基于四元數(shù)的軸承載荷分布求解方法

孫芳斌，程紅梁，凌維安

（1.南京航空航天大學(xué)，南京 210016；2.博世華域轉(zhuǎn)向系統(tǒng)有限公司南京分公司，南京 210033）

軸承的載荷分布主要研究軸承變形與承載能力的關(guān)系，其中變形主要為滾動(dòng)體接觸變形及由此產(chǎn)生的內(nèi)外圈相對(duì)變形，承載能力則是滾動(dòng)體受載、軸承整體外載荷等[1]。軸承載荷分布直接關(guān)系著軸承的疲勞性能，只有確定了載荷分布才能夠研究一些軸承的性能參數(shù)，如剛度、變形和接觸應(yīng)力等[2]。由于有限元的發(fā)展，軸承接觸變形、接觸應(yīng)力可以通過商業(yè)軟件很好地求解[3]，載荷分布求解十分容易；但有限元計(jì)算前處理耗時(shí)較多，理論方法仍是不可或缺的。

經(jīng)典的低速軸承載荷分布求解基于赫茲接觸理論得到滾珠——滾道擠壓變形和壓力的函數(shù)關(guān)系，通過軸承內(nèi)外圈相對(duì)變形來(lái)描述滾珠擠壓[4-7]。但涉及軸承內(nèi)外鋼圈的相對(duì)傾轉(zhuǎn)，普遍做法是在某一平面內(nèi)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)分解到擠壓接觸點(diǎn)上，例如路春雨等[8]研究的四點(diǎn)接觸高速軸承的力學(xué)模型，陳龍等[9]研究的四點(diǎn)接觸球轉(zhuǎn)盤軸承力學(xué)模型等。實(shí)際上除了軸承，其他的回轉(zhuǎn)件如滾珠絲杠副也采用將傾轉(zhuǎn)變形通過復(fù)雜的三角函數(shù)變換到接觸點(diǎn)上去，求解滾珠的擠壓變形量[10-11]。此類方法思路直觀，但推導(dǎo)過程復(fù)雜，使用起來(lái)并不方便。四元數(shù)作為一種可以描述向量空間旋轉(zhuǎn)的工具常被用于計(jì)算機(jī)幾何圖形學(xué)中[12-13]，其矩陣形式使用更是方便。周江華等[14]對(duì)四元數(shù)在剛體姿態(tài)仿真中的應(yīng)用進(jìn)行了分析。王思鵬等[15]應(yīng)用四元數(shù)描述無(wú)人機(jī)姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)了慣性測(cè)量單元信息與單目視覺信息融合以及無(wú)人機(jī)位姿態(tài)修正。董貴榮等[16]則是基于四元數(shù)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜障礙物場(chǎng)景下對(duì)機(jī)器人位姿的精確控制，簡(jiǎn)化工業(yè)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解過程。

為簡(jiǎn)化傾轉(zhuǎn)變形的處理，本文將四元數(shù)應(yīng)用于角接觸球軸承相對(duì)變形中的傾轉(zhuǎn)部分的描述，通過滾道圓弧曲率中心參數(shù)曲線的剛體位移量推導(dǎo)滾珠擠壓變形，基于牛頓-拉夫遜方法求解滾珠載荷分布。算法可以輕易實(shí)現(xiàn)對(duì)各類球軸承的拓展，且對(duì)各種復(fù)合外載荷都能有效求解載荷分布。

1 載荷分布模型

1.1 四元數(shù)簡(jiǎn)介

四元數(shù)由1 個(gè)實(shí)數(shù)單位和3 個(gè)虛數(shù)單位組成，任意四元數(shù)可以寫作如下形式

其中虛數(shù)單位滿足

四元數(shù)也可以根據(jù)實(shí)部和虛部寫作

對(duì)于一個(gè)四元數(shù)q，它的共軛四元數(shù)記為q*

如果一個(gè)四元數(shù)實(shí)部為0，則稱這個(gè)四元數(shù)為純四元數(shù)。對(duì)于一個(gè)空間向量v1，可以表示為純四元數(shù)v1=[0，v1]。四元數(shù)運(yùn)算可以表示向量的空間旋轉(zhuǎn)，假設(shè)空間向量v1繞單位向量u 右手坐標(biāo)方向旋轉(zhuǎn)了θ 度后變?yōu)関2，對(duì)應(yīng)的四元數(shù)v1經(jīng)旋轉(zhuǎn)后表示為v2，則對(duì)應(yīng)的四元數(shù)運(yùn)算可表示為

