PBL教學法在《概率論與數理統計》課程教學中的應用

國洪松

（中國礦業大學（北京）理學院，北京 100083）

0 引言

傳統的教學模式，以教師講授為主，學生被動地接受新知識，可能會對知識背景理解不深刻，甚至感到內容枯燥，失去了自主探索的興趣。PBL（Problem-Based Learning）教學法是一種基于問題導向、以學生為中心的教學方法，由教師提出實際問題，啟發學生自由討論，探索新知識的教學模式[1-2]。

概率論與數理統計是一門研究和揭示隨機現象統計規律性的數學學科[3-6]。很多概率統計模型都有著深刻的現實背景，如等可能概型、中心極限定理、三大導出分布等，在現實生活中有著廣泛的應用[7-9]。但是在以往的教學中，教師急于講授概率論與數理統計的相關數學知識，往往把很多概念和定理結論全盤托出，而忽略了學生是否能夠理解和接受；學生也以考試為目的，對相關概念和性質死記硬背，面對實際問題不會分析，不能正確建立數學模型，從而無從下手，沒有辦法解決。

如果在教學中能采用PBL教學法，將抽象的課程知識和實際問題相結合，啟發學生自主探索，建立數學模型，用數學知識來解決實際問題，就能起到事半功倍的效果。本文主要探索PBL教學法在概率論與數理統計課程教學中的應用，通過具體教學案例──條件概率，體現該教學方法的實施過程和效果。

1 PBL教學法的實施過程和教學案例—條件概率

由于條件概率在現實當中有著廣泛的應用，可以先給出引例，激發學生學習興趣，引導學生分析問題和解決問題，進一步引出條件概率的定義。

1.1 問題導入：創設問題情境

例1設有十張獎券，其中三張寫著中獎，其余寫著謝謝參與。甲乙兩人依次來抽獎，問：甲抽完獎券后，乙中獎的概率是多大？

1.2 分析問題

先由學生初步討論分析：甲先抽獎，由之前所學的等可能概型可知，甲中獎的概率為，因為是依次抽獎，那么會面臨這樣的問題：甲中獎與否，是否會影響乙中獎的概率？乙中獎的概率又是多大呢？

因為兩人是依次抽獎，可以分兩種情況來討論乙中獎的概率：如果甲中獎，則乙中獎的概率為；如果甲未中獎，則乙中獎的概率為。

教師創設情境，為導入新知做準備。由實際問題出發，引導學生思考，建立數學模型，進而用概率論的知識來刻畫，并鼓勵學生探索數學規律，增加學生學習興趣。

1.3 條件概率的定義和計算

定義A,B設是兩個事件，且P(A)>0稱

為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率。

由條件概率的定義可知,條件概率的計算方法有兩種：

（1）按條件概率的含義，直接求出P(B|A)。這樣方法相當于在縮減了的樣本空間S4中計算事件B的概率，如圖1所示：

圖1 條件概率示意圖

例2（續例1）設有十張獎券，其中三張寫著中獎，其余寫著謝謝參與。甲乙兩人依次來抽獎。求已知甲乙兩人中恰有一人中獎，中獎人是甲的概率。

分析：這個問題的解決關鍵是如何正確的建立數學模型，將所求問題轉化為隨機事件的條件概率。在講授這個問題的具體解決方法之前，可以讓學生分組討論，先鼓勵學生“猜測”所求概率（或者條件概率）可能是多少，再來引導建立數學模型，例如提出問題：怎樣才能將這樣的實際問題轉化為概率的問題呢？以及，如何用條件概率的定義確切地求解和計算該問題？

解：將十張獎券進行標號1，2，…，10，假設1，2，3號獎券上寫著中獎，其他號碼的獎券上寫著謝謝參與。用，表示甲和乙抽到的獎券號碼，則樣本空間。用表示事件“甲乙兩人恰有一人中獎”，表示事件“甲中獎”，則

