彈道學在運載火箭總體設計中的實踐與展望

余夢倫，劉 銀，張志國

(北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引言

自從美國和蘇聯在20世紀50年代末開始發展運載火箭，并成功將人造地球衛星送入空間以來，相繼有歐盟、中國、日本和印度等國家和組織成功研制運載火箭并進行了發射任務。截至目前，全世界已經研制了幾百種不同類型的運載火箭，進行了萬余次發射任務，完成了各種各樣的空間應用和探測任務，并成功地將航天員送入太空，登上了月球，實現了人類幾千年來的飛天夢想。

自人類進入航天領域以來，以齊奧爾科夫斯基公式為理論基石的航天飛行力學得到蓬勃的發展。在航天飛行力學領域內研究運載火箭彈道設計的理論，又被稱為“運載火箭彈道學”。中國航天經歷了60多年的發展，從零起步，歷經艱辛，中國成為了航天大國，正在朝著建設航天強國的偉大目標穩步前進。隨著航天事業的發展，形成了較為完整的運載火箭彈道設計理論和方法，完成了我國以長征二號F、長征五號以及長征十一號等為代表的多型液體和固體運載火箭的研制、設計和發射任務[1]。近年來航天領域大規模、高可靠、高經濟進入太空的新特征凸顯，運載火箭走向智能化和重復使用的需求十分迫切，更要加強運載火箭彈道學研究，以適應我國航天事業的新形勢和21世紀運載火箭發展的新方向。

1 運載火箭彈道學的研究內容

1.1 運載火箭彈道專業工作

運載火箭彈道專業的主要工作是應用運載火箭彈道學，完成飛行方案設計。彈道設計在液體運載火箭的研制中，起著極其重要的作用[2]。彈道設計的目的是通過研究(作為剛體的)火箭的六自由度飛行運動規律，分析火箭彈道和基本技術性能與其結構、動力、控制等系統參數及發射點位置的關系，與總體設計各專業配合，完成火箭的優化設計與研制，通過研究大氣、引力場和高空風場等火箭飛行外界環境保證火箭圓滿完成其預定飛行任務。彈道設計承擔著確定和優化運載火箭核心總體參數、為各分系統開展研制工作提供輸入依據的任務，同時也一定程度地影響有效載荷、發射場、測控通信等重要系統的方案設計。彈道設計在研制流程中的作用如圖1所示。

圖1 彈道設計在研制流程中的作用

從上面的描述可以看出，在火箭總體設計中，彈道設計起著重要的作用。

彈道設計的理論基礎是運載火箭彈道學，主要解決以下問題：

1)建立火箭飛行的動力學方程并研究其解法；

2)研究火箭的飛行特性與設計參數的依從關系；

3)任務剖面的優化，即選擇最優飛行路線和關鍵動作時序。

火箭飛行的動力學方程是以變質量力學和經典力學定律為基礎，描述作用在火箭上的力和力矩與運動參數的關系。火箭動力學方程的求解(彈道計算)通常采用數值解法，重點研究和改進現有的計算方法以及誤差的積累和傳遞關系。火箭飛行特性與設計參數的依從關系是建立在火箭運動簡化理論基礎上的，所形成的飛行性能計算方法稱為飛行性能估算理論，估算理論是一種定量分析方法。任務剖面的優化則主要解決在多維非線性強約束條件下，如何實現最優性能的火箭推力矢量最佳變化規律和最優動作配合時序的問題[3]。

1.2 運載火箭彈道的設計與優化

綜上所述，彈道設計范疇涵蓋飛行力學和控制理論，結合數值分析和最優化方法，形成了一個模型分解的強非線性、多約束的最優化問題。下面通過簡單的運動方程推導對彈道設計的物理背景，即推力矢量的變化規律選擇進行說明。

將火箭飛行的運動方程簡化地表示為

(1)

式中，V為飛行速度，θ為彈道傾角，P為發動機推力，X為空氣阻力，g為重力加速度，m為火箭質量，α為攻角。

第一個方程為速度方程，推力P分解為

P=Pz-Sap

式中，Pz為真空推力，Sap為大氣壓力造成的損失，終點速度為

(2)

