在數(shù)學(xué)活動(dòng)中落實(shí)核心素養(yǎng)
——《一張A4紙中的數(shù)學(xué)》教學(xué)

文|徐世鳳

人教版五年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方體和正方體”單元整理和復(fù)習(xí)是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體的特征、表面積、體積等基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，本節(jié)課緊緊圍繞一張A4 紙展開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在一張A4 紙中揭秘?cái)?shù)學(xué)。筆者著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)和培育，結(jié)合“一張A4 紙中的數(shù)學(xué)”教學(xué)實(shí)踐與思考，尋找數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的孕育點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)，闡述培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)策略，通過(guò)折紙活動(dòng)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、辨析大小關(guān)系、探尋體積變化規(guī)律，逐步培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育緊密融合在一起，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的深度融合中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地生根。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)片斷一：一張A4 紙中有數(shù)學(xué)嗎？

課件播放：僅用A4 紙創(chuàng)造出的手工藝術(shù)品。

學(xué)生看完后，不禁發(fā)出感嘆：“一張紙竟然有如此之大的魔力！”

師：（出示一張A4 紙）想一想，一張A4 紙中有數(shù)學(xué)嗎？你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生：這張長(zhǎng)方形A4 紙的長(zhǎng)是多少？寬是多少？

生：這張長(zhǎng)方形A4 紙的周長(zhǎng)和面積分別是多少？

生：這張A4 紙有多厚？

生：這張A4 紙有多重？

生：用這張A4 紙折出一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和、表面積和體積分別是多少？

……

師：同學(xué)們提出來(lái)的問(wèn)題都很有研究?jī)r(jià)值！想一想，要解決一張A4 紙有多重這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要什么數(shù)學(xué)信息？

生：需要知道一包A4 紙有多重，還需要知道一包A4 紙共有幾張。

師：（出示一包A4 紙的外包裝圖）如果只有這些A4 紙的外包裝信息，你能求出一張A4 紙有多重嗎？

生1：根據(jù)“70g/m2”這個(gè)條件，可以知道每平方米的紙重70g。

生2：我們還需要知道一張A4 紙大概有多少平方米。

生3：根據(jù)“210mm×297mm”這個(gè)條件，可以算出一張A4 紙的面積=0.21×0.297=0.06237（m2）。

生4：小數(shù)位數(shù)太多了，不好算出結(jié)果。

師：為了研究方便，本節(jié)課將A4 紙的長(zhǎng)和寬都估成整厘米，分別是30cm 和21cm，轉(zhuǎn)化單位后算出面積，再乘70g/m2，算出一張A4紙的質(zhì)量0.21×0.3×70=4.41（g）。

【思考：通過(guò)“一問(wèn)”數(shù)學(xué)提問(wèn)，激活學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要”。上述片斷學(xué)生在欣賞完精美的手工藝術(shù)品后，個(gè)個(gè)躍躍欲試，此時(shí)教師趁熱打鐵，追問(wèn)學(xué)生在一張A4 紙中是否也能找到并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)一下被激活，他們嘗試用數(shù)學(xué)的眼光去觀察這張生活中常見(jiàn)的A4 紙。從學(xué)生提出一連串有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題中可以看出，他們已經(jīng)具備較好的數(shù)學(xué)眼光，這得益于教師創(chuàng)設(shè)的有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)需要教師根據(jù)實(shí)際教學(xué)內(nèi)容有意識(shí)地培養(yǎng)，教學(xué)中教師應(yīng)為學(xué)生提供發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的素材和時(shí)空，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光在眾多繁雜的圖文信息中尋找關(guān)鍵信息，并遷移舊知幫助理解，激活學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的良好習(xí)慣。】

教學(xué)片斷二：做一個(gè)無(wú)底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體

活動(dòng)任務(wù)：用一張A4 紙做一個(gè)無(wú)底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。

活動(dòng)要求：充分利用這張A4紙，不浪費(fèi)，比比誰(shuí)的方法多。

生1：沿著長(zhǎng)連續(xù)對(duì)折兩次，將這張A4 紙平均分成四份，再?lài)梢粋€(gè)無(wú)底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。

生2：沿著寬連續(xù)對(duì)折兩次，將這張A4 紙平均分成四份，再?lài)梢粋€(gè)無(wú)底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。

師：你還能想到其他折法嗎？

生3：沿著長(zhǎng)折，但沒(méi)有把A4紙平均分，圍成一個(gè)無(wú)底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。

生4：沿著寬折，但沒(méi)有把A4紙平均分，圍成一個(gè)無(wú)底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。

教師同時(shí)呈現(xiàn)以上四種長(zhǎng)方體（如下圖），引發(fā)學(xué)生小組交流討論：這四個(gè)長(zhǎng)方體的體積，哪個(gè)最大？找出體積最大的長(zhǎng)方體并說(shuō)明理由。

小組1：我們小組經(jīng)過(guò)認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)①③兩個(gè)長(zhǎng)方體都是將A4 紙平均分成四份，這兩個(gè)長(zhǎng)方體的底面都是正方形，分別用30÷4 和21÷4 就能求出它們底面的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出兩個(gè)長(zhǎng)方體的體積，因此①③兩個(gè)長(zhǎng)方體的體積大小通過(guò)運(yùn)算比較得出：①＞③。

小組2：①②兩個(gè)長(zhǎng)方體都是沿著同一個(gè)方向折，高相等，底面積不同，但底面周長(zhǎng)是相同的，根據(jù)“周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬相差越小，面積越大”，得到①號(hào)長(zhǎng)方體的底面積大于②號(hào)長(zhǎng)方體的底面積，因此，①②兩個(gè)長(zhǎng)方體的體積通過(guò)推理比較得出：①＞②。