對于這個問題，可以鼓勵學生利用兩種條件概率的求解方法，既可以加深對條件概率定義的理解，又可以幫助學生增強建立數學模型的能力。

1.4 條件概率與概率的關系

表1 條件概率與概率的關系

1.5 條件概率的性質

條件概率作為一個集合函數，也有類似于概率的性質，這些性質都可以借助條件概率的定義和概率的性質來證明，不僅能幫助我們計算更復雜的條件概率，還能有助于我們更好的理解條件概率的意義。

例3（續例2）設有十張獎券，其中三張寫著中獎，其余寫著謝謝參與。甲乙兩人依次來抽獎。求已知甲乙兩人中恰有一人中獎，中獎人是乙的概率。

分析：這個問題當然可以類似于例2的方法用條件概率的定義求得。但在例2的基礎上，也可以用條件概率的性質直接得到。

解：用A表示事件“甲乙兩人恰有一人中獎”，B表示事件“甲中獎”，在例2中已經求得，即已知甲乙兩人中恰有一人中獎，中獎人是甲的概率為由條件概率的性質可得

即，已知甲乙兩人中恰好有一人中獎，是乙中獎（甲未中獎）的概率也為。

在講解這個例題之前，可以先鼓勵學生用條件概率的定義，用類似于例2的方法求解一般，然后教師在啟發學生用條件概率的性質直接求解，通過比較兩種計算方法，使學生加深對條件概率性質的理解，將這些性質更好地用于實際問題的解決中。

1.6 課后拓展

課后拓展1：隨機過程馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣。

因此，可得矩陣

課后拓展2：條件概率的謬論。

例5有某種重大疾病，可以通過醫學檢驗，來幫助推斷個體是否患有該病。但是檢驗行為也有爭議性，因為有檢出假陽性結果的可能。設人群中有1%的人患此疾病，醫學檢驗出現假陽性和假陰性的概率都為0.01。人群中隨機挑選一人，進行該項醫學檢驗。設表示事件“此人患病”，表示事件“此人檢驗稱陽性”。由假設可知，。假陽性概率，假陰性概率.通過計算可得

從而可知，如果某人真的患病，則檢驗出現陽性的概率為0.99。但是，已知某人檢驗出結果呈陽性，此人真的患病的概率僅為0.5。兩個條件概率相差很大，而這樣的結果對很多人來說也是難以接受的。可見一定要從實際出發，來理解條件概率的真正含義。

2 案例反思及教學效果評價

2.1 案例反思

通過PBL教學方法的實施，學生不僅能夠在理論層面上掌握條件概率的定義和性質；而且在能力層面上能夠建立數學模型，利用條件概率解決實際問題；進一步的，在思想層面上認識到概率和條件概率辯證關系。在拓展閱讀中介紹了條件概率在馬爾可夫鏈的轉移概率中的應用，以及介紹了生活中常見的一類關于條件概率的謬論。一方面鼓勵學生認真學習條件概率的知識，并給后續其他數學知識的學習做準備，另一方面，也啟發學生警惕對數學知識的模糊理解，通過認真分析，保持頭腦清醒，就不會被謬論所誤導。

2.2 教學效果評價

在概率論與數理統計課程教學中，采用PBL教學法，通過實例吸引學生注意力，以問題為導向，以學生為中心，以分析為重點，以應用來鞏固拓展，引導學生思考、解決問題，進而使學生較快理解與掌握概率統計知識的內容及運用。在案例中，通過條件概率謬論，加深對條件概率內容的理解。在課堂教學中要讓學生多思、多練、多總結，并安排作業，讓學生在鞏固課堂學習，課后思考鍛煉學生解決實際問題的能力。通過交流互動說明學生已大致掌握條件概率的概念、性質和基本求解步驟，從而說明PBL教學法達到了預期的教學成效。這種教學方法，不僅可以使學生加深了課程知識的理解，更能夠提高學生自主學習的興趣，提高了建立數學模型的技能，增強用數學知識解決實際問題的能力。