積分項依次代表火箭的特征速度、阻力損失、大氣壓力損失、重力損失、攻角損失。

一般運載火箭在發射衛星入軌任務時，如果推力程序不合理，則有可能出現較大的攻角α，此時攻角損失無法忽略。

第二個方程表示速度方向的變化率，從方程中可看出速度方程θ的變化取決于飛行攻角α和重力加速度，當給定彈道起始點和終點的彈道傾角θ0和θf時，應滿足關系式

(3)

顯然從式(3)可得到飛行中的攻角狀態與入軌條件和飛行中的重力轉彎項等有關，如表1所示。

表1 飛行中的攻角狀態和入軌條件的關系

所以為了減少飛行中的攻角損失，其必要條件是

(4)

1.3 彈道優化與工程應用

彈道優化理論起源于對探空火箭最大上升高度的研究，其解決方法一般可分為間接法和直接法。常用的間接優化法有古典變分法和極大值原理。直接優化法是應用迭代過程尋求其序列解，而其中每個解都趨向于最優解。一般說，間接優化法適合于求近似最優解；直接優化法適合于求解精確最優解。但后者的計算量較大，有時可采用二者結合的辦法[4]。

則φcx(t)由節點值φcxi決定，這時俯仰角程序優化問題也可轉化為n+1個參數的優化問題。

通常，對函數優化問題采用間接優化法，對參數優化問題采用直接優化法。但當采用間接優化法時，有些問題最終歸結為一個兩點邊值問題，兩點邊值問題又可以看作一個參數求解問題，這樣就有可能轉化為用直接優化法求解。

下面我們以俯仰角和推力程序的優化求解和工程應用為例，說明彈道設計對于運載火箭總體方案的關鍵作用。

1.3.1 最優俯仰角和推力程序的求解

曲面坐標形式的火箭質心運動方程為

(5)

式中，u為水平速度，v為垂直速度，l為沿地球表面的航程，h為高度，φ為俯仰角，r為地心到火箭質心的距離，g為重力加速度，R為地球半徑，Isp為發動機比沖，P為發動機推力。

上述運動方程是在真空條件下獲得的。俯仰角φ和發動機推力P是未知的控制函數，u，v，l，h，m為狀態變量。對最大終點速度問題可等價于尋求φ(t)和P(t)，使進入預定軌道的運載能力最大。

這樣目標函數為

J=m(tf)

(6)

根據極大值原理，上述問題的哈密頓函數為

(7)

式中,λ1,λ2,λ3,λ4,λ5為輔助變量，滿足共軛方程

(8)

則有

(9)

方程(5)和(9)是描述極值解P*(t)和φ*(t)的正則方程。

方程組(9)的邊界條件為：

起始點

t=t0,u=u0,v=v0,l=l0,h=h0,m=m0

(10)

終點

(11)

對于方程組(9)，根據tf自由，可導出下列終點條件

(12)

式中，κ1，κ2為待定系數，fM為引力常數與地球質量的乘積。

對終點條件式(11)和(12)整理后可得，方程組(5)和(9)的聯合終點條件為

(13)

其中,

當限定近地點入軌時，方程組(5)的終點條件為

(14)

則方程組(5)和(9)的聯合終點條件為

(15)

根據極大值原理，最優解P*(t)和φ*(t)滿足方程組(5)和(9)，同時哈密頓函數H作為P和φ的函數在P*和φ*達到最大值。即

H(P*,φ*)=maxH(P,φ)
P*∈Up;φ*∈Uφ

式中，Up和Uφ分別為P和φ的約束區域。

哈密頓函數H可寫為

當P的約束域為Pmin≤P≤Pmax時，則最優解

(16)

最優解的狀態由K決定，稱K為開關函數。

由此導出最優推力程序是開關函數，它或以最小推力工作，或以最大推力工作。

當φ無約束時，應滿足

即

則最優解為

(17)

對于最優解φ*，計算經驗表明當φ=A+Bt或φ=tan-1(A+Bt)其效果接近于最優解φ*。所以在工程設計中，一般放棄解正則方程求φ*，而直接采用φ=A+Bt或φ=tan-1(A+Bt)形式，這樣使求解過程大大簡化。