小組3：按照第2 小組的方法，我們發(fā)現(xiàn)③④兩個(gè)長(zhǎng)方體也都是沿著同一個(gè)方向折，高相等，底面積不同，但底面周長(zhǎng)是相同的，根據(jù)“周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬相差越小，面積越大”，得到③號(hào)長(zhǎng)方體的底面積大于④號(hào)長(zhǎng)方體的底面積，因此，這兩個(gè)長(zhǎng)方體的體積大小關(guān)系是③＞④。

小組4：因?yàn)棰伲劲郏伲劲冢郏劲埽缘贸觫偬?hào)長(zhǎng)方體的體積最大。

【思考：通過(guò)“二折”數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生辨析長(zhǎng)方體的體積大小關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式。”數(shù)學(xué)教學(xué)其實(shí)是思維活動(dòng)的教學(xué)，教學(xué)中教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)富有深度的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、辨析、推理，形成有條理、有邏輯的思維品質(zhì)，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行思考的理性精神。上述教學(xué)片斷中，教師呈現(xiàn)四個(gè)已知高的長(zhǎng)方體，啟發(fā)學(xué)生辨析這四個(gè)長(zhǎng)方體體積之間的大小關(guān)系，很好地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考。在有限的已知信息中，學(xué)生不斷用數(shù)學(xué)思維去拓展無(wú)限的思辨空間，經(jīng)歷一次運(yùn)算、三次推理，最終辨析出四個(gè)長(zhǎng)方體的體積大小關(guān)系，親歷折紙操作、思維辨析的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去思考現(xiàn)實(shí)世界。】

教學(xué)片斷三：做一個(gè)有底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體

活動(dòng)任務(wù)：用一張A4 紙做一個(gè)有底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。

活動(dòng)提示：這張A4 紙可以剪掉一部分，也可以都不剪。

（學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視并隨機(jī)展示學(xué)生的作品）

師：這樣的長(zhǎng)方體的高可以是多少厘米？（以整厘米為單位）

生：長(zhǎng)方體的高可以是1cm、2cm……10cm。

師：它的高可能是11cm 嗎？

生：長(zhǎng)方體的高不可能是11cm，因?yàn)槿绻L(zhǎng)方體的高是11cm，2×11＝22（cm），那么A4 紙的寬應(yīng)該要大于22cm，而A4 紙的寬只有21cm，顯然不夠。

師：當(dāng)長(zhǎng)方體的高分別為1cm、2cm……10cm 時(shí)，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、表面積和體積分別是多少呢？

（學(xué)生分組計(jì)算后匯報(bào)，課件列表呈現(xiàn)學(xué)生計(jì)算得到的結(jié)果）

師：仔細(xì)觀察表格中各個(gè)量的變化規(guī)律并嘗試解釋其中的道理。

生：我們小組通過(guò)觀察表格的長(zhǎng)、寬、高以及表面積，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的表面積隨著高的增加而減少。

生：我們小組通過(guò)觀察表格的長(zhǎng)、寬、高以及體積，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體積隨著高的增加，呈現(xiàn)出先增加后減少的變化規(guī)律。

師：真善于觀察！這些變化規(guī)律背后的道理是什么呢？

生：從長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖中可以看出，一條長(zhǎng)與兩條高合起來(lái)是30cm，一條寬與兩條高合起來(lái)是21cm，和不變，高增加，長(zhǎng)和寬就相應(yīng)減少，長(zhǎng)方體的表面積就是剩余A4 紙的面積，高越長(zhǎng)，四個(gè)角剪下來(lái)的正方形越大，剩余A4 紙的面積就越小，所以長(zhǎng)方體的表面積隨著高的增加而減少。

生：長(zhǎng)方體的體積是由長(zhǎng)、寬、高三個(gè)因素共同決定的。剛開(kāi)始高的長(zhǎng)度逐漸增加，長(zhǎng)和寬逐漸減少，長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度越來(lái)越接近，三者的乘積就越來(lái)越大，即長(zhǎng)方體的體積隨著高的增加而增加。當(dāng)高增加到一定程度并繼續(xù)增加時(shí)，長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度開(kāi)始減少，此時(shí)長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度差距越來(lái)越大，三者的乘積就越來(lái)越小，即長(zhǎng)方體的體積隨著高的增加而減少。

師：咱們借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示，直觀驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律。

【思考：通過(guò)“三折”數(shù)學(xué)活動(dòng)，探尋長(zhǎng)方體大小變化規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)文化的外在表現(xiàn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最好的切入點(diǎn)便是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果很大程度上取決于學(xué)生運(yùn)用和表達(dá)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的結(jié)果。對(duì)比活動(dòng)二和活動(dòng)三的操作要求，活動(dòng)二直接折就能做出相應(yīng)的長(zhǎng)方體，而活動(dòng)三的操作要求更高，不但要會(huì)折，而且在四個(gè)角上還需按相同的比例剪、拼，才能做出一個(gè)有底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體。其實(shí)這種有關(guān)有底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體展開(kāi)圖問(wèn)題在作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)，但學(xué)生完成的情況卻不大理想，原因在于學(xué)生缺乏動(dòng)手操作，缺乏深度交流。通過(guò)設(shè)計(jì)這樣的活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷做中學(xué)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)其中的變化規(guī)律，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。教學(xué)中教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)探尋變化規(guī)律的問(wèn)題情境，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述自己的發(fā)現(xiàn)并解釋變化規(guī)律背后的道理。值得一提的是，長(zhǎng)方體體積的變化規(guī)律比較復(fù)雜，學(xué)生僅憑想象是很難用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)清道明的，為此教師借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示，直觀驗(yàn)證變化規(guī)律，助力學(xué)生更好地表達(dá)發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流的習(xí)慣。】