式中：v2=[0，v2]，旋轉(zhuǎn)后仍是純四元數(shù)。q 為對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)方向的單位四元數(shù)，q*為q 的共軛，此時(shí)q 計(jì)算式為

上述關(guān)系對(duì)應(yīng)四元數(shù)的計(jì)算，在實(shí)際使用中為方便起見一般使用其矩陣形式，令

式中：θ 為繞單位向量u 轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，[ux，uy，uz]T為單位向量u 的3 個(gè)方向的分量。則轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣可表示為

對(duì)應(yīng)向量旋轉(zhuǎn)空間轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為

如圖1 所示，空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的四元數(shù)不是唯一的，對(duì)于任意向量，繞u 方向旋轉(zhuǎn)θ 角和繞-u 方向旋轉(zhuǎn)2π-θ 角所進(jìn)行的變換是完全一致的。

圖1 向量旋轉(zhuǎn)示意

1.2 接觸變形求載荷分布

角接觸球軸承由于接觸角非零，相比深溝球軸承可以承受更復(fù)雜的外載荷，包括軸向力、徑向力、傾覆力矩及上述的復(fù)合等。現(xiàn)對(duì)軸承分析做出如下假設(shè)：①滾珠與滾道的接觸變形處于彈性范圍內(nèi)，滿足赫茲接觸假設(shè)；②變形前后兩側(cè)滾道的曲率中心與滾珠中心總是位于同一直線上（軸承轉(zhuǎn)速處于低速情況）；③忽略滾珠滾道間摩擦力。基于以上假設(shè)，變形可以簡(jiǎn)化為內(nèi)外圈滾道之間的相對(duì)變形，在分析時(shí)一般假設(shè)軸承外圈固定、內(nèi)圈相對(duì)外圈有相對(duì)位移。

對(duì)于無(wú)外載荷時(shí)的理想滾珠運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)路徑曲線定義為L(zhǎng)0，L0的參數(shù)曲線表達(dá)式

式中：R0表示軸承的節(jié)圓半徑，將節(jié)圓定義在xoy 平面后，滾道圓心（曲梁中心）曲線偏離xoy 平面。滾珠半徑為rb，外滾道半徑為re，內(nèi)圈滾道半徑為ri，設(shè)計(jì)接觸角為β0。

式中：R1為外圈滾道參數(shù)圓曲線的半徑，R2為內(nèi)圈滾道參數(shù)圓曲線的半徑。

四點(diǎn)角接觸球軸承的外圈滾道對(duì)應(yīng)的2 條圓心參數(shù)曲線

四點(diǎn)角接觸球軸承的內(nèi)圈滾道對(duì)應(yīng)的兩條圓心參數(shù)曲線

對(duì)于四點(diǎn)接觸球軸承，內(nèi)圈和外圈各有2 條參數(shù)曲線，上標(biāo)in/out 表明內(nèi)外圈，下標(biāo)L/R 表明參數(shù)曲線對(duì)應(yīng)滾道小圓弧指向圓心的左右，而非參數(shù)曲線本身相對(duì)的左右位置。四點(diǎn)接觸球軸承內(nèi)外圈滾道之間由于受外載發(fā)生相對(duì)位移，可劃分為繞xoy 平面內(nèi)某一方向的轉(zhuǎn)動(dòng)和3 個(gè)平動(dòng)分量。轉(zhuǎn)動(dòng)方向定義在xoy平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸角為φ，轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θ，則對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)

滾珠受到滾道擠壓產(chǎn)生的變形量由變形前后的參數(shù)曲線間距離變化決定，變形前滾道參數(shù)線距離為

變形后對(duì)應(yīng)某一滾珠，滾道參數(shù)線接觸點(diǎn)距離變?yōu)?/p>

式中：ti表示第i 個(gè)滾珠球心在參數(shù)曲線上的參數(shù)值，則表示發(fā)生相對(duì)位移后滾珠對(duì)應(yīng)的內(nèi)滾道參數(shù)取值，有

擠壓受力方向

式中：cart2pol（）表示將笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)的弧度參數(shù)，norm（）表示將向量單位化處理。由于實(shí)際滾珠變形受壓，接觸變形量不能夠?yàn)樨?fù)數(shù)，所以有

基于赫茲接觸理論，接觸變形與接觸載荷的關(guān)系表示為

K 的計(jì)算與赫茲接觸點(diǎn)處的主曲率和、軸承材料的彈性模量等參數(shù)相關(guān)。對(duì)受力、力矩向3 個(gè)主方向上分解，可以得到

