橋式起重機空行程運行PD結(jié)合輸入整形控制策略*

董明曉 王冰清 和大龍 付 航 劉忠旭

1山東建筑大學(xué)機電工程學(xué)院 濟南 250101 2山東龍輝起重機械有限公司 泰安 271224

0 引言

橋式起重機廣泛應(yīng)用于廠房、貨站和碼頭，為了提高橋式起重機的工作效率，目前大量研究者將研究集中在橋式起重機在有載運行時的控制理論和方法。對于橋式起重機控制算法的研究主要分為針對PID （Proportional Integral Derivative）算法的研究、針對輸入整形算法的研究以及將PID算法與輸入整形算法結(jié)合進行研究3類。

PID反饋控制是工業(yè)中最廣泛使用的控制算法之一，經(jīng)常被用于提高系統(tǒng)的準確性[1]。這種控制算法有易于實施、成本低等優(yōu)點，在起重機的控制系統(tǒng)中被廣泛使用。Marcello S[2]提出了一種增益反饋控制的方法，并將其應(yīng)用到門式起重機上以提高起重機在運行時的穩(wěn)定性；Haniff M等[3]針對雙擺式橋式起重機，設(shè) 計 了 PA-PID（Piecewise Affine Proportional Integral Derivative）控制系統(tǒng)，并將其用來提高小車位置定位跟蹤的精確性；楊立秋等[4]利用基于專家PID控制理論，設(shè)計了一種應(yīng)用于船用起重機PID專家控制器，并通過仿真實驗驗證了該方法具有較好的跟蹤性能和消擺效果；朱發(fā)淵等[5]設(shè)計了一種雙閉環(huán)PD控制器，在保證小車機構(gòu)快速到達指定位置的同時盡量降低貨物擺動角度；Azmi N等[6]提出將粒子群優(yōu)化與PID控制結(jié)合的方法，在保證小車位置準確性的同時提高了起重機小車的運行速度。

輸入整形算法作為一種開環(huán)控制策略，可在不改變原控制系統(tǒng)的情況下，快速消除系統(tǒng)的振動，降低穩(wěn)定時間。Singer N等[7]、Huey J R等[8]設(shè)計了零振動（Zero Vibration，ZV）、零振動微分控制器（Zero Vibration Derivative，ZVD）和極不靈敏控制器（Extra Insensitivity，EI）消除起重機貨物的殘留擺動。開環(huán)控制策略結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，但對外界擾動十分敏感，魯棒性較差，故經(jīng)常與其他算法結(jié)合在一起使用。例如：李杰等[9]將LQR （Linear Quadratic Regulator)線性控制器與輸入整形算法相結(jié)合，并將其應(yīng)用到橋式堆垛機上，提高橋式堆垛機停車的穩(wěn)定性。考慮到PID算法和輸入整形算法的優(yōu)點，將二者相結(jié)合是有效的。進一步提出將輸入整形控制策略與PD反饋控制策略相結(jié)合抑制貨物擺動[10-12]。

以上的研究都是針對起重機帶有貨物時的控制策略，對于如何提高橋式起重機空行程運行速度和快速定位問題的研究較少，本文基于橋式起重機在空行程運行時小車機構(gòu)的線性化模型，將PD結(jié)合輸入整形策略應(yīng)用于小車機構(gòu)空行程運動控制，以提高橋式起重機的工作效率。

1 在空行程運行時小車機構(gòu)的線性化模型

通常情況下，貨物的運輸由橋式起重機3個機構(gòu)的組合使用來實現(xiàn)。橋式起重機結(jié)構(gòu)與工況較為復(fù)雜，且各機構(gòu)間相互耦合，因此，在對橋式起重機動力學(xué)研究時，需對橋式起重機的結(jié)構(gòu)進行必要的簡化。貨物在水平面內(nèi)的運動依靠橋式起重機小車機構(gòu)和大車機構(gòu)的驅(qū)動來實現(xiàn)，2大機構(gòu)的運動方向相互垂直，2個方向上的運動可實現(xiàn)解耦。故本文僅研究小車機構(gòu)運動方向的水平移動。橋式起重機結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 橋式起重機結(jié)構(gòu)示意圖

慣性笛卡兒坐標系（x，y）建立在橋的左端，非慣性極坐標系（l，θ）建立在起升鋼絲繩的懸掛點處。根據(jù)Lagrange方程，建立橋式起重機-小車機構(gòu)-貨物系統(tǒng)的線性化動力學(xué)模型，表示為

式中：m、M分別為小車機構(gòu)和貨物的質(zhì)量，x、分別為小車機構(gòu)的位移和加速度，θ為貨物離開平衡點的擺動角度，l、分別為起升鋼絲繩的長度和提升加速度，F(xiàn)a為作用于小車機構(gòu)的驅(qū)動力，g為重力加速度。

在橋式起重機空行程時，吊鉤的質(zhì)量相對于小車機構(gòu)較輕，可忽略不計。則橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)線性化模型為

橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)線性化模型的傳遞函數(shù)為

式中：Gp(s)是橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)的線性化模型。

2 控制策略

橋式起重機的工作過程具有周期循環(huán)的特點，每一次循環(huán)通常經(jīng)歷空行程運行、貨物運送和卸料3個階段。橋式起重機的空行程運行又包括空車取物和空車復(fù)位2個階段，橋式起重機空行程運行的效率完全依賴操作者的經(jīng)驗，不熟練的操作者可能會來回操作大車和小車機構(gòu)多次才能準確進行空車取物和空車復(fù)位，增加了運輸時間，降低了運輸效率。因此，針對橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)的線性化模型，提出了2種不同的控制策略以進行性能比較。

2.1 PD反饋控制策略

為研究輸入整形算法對橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)的控制效果，首先提出了PD反饋控制策略。PD反饋控制系統(tǒng)如圖2所示。

圖2 PD反饋控制系統(tǒng)

圖中：Gp(S)為橋式起重機小車機構(gòu)線性化模型，kdS+kp為PD反饋控制器，kd為微分增益，kp為比例增益，R(s)為參考輸入命令，F(xiàn)(s)為作用于小車機構(gòu)的控制力，X(s)為小車機構(gòu)的位移，參考輸入命令與小車機構(gòu)的位移作差形成E(s)，即偏差信號。圖2所示的PD反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

從式（5）不難看出，PD反饋環(huán)節(jié)的作用是將在空行程時小車機構(gòu)的線性化模型轉(zhuǎn)化成二階閉環(huán)系統(tǒng)，其中比例增益確定了系統(tǒng)的固有頻率，；比例增益和微分增益共同確定了閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比，。小車機構(gòu)的動態(tài)性能由固有頻率與阻尼比決定，因此，通過合理設(shè)計kd和kp的參數(shù)來確定小車機構(gòu)的固有頻率與阻尼比，從而改善橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)的動態(tài)性能。

2.2 PD結(jié)合輸入整形控制策略

通常情況下，輸入整形器作為單獨的模塊放在閉環(huán)系統(tǒng)的外面，與PD反饋控制結(jié)合共同構(gòu)成一個新的控制系統(tǒng)。輸入整形器的一般形式為

式中：Ai為第i個脈沖序列的幅值，ti為第i個脈沖作用時間，n為脈沖個數(shù)。

PD結(jié)合輸入整形控制系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 PD結(jié)合輸入整形控制系統(tǒng)

Fis(s)為輸入整形后作用于小車機構(gòu)的控制力，Xis(s)為輸入整形后小車機構(gòu)的位移，輸入?yún)⒖济罱?jīng)過整形后，與小車機構(gòu)位移作差形成偏差信號Eis(s)，即輸入整形后的偏差信號。故圖3所示的控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

根據(jù)橋式起重機的工作情況來選取輸入整形器的類型，選取兩脈沖的ZV輸入整形器，則ZV輸入整形器的傳遞函數(shù)為

式中：A1為第1個脈沖幅值；A1為第2個脈沖幅值；K為參數(shù)；t1為第1個脈沖作用時間，t1=0；t2為第2個脈沖作用的時間。

3 小車機構(gòu)的位移及控制力

3.1 在PD反饋控制策略控制下小車機構(gòu)的位移及控制力

在PD反饋控制策略控制下小車機構(gòu)的位移為

式中：R(s)為階躍輸入命令，一般形式可表示為R(s)=k/s。

在零初始狀態(tài)下，對式（9）進行拉普拉斯反變換，得到在PD反饋控制策略控制下小車機構(gòu)的位移在時域內(nèi)表達式為

式中：Asys、φ分別為由系統(tǒng)參數(shù)引起的振動幅值與振動初始角度。

在PD反饋控制策略控制下作用于小車機構(gòu)上的控制力為

在零初始狀態(tài)下，對式（14）進行拉普拉斯反變換，得到在PD反饋控制策略控制下作用于小車機構(gòu)上的控制力在時域內(nèi)表達式為

3.2 在PD結(jié)合輸入整形控制策略控制下小車機構(gòu)的位移及控制力

在PD結(jié)合輸入整形控制策略控制下小車機構(gòu)的位移為

在零初始狀態(tài)下，對式（19）進行拉普拉斯反變換，得到在PD結(jié)合輸入整形控制策略控制下小車機構(gòu)的位移在時域內(nèi)表達式為

式中：Ais為由輸入整形器引起的振動幅值；ωd為閉環(huán)系統(tǒng)的有阻尼振動頻率，；ψ為由輸入整形器引起的振動初始角度。

在PD結(jié)合輸入整形控制策略控制下作用于小車機構(gòu)上的控制力為

在零初始狀態(tài)下，對式（23）進行拉普拉斯反變換，得到在PD結(jié)合輸入整形控制策略控制下作用于小車機構(gòu)上的控制力在時域內(nèi)表達式為

