數間的關系

在從初始高度下落的過程中，勢能向動能轉換(如圖7)

(18)

由于這里認為碰撞系數為1，不會因碰撞形變損失能量，所以每一次碰撞前后的能量差為摩擦力做功，為

(19)

(20)

由角動量定理知動量的改變量等于沖力矩之和為

-Ilcosθi-1-jμIlsinθi-1=JΔωi-1.

(21)

ωi=ωi-1+Δωi.

(22)

由質心的沖量定理知

I=m(viy-vi-1y).

(23)

新水平速度為原水平速度和由摩擦力造成的改變量之和，為

(24)

易知所有涉及的物理量都可以寫為關于沖量I的函數.

將(20)-(24)式代入(19)式中，由于其中每一項都含I2，I或者常數，可得

(25)

整理后可得aI2+bI+c=0，其中

jucosθi-1sinθi-1).

(26)

b=vi-1y-ωi-1lcosθi-1.

(27)

由于常數項互相抵消，所以常數項c=0.故

(28)

整理得

(29)

(30)

Ii=-2mvi-1y.

(31)

綜合以上可以寫出第i次和第i-1次碰撞結果的關系

(32)

(33)

(34)

2.6 驗證

根據以上結論，利用Matlab編程，計算第1次碰撞后的機械能與初始機械能比值.將如下參數代入：r=1，μ=0.1，m=1，k=1，θ∈(45°，135°),h∈(10,60)，得到結果如圖8所示.

圖8 碰撞前后的機械能之比

結果中未出現碰撞后能量超出初始狀態的情況，均克服了類似Kane難題，即因碰撞造成能量增加的情況.其中在90°時，由于不發生轉動，作用點水平移動完全為0，無能量損耗，與預期結果相符.

注意到理論計算中，在柱體以接近水平的角度落地時，會在極短的時間內發生第2次碰撞，采用慢速攝像觀察發現，實際情況中也會2次碰撞，如圖9，第1次碰撞后順時針轉動，緊接著發生第2次碰撞，導致放倒后觀察現象為逆時針旋轉.

圖9 短時間內發生第2次碰撞

要注意的是，在之后的碰撞中，圓柱體產生了旋轉和水平速度，并且由于旋轉，再次落地的時候，落地角便不再是原先的角了，在這個時候就需要進行角度變換了，不能單純地使用θi=θi-1+Δθi-1來計算，本文重點為碰撞過程，此處角度變換不做詳細說明.

3 結論

本文從傳統碰撞理論教學方法入手，總結了其中對于現實問題描述的不足.以2022年IYPT賽題圓柱體骰子為例，提出了一種更符合實際情況的碰撞理論，并針對理論計算中出現夾角較小時存在的短時間內的二次碰撞，做了實驗驗證.本文中的分析方法，有效地避免了含摩擦的碰撞理論常碰到的Kane難題，是對現有教學中碰撞理論的一種有力補充.但是，當碰撞的材料恢復形變有耗能時，此理論是不適用的.現階段暫未完全探究清楚各類材料形變耗能的解析解，只有一些特殊材料的經驗公式，[8]而這些經驗公式只符合特定材料.本文理論目前只適用完全彈性碰撞材料，如何與原先含彈性系數的理論相兼容，需進一步探索.