1.3.2 最優推力弧的次序選擇

為了研究最優推力弧的次序，采用下列更進一步簡化的運動方程。在假設平面常值重力場時，運動方程為

(18)

哈密頓函數

輔助函數λ1…λ5滿足

(19)

則λ1…λ5可寫為

(20)

式中，λ10，λ20，λ30，λ40，λ50均為積分常數。

開關函數

(21)

因為哈密頓函數H不顯含時間t，則H≡0，由此可以將開關函數K寫為

令I=λ2g-λ4v，對t微分，有

(22)

Pmax→Pmin→Pmax

或

Pmin→Pmax→Pmin

當推力極值弧為兩段時，最優推力程序的形式為

Pmax→Pmin

或

Pmin→Pmax

當t=t0時，開關函數K=K0

按目標函數的性質，則有

(23)

根據推力極值弧最多是由三段組成，一般形式如圖2所示。

圖2 推力極值弧示意圖

tp1,tp2滿足下列約束條件

或

據此，最優問題即為在給定終點質量mf條件下，選取tp1,tp2使終點速度Vf為最大。

此時tf滿足下列關系式

或

(24)

終點條件為：

1)近地點入軌

2)任意點入軌

其中λg的表達式同前。

所以求解最優推力程序的問題，可化為4個參數tp1,tp2,A,B的函數極值問題(當推力極值弧由兩段組成時，則為3個參數tp1,A,B的函數極值問題)，具體計算過程可安排為：

2)固定mf，對tp1和tp2進行優選,使v(tf)最大；

1.3.3 工程應用案例

(1)長征二號丙火箭小推力彈道方案

長征二號丙是兩級運載火箭，其第二級的發動機由不擺動的主發動機和可以擺動的游動發動機組成，發動機不具備兩次啟動能力。

在推力程序最優理論研究推動下，利用二級主機和游機推力的組合實現長征二號丙推力程序的優化，提高了運載能力，也提升了長征二號丙運載火箭對發射不同軌道高度衛星的適應性。

(2)長征八號淺箱啟動彈道方案

長征八號是兩級半運載火箭，其第二級的發動機為具備兩次啟動能力的YF-75氫氧發動機。則此時二級發動機的最優推力程序變為由三段極值弧組成，即

Pmax→Pmin→Pmax

此時Pmin=0。

以長征八號火箭發射700 km SSO軌道衛星為例，參見圖3。長征八號火箭在助推和一級發動機工作結束后，繼續由二級發動機工作加速，持續抬高遠地點進入預定亞軌道后關機，經過滑行段滑行爬高至亞軌道的遠地點附近后，再通過發動機二次啟動加速抬高近地點的方式圓化軌道，最終進入指定高度的圓軌道。在理想條件下，火箭二級二次完成加速關機時刻，恰好將亞軌道抬升為700 km圓軌道。

圖3 長征八號火箭發射SSO彈道示意圖

通過對Pmax→Pmin→Pmax過程中的發動機工作時間、滑行時間以及俯仰程序角進行優化設計，最終實現了運載能力的提升，這也是長征八號火箭淺箱啟動技術的動力學理論基礎。

2 我國運載火箭彈道學的發展歷史

我國運載火箭彈道學的發展與我國航天事業的發展緊密相連，大體經歷了3個階段[5]。

第一階段從20世紀50年代末期開始到60年代初期，是學習仿制階段。根據當時蘇聯提供的蘇式V2型火箭少量的彈道計算資料和國外航天圖書資料，開始培養自已的運載火箭彈道科研隊伍，開始進行近程火箭和遠程火箭的研制設計，相應開展了彈道設計理論研究，解決了中遠程火箭的彈道數學模型和計算方法、程序角設計方法、偏差攝動理論等問題。

當時用于彈道設計的計算工具十分落后，雖然電子計算機已經發明，但國內剛處于起步階段，在航天系統內彈道計算主要靠手搖計算機，計算一條彈道，從起飛開始積分計算到關機點，6名計算員需要兩個月左右時間，所以在當時彈道設計是一項工作量巨大的任務。這也限制了數值方法的應用，彈道設計更側重于近似的分析解和經驗方法。