式中：N 為滾珠總個(gè)數(shù)，i 為滾珠編號(hào)，Li1，Li2分別為外圈接觸點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離，對(duì)于四點(diǎn)接觸球軸承，有

軸承受到復(fù)合外載荷時(shí)（同時(shí)包含軸力、徑向力和傾覆力矩），可以通過牛頓迭代法求解。已知復(fù)合外載荷F0=[Fx0，F(xiàn)y0，F(xiàn)z0，Mx0，My0]T，相對(duì)位移量δ=[δx，δy，δz，φ，θ]T，φ 為轉(zhuǎn)軸角，θ 為轉(zhuǎn)動(dòng)角，通過迭代控制相對(duì)位移量使外載荷等于滾珠合力、合力矩。牛頓迭代需要求殘差梯度，求導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜，因此使用數(shù)值求導(dǎo)代替。需要注意的是，滾珠和力矩只需要取前2 項(xiàng)，第三項(xiàng)繞Z 軸為軸承扭矩，但分析過程并未考慮摩擦力，求出的摩擦扭矩并無(wú)參考價(jià)值。

上述分析過程可以表示為如下標(biāo)準(zhǔn)化流程。

1）列出軸承內(nèi)外圈相對(duì)位移量δ=[δx，δy，δz，φ，θ]T。

2）列出軸承內(nèi)外圈的變形前滾道圓弧圓心（曲率中心）參數(shù)曲線。

3）根據(jù)位移量生成旋轉(zhuǎn)矩陣和平動(dòng)位移向量，計(jì)算變形后的內(nèi)圈參數(shù)曲線，外圈不變。

4）變形后內(nèi)圈接觸點(diǎn)不動(dòng)，計(jì)算接觸點(diǎn)到外圈斜對(duì)應(yīng)參數(shù)曲線的距離，此距離減去變形前的距離即為滾珠變形壓縮量，計(jì)算滾珠受載角度。

5）根據(jù)赫茲接觸計(jì)算滾珠擠壓力，將所有滾珠擠壓力分解得到合力、合力矩。

對(duì)步驟1）—5）應(yīng)用牛頓-拉夫遜方法，迭代求解相對(duì)位移量，并對(duì)應(yīng)求出所有滾珠的載荷。

對(duì)于其他類型的球軸承，可以根據(jù)軸承的實(shí)際結(jié)構(gòu)修改步驟2）中的參數(shù)曲線，但要注意步驟4）中內(nèi)外參數(shù)曲線的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系也要相應(yīng)做出修改。

2 算例分析

2.1 單列軸承

對(duì)上述模型進(jìn)行驗(yàn)證，以某型號(hào)四點(diǎn)接觸球軸承為例計(jì)算，其中軸承參數(shù)見表1。

表1 軸承參數(shù)

考慮軸承所受外載荷類型差異，角接觸球軸承可能同時(shí)承受徑向力、軸向力和傾覆力矩，且受力/力矩的方向有所區(qū)別。分別按照不同外載荷類型搭配，并依據(jù)各種載荷類型搭配劃分工況1—5，其中工況1—3為單一軸向力、徑向力和傾覆力矩，工況4 為側(cè)向力+傾覆力矩，工況5 為軸向力+徑向力+傾覆力矩，具體各工況載荷所占比例見表2。根據(jù)如圖2 所示的載荷方向，計(jì)算得到軸承外載荷分布如圖3 所示。

表2 工況載荷數(shù)據(jù)

圖2 軸承坐標(biāo)系定義及參數(shù)示意

圖3 單列軸承不同工況下滾珠載荷分布

表2 的5 種工況表示受載情況逐漸復(fù)雜，對(duì)于四點(diǎn)接觸球軸承，在低轉(zhuǎn)速情況下不同的使用場(chǎng)景5 種工況都有可能出現(xiàn)，最復(fù)雜使用場(chǎng)景下會(huì)出現(xiàn)同時(shí)承載3 種載荷的情況。圖3 顯示了5 種工況載荷取表2所羅列的數(shù)值時(shí)的軸承滾珠的載荷分布，其中滾珠載荷以外圈滾道為參考對(duì)象，分別繪制了滾道左右兩側(cè)與滾珠接觸點(diǎn)的受力；滾珠編號(hào)則是按照xoy 平面內(nèi)以x 軸為起點(diǎn)逆時(shí)針方向編排。工況1 表示對(duì)軸承施加純軸向載荷15000 N，此時(shí)軸承只有右側(cè)單邊受力，且每個(gè)滾珠受力完全相等，這與定性分析的結(jié)論是完全一致的。工況2 對(duì)軸承施加的是純徑向載荷，可以看到此時(shí)單個(gè)滾珠左右2 邊受到完全均等的擠壓力，但不同滾珠受力會(huì)發(fā)生變化，所有滾珠合力作用下形成純徑向載荷。工況3 為軸承只受傾覆力矩載荷，此時(shí)滾珠兩側(cè)壓力各不相同，綜合之下產(chǎn)生了合力矩。