式中：Ais和ψ同式（21）、式（22）。

4 仿真研究

基于Matlab仿真軟件創(chuàng)建橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)的數(shù)值仿真模型，利用所設(shè)計的輸入整形器在階躍輸入命令控制下進行仿真。

考慮到實際的橋式起重機的工作過程，不希望橋式起重機的固有頻率過高，而比例增益kp確定了閉環(huán)系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。故所設(shè)計的控制系統(tǒng)的比例增益kp不能設(shè)置過大。為了便于比較2個控制系統(tǒng)，選取誤差帶Δ=0.02，則PD反饋控制系統(tǒng)的調(diào)整時間為

PD反饋控制系統(tǒng)和PD結(jié)合輸入整形系統(tǒng)的時間常數(shù)設(shè)置為

式（25）、式（26）確定了系統(tǒng)調(diào)整時間ts、時間常數(shù)tc與微分增益選取kd之間的關(guān)系。小車機構(gòu)質(zhì)量m=150 kg，設(shè)期望位移x=6 m，tf設(shè)置為30 s。

4.1 小車機構(gòu)位移仿真

比例增益kp選為50、100和150，微分增益kd=120。橋式起重機在空行程時，在階躍輸入命令控制下小車機構(gòu)位移如圖4所示。

圖4 在階躍輸入命令控制下小車機構(gòu)位移

從圖4中可以明顯看出，PD結(jié)合輸入整形系統(tǒng)的調(diào)整時間較未整形的系統(tǒng)變快了。由式（25）知，在小車機構(gòu)質(zhì)量確定的情況下，控制系統(tǒng)的微分增益與調(diào)整時間成反比，系統(tǒng)的微分增益越大，則系統(tǒng)的調(diào)整時間就越小，在微分增益確定的情況下，控制系統(tǒng)的調(diào)整時間為定值10 s。而PD結(jié)合輸入整形控制系統(tǒng)下的調(diào)整時間則是ZV輸入整形器第二個脈沖作用的時間，分別為7.545 9 s、4.413 6 s和3.427 8 s。在相同比例增益的情況下，PD結(jié)合輸入整形系統(tǒng)的超調(diào)量明顯低于PD反饋控制系統(tǒng)。在階躍輸入命令控制下，小車機構(gòu)位移曲線的超調(diào)量與比例增益成正比，比例增益越大，橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)位移曲線的超調(diào)量也越大。

4.2 小車機構(gòu)控制力仿真

橋式起重機在空行程時，在階躍輸入命令控制下小車機構(gòu)的控制力如圖5所示。

圖5 在階躍輸入命令控制下作用于小車機構(gòu)的控制力

從圖5可以看出，橋式起重機在空行程時，在kp相同時，在PD結(jié)合輸入整形控制策略控制下作用于小車機構(gòu)上的控制力比PD反饋控制策略控制下的小。在階躍輸入命令控制下，控制力幅值與比例增益成正比，比例增益越大，作用于小車機構(gòu)上的控制力就越大。在PD反饋控制策略控制下作用于小車機構(gòu)位移所產(chǎn)生的超調(diào)量明顯大于PD反饋控制策略控制下的超調(diào)量，而超調(diào)量過大則會導(dǎo)致小車機構(gòu)在短時間內(nèi)不能趨于穩(wěn)定，這就意味著在橋式起重機控制小車機構(gòu)的過程中將消耗更多的控制力才能使小車機構(gòu)到達指定位置。與PD反饋控制相比，在階躍輸入命令控制下PD結(jié)合輸入整形控制策略控制下小車機構(gòu)需要的控制力可在較短的時間內(nèi)趨于穩(wěn)定。

4.3 系統(tǒng)能耗仿真

系統(tǒng)能耗作為衡量設(shè)計的控制策略是否具有工程使用價值的一項重要指標，需將其考慮在內(nèi)。將能耗定義為，即控制力對時間的積分，tf是小車機構(gòu)運動終止時間。在階躍輸入命令控制下控制小車機構(gòu)的能耗如圖6所示。

圖6 在階躍輸入命令控制下控制小車機構(gòu)的能耗

從圖6可以看出，在階躍輸入命令控制下，經(jīng)輸入整形過的小車機構(gòu)消耗的能量明顯低于未整形前的小車機構(gòu)消耗的能量。隨著比例增益的增大，控制小車機構(gòu)所消耗的能量也隨之增加。

5 結(jié)論

基于橋式起重機在空行程時小車機構(gòu)的線性化模型，提出了PD結(jié)合輸入整形控制策略，通過仿真研究證明了由于輸入整形器的作用PD結(jié)合輸入整形控制策略能有效降低小車機構(gòu)空行程運行超調(diào)量和調(diào)整時間，提高了小車機構(gòu)的工作效率，降低了作用于小車機構(gòu)控制力和能耗，PD結(jié)合輸入整形控制策略優(yōu)化了小車機構(gòu)動態(tài)性能。