第二階段從1964年開始到20世紀70年代中期，我國航天事業進入獨立設計階段(以“八年四彈”為標志)。我國第一顆人造地球衛星和洲際遠程火箭以及返回式衛星的發射成功是我國運載火箭彈道設計發展的重要標志。在這一階段彈道設計人員重點解決了多級火箭的彈道設計、固體上面級的彈道設計、彈道精確建模、彈道優化方法等方面問題，運載火箭彈道設計工作開始走向成熟。

第三階段從20世紀70年代中期到現在。運載火箭彈道設計進入地球同步轉移軌道，以及探月、探火等深空探測任務的設計領域。跟隨我國新一代運載火箭的發展腳步，彈道專業設計隊伍也得到了充分的鍛煉和實踐，能夠獨立完成近地、深空等多種發射彈道設計任務，解決了深空軌道、交會對接、高空風修正、定向調姿、末級離軌等技術問題，運載火箭彈道設計技術更趨成熟。

3 我國運載火箭彈道學的特點

從我國運載火箭的發展歷史來看，運載火箭彈道學有如下幾個特點[5]。

3.1 彈道設計的先導性

彈道設計中的核心工作是飛行方案設計。飛行方案規定了運載火箭的基本飛行參數、飛行軌跡、飛行時序、飛行程序角、推力程序等，飛行方案是火箭總體核心設計之一，是各專業和分系統開展研制工作的基礎，因此飛行方案設計的好壞會直接影響運載火箭的性能和技術水平以及投資大小。由于它在航天工程中的特殊地位，有人稱彈道設計是火箭總體中的總體也是有一定道理的。

3.2 理論與實踐結合

運載火箭彈道學的主要任務是完成有關彈道設計和解決在工程研制過程中提出的一切有關彈道的問題。因此作為彈道專業設計人員，除了熟悉和研究彈道學中帶有普遍意義的理論問題外，還必須根據型號具體情況和中國的國情進行特殊問題的研究。

3.3 學科的交叉性

從運載火箭工程角度來看，運載火箭彈道學研究的范疇與工程研制中彈道專業所承擔的任務有關，通常彈道專業要對運載火箭的飛行性能負責，具體包括運載能力、入軌精度、飛行彈道3個主要方面。這就決定了運載火箭彈道學具有多學科交叉的特性。以運載能力為例，運載能力與彈道優化、總體參數選擇、發射場選擇、衛星軌道操作模式等方面有關，同時又與火箭參數偏差、制導特性、推進劑特性等有關，它涉及空氣動力學、結構力學、推進技術、控制技術、計算技術等。運載火箭彈道學的多學科性要求彈道專業設計人員要用系統工程的觀點進行彈道設計，同時運載火箭工程也是航天工程大系統中的一個分系統，在進行大系統設計時，各分系統之間是密切相關的，其中飛行彈道性能直接影響各分系統的設計和運行，并貫穿系統設計的全過程。因此，沒有相互了解和融合是不可能完成高質量彈道設計任務的。

4 運載火箭彈道學的未來展望

發展中國航天是我國國民經濟發展的需要，也是衡量一個國家綜合國力的重要標志。進入新世紀以來，我們國家的航天事業飛速發展。迄今為止，長征五號、長征七號和長征八號等新一代運載火箭陸續首飛，重型火箭、新一代載人火箭和重復使用運載火箭正在開展工程研制，說明中國航天已經成為國家和社會的關注焦點。中國航天的快速發展給運載火箭彈道學的發展帶來了機遇，也帶來了挑戰。

新一代載人火箭的可靠性和安全性要求高，重復使用運載火箭飛行剖面復雜，以及航天運輸系統航班化發展，要求火箭彈道方案在設計之初就考慮高可靠性、高適應性和高經濟性，面對火箭典型故障時具備在線重新規劃的能力，面對子級重復使用的再入復雜剖面具有較強的可靠性設計能力。此外，隨著人工智能技術的飛速發展，將智能算法應用于運載火箭彈道設計中也逐漸成為可能。