工況4、工況5 為復(fù)合載荷的滾珠載荷分布情況，由于載荷類型的疊加，滾珠載荷分布基本呈現(xiàn)無(wú)規(guī)律變化狀態(tài)。工況4 為徑向力+傾覆力矩，工況5 為軸向力+徑向力+傾覆力矩，可以看到，外載荷越復(fù)雜，滾珠載荷峰值也越大。對(duì)比工況1 和工況5，增加徑向力和傾覆力矩之后，滾珠承受的壓力峰值從2400 N 增加到3503 N；工況2 和工況4 相比，增加傾覆力矩比純徑向力使?jié)L珠壓力峰值從1529 N 增加到2302 N。同時(shí)注意到，徑向力和傾覆力矩也會(huì)造成滾珠載荷分布幅值（最大壓力減去最小壓力）的變化，從延長(zhǎng)軸承壽命上來(lái)說，應(yīng)該盡量避免這種情況。

2.2 雙列軸承

相比于單列的四點(diǎn)接觸軸承，雙列軸承兩列之間有列距L，只需要對(duì)載荷分布模型里參數(shù)曲線部分做些許修改，其余分析過程完全一致。如圖2 所示中的雙列軸承為例，參數(shù)曲線的x（t），y（t）部分不變，z（t）修改為

雙列軸承列距L=20 mm，其余參數(shù)保持與表1 一致，計(jì)算得到該雙列軸承的載荷分布如圖4 所示，可以認(rèn)為，復(fù)合載荷對(duì)雙列軸承的載荷分布影響與對(duì)單列軸承的影響規(guī)律基本一致。此算例中的雙列軸承參數(shù)曲線與單列軸承相比只有z 刻度上的差異，且單列軸承相當(dāng)于列距L=0 的雙列軸承。但是由于雙列軸承列距非零，其滾珠載荷相對(duì)原點(diǎn)的力臂會(huì)增大，因此雙列軸承在承擔(dān)傾覆力矩后會(huì)與單列軸承的載荷分布產(chǎn)生細(xì)微差別。需要著重注意的是，此算例中使用的雙列軸承每一列為兩點(diǎn)接觸，而單列軸承則是四點(diǎn)角接觸軸承；對(duì)于更為復(fù)雜的四點(diǎn)接觸雙列軸承或多列軸承，都可以采取增加參數(shù)曲線或修改曲線參數(shù)等措施進(jìn)行修正，而無(wú)需重新建立分析流程。

圖4 雙列軸承受載后載荷分布

3 結(jié)束語(yǔ)

1）本文通過四元數(shù)描述旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)建了軸承受載后的內(nèi)外圈變形和載荷分布的計(jì)算模型，分析流程簡(jiǎn)單而且標(biāo)準(zhǔn)化，可通過構(gòu)建不同的滾道圓弧圓心參數(shù)曲線方程來(lái)修改模型，以適應(yīng)不同的軸承類型。

2）軸承載荷模型考慮各類外載荷及其復(fù)合情形，可以求解軸承外部同時(shí)承受軸向力、徑向力和傾覆力矩的復(fù)雜外載荷情形，通過牛頓-拉夫遜方法求解出軸承內(nèi)部的滾珠載荷，構(gòu)建的模型無(wú)需關(guān)注于空間旋轉(zhuǎn)的復(fù)雜的三角函數(shù)關(guān)系。

3）針對(duì)單列四點(diǎn)接觸軸承和雙列兩點(diǎn)接觸軸承的各類外載荷做了數(shù)值計(jì)算分析，分析表明純軸向外載下的滾珠載荷分布是水平直線，徑向力和傾覆力矩會(huì)造成載荷不均勻分布，且傾覆力矩會(huì)使軸承兩側(cè)受力不等。相比于單列軸承，雙列軸承列距增加會(huì)引起軸承的載荷分布發(fā)生細(xì)微變化，但載荷分布基本趨勢(shì)不會(huì)發(fā)生變化。