4.1 面向故障的彈道設計理論研究

在對近年來火箭飛行失利案例的分析和反思中發現，當前基于偏差包絡設計的總體方案對典型故障適應能力有限，對比國際航天強國先進水平，要從根本上提升火箭可靠性，亟須轉變設計理念，使火箭具備故障條件下的任務隔離和重構能力，實現智能飛行。故障診斷是實現智能飛行的先決條件，任務重規劃策略則是智能飛行的基礎。

未來的運載火箭應能對出現的故障進行綜合識別，并自主規劃控制策略。只有運載火箭能夠根據故障確定最優的飛行策略(而不是飛行參數)時，才可以說具備了“智能”的特征。讓火箭學會選取策略，也可以根據先驗知識把策略提前“裝定”給火箭，由火箭根據條件進行選擇，這就是“基于離線彈道庫的彈道重構諸元設計方法”。這種思路實現相對簡單，在近期內有一定的應用研究價值[6]；未來更智慧的火箭應具備依據知識在線進行自主策略選擇的能力，要使火箭具備這樣的能力難度較大，需要有理論和應用上的雙重突破。

4.2 復雜飛行剖面的TGNC一體化設計

在重復使用火箭的研制工作中發現，子級的返回再入過程中氣動、彈道、制導與姿控(TGNC)呈現高度非線性強耦合的特性，涉及多種執行機構的切換控制與復合控制，常規的各專業解耦設計與仿真將不再有效，需要開展氣動、彈道、制導與姿控耦合仿真分析與設計，優化再入控制交班參數與過載、熱流及動壓過程參數，以及著陸精度與燃料利用效率間的取舍問題。

開展復雜飛行剖面的TGNC一體化設計，這對新運載火箭的研制十分重要，基于學科的交叉性，要設計出性能優良、方案合理的運載火箭，彈道設計必須和運載火箭總體、控制系統總體乃至航天發射系統形成一體化的設計過程，并研究其設計方法。

4.3 彈道設計與仿真軟件的開發與研制

彈道設計是連接任務構想與工程實現的橋梁，而彈道設計與仿真軟件，則是搭建橋梁的基石。計算機軟件技術的發展是推進科學技術(包括航天技術)發展的巨大技術動力。近年來，隨著我國載人航天、探月工程、北斗導航等重大航天工程的推進，目前已基本掌握各類飛行器彈、軌道設計仿真，控制系統建模與設計的基本理論和方法，并且通過自主創新形成了覆蓋各類飛行任務的彈、軌道設計仿真的專用軟件，支撐了國家航天重大工程的順利完成。

但這些彈道軟件的型號屬性過重，專用性太強，不利于技術的固化，限制了技術的快速拓展和便捷應用，無形中提高了彈道設計人員的技術準入門檻，增加了很多額外的工作量。當前國家工業化和信息化正在深度融合，航天彈、軌道設計自主工業軟件的研制迎來了發展機遇期。通過我國“天際”通用飛行器彈、軌道設計仿真軟件的研制，將形成一套通用飛行器彈、軌道設計仿真軟件產品，具備運載火箭、航天器、大氣層內機動彈道設計與仿真、飛行器控制系統建模與設計能力。通過持續建設將有效推動總體設計技術標準化和自主化發展，有力促進航天領域關鍵技術的進步和積累，提高航天任務分析與設計的水平和效率，推動航天技術的標準化、商業化和自主化發展。

5 結束語

航天技術的發展是沒有止境的，正如航天先驅者齊奧爾科夫斯基所說，最先出現的總是思想，接著是嚴密的研究和探索，最后這些思想得以實現。目前航天技術領域的新思想、新概念不斷涌現，近幾十年來與飛行力學相關的學科也有了飛速的發展，如現代控制理論、最優化理論、分布式仿真技術、在線參數辨識等。我們目前的彈道研究工作還是很不夠的，必須要有開放的態度和發展的眼光開展相應的研究和設計工作，不斷提高運載火箭彈道學的水平，不斷提升現有的工作能力，使我們彈道設計人員能夠適應、支撐和引領中國航天運載火箭總體設計的未來發展。