借助“猜想、驗證”建立模型
——以《鴿巢問題》為例

文|俞田剛

一、問題與探討

《鴿巢問題》是六年級下冊數學廣角的內容，教材中編排了三個例題，旨在通過具體的實例，借助實際操作向學生滲透鴿巢問題的一般原理，讓學生理解鴿巢問題的特點，建立鴿巢問題的一般模型，并運用模型解決實際問題。教材編排的三個例題有著各自不同的作用。

在教學過程中，我發現《鴿巢問題》有這些特點：

1.數字不大，內容難。

2.語言不多，說理難。

3.變式較多，建模難。

“抽屜原理”之所以難，一是難在模型的建立上，學生不能靈活、準確地使用特定的術語（“總有”“至少”）來表述結論。二是難在它的具體應用，如何找到一些實際問題與“抽屜原理”模型之間的聯系，如何來思考一些變式的情況，有時學生會感到無從下手，也就是“物品”和“抽屜”不明顯，如13 個人當中至少有2 個人在同一個月過生日。

利用問題提出的方式進行教學可以突破難點，讓學生自己在初步感知模型的情況下，進行大膽猜測所要研究的類型并通過自主編題來驗證結果，學生在自己的感悟、猜想、驗證和自我肯定、否定中，自主建立模型，并進行運用模型。

這次我們嘗試在五年級下冊上《鴿巢問題》，所以我把教學目標定位為：

經歷“抽屜原理”（鴿巢問題）的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會運用“抽屜原理”解決一些簡單的實際問題。

通過“抽屜原理”的學習，增強對邏輯推理、模型思想的體驗，提高學生學習數學的興趣和應用意識。

讓學生體驗猜想與編題驗證的過程，對“抽屜原理”有更深入的理解，提高數學核心素養。

根據目標要求，設計的教學流程如下：

獨立探究，初步感悟

↓

猜想驗證，編題驗證

↓

初次建模，提出問題

↓

再次建模，運用模型

在第一環節學生通過獨立探究“4 支筆放進3 個抽屜，總有一個抽屜里至少有（ ）支筆”，初次感知模型后，讓學生根據得到的模型創編能用學到的本領解決的問題。然后繼續猜想還有其他類型的鴿巢問題，對學生的思維具有極大的挑戰與思考，從一開始的“a+2”、“2a”，一直到“na+m”，學生的思維層次大大得到了提高。第三環節中學生從自己的猜想中選擇一個類型自主編題，驗證自己猜想的結果是否成立。最后根據學生的猜想進行分類，全班同學根據自己編題的類型，自主成立研究小組，探究鴿巢問題的本質。學生從初步感悟——形成猜想——個人編題驗證——小組綜合驗證的過程，對鴿巢問題進行深入獨立的研究，最終自己得到數學本質。

二、實踐與思考

任務一：獨立探究，初次建模

1.出示研究題目：把4 支筆放進3 個抽屜，總有一個抽屜里至少有（ ）支筆。

師：“總有”“至少”怎么理解？

生：“總有”就是一定有、肯定有，“至少”就是最少。

師：4 支筆放進3 個抽屜，總有一個抽屜里至少有幾支筆呢？請獨立探究。要求：先寫出結論，再用不同的方法表示自己的想法。

我的研究：

4 支筆放進3 個抽屜，總有一個抽屜里至少有幾只筆？要求：先寫出結論，再用不同的方法表示自己的想法。images/BZ_72_244_2013_802_2099.png我的結論：總有一個抽屜里至少有（2）支筆。images/BZ_72_235_2182_555_2301.pngimages/BZ_72_567_2196_810_2277.png

【設計意圖：一個簡單的情境直接切入主題，在理解了兩個關鍵詞語后，讓學生自己通過不同的方法表示出自己的想法，就是想讓每個學生從自己的知識起點和能力起點出發，表達出自己的真實想法，以便教師能更好地進行引導和因材施教。不同層次的學生在反饋的過程中，會出現一一列舉、盡量平均分、除法算式等等思路，并能圖式結合進行理解，從不同的知識和能力起點，在互相的碰撞中，形成對“鴿巢問題”的初次感悟和理解?！?/p>

2.用自己喜歡的方式解決問題。（四人小組內學生隨機發放不同的練習題）

10 個蘋果放進9 個抽屜，總有一個抽屜里至少有（ ）個蘋果。

6 只鴿子飛進5 個鴿籠，總有一個籠子里至少有（ ）只鴿子。

8 本書放進7 個抽屜，總有一個抽屜里至少有（ ）本書。

師：請抽取到每一類型題目的同學說說思路。

（教師根據學生回答，整理板書上的表格）

師：剛才我們研究的事情有什么規律嗎？

生：蘋果、鴿子、筆、書的數量都比抽屜、鴿籠要多1。

生：結果都是“總有一個抽屜里至少有2”。

師：我們把蘋果、鴿子等這些數量叫做物體數，抽屜、鴿籠的數量叫做抽屜數。我們在研究過程中發現物體數都比抽屜數多1，而這樣放了以后，我們總有一個抽屜里至少有2 個數量。這一類問題就是我們數學上很有名的鴿巢問題，也叫抽屜原理。

師：我們能不能用學過的方式來表達這種關系？

生：如果把抽屜數表示成a，那么物體數就是a+1，至少數就是2。

【設計意圖：通過幾個不同具體情境的探究，學生找到這些看似不一樣的題目，其本質是一樣的，從而自主發現：把a+1 個物體放進a 個抽屜里，至少數都是2。初次得到鴿巢問題的模型?！?/p>

3.提出可以用這個規律解決的問題

師：剛才我們找到了鴿巢問題的一個規律，你能提出用這個規律解決的問題嗎？

生：老師有5 顆糖，獎給4 個同學，總有一個同學至少有（ ）顆糖。

生：100 只鴿子，飛進99 個鴿籠，總有一個鴿籠里至少有（ ）只鴿子。

【設計意圖：初步感知模型后，讓學生自己再提出這類問題，進一步理解模型的本質，學生在學習中理解，在理解中應用?！?/p>

任務二：猜想驗證，再次建模

1.根據經驗，猜想鴿巢問題的其他類型

師：同學們，鴿巢問題除了剛才研究的這一類型，還會研究其他類型嗎？

生：a+2。

師：非常好，新的猜想。還會有其他的嗎？

生：a+3。

師：物體數會比抽屜數多幾？可以用字母來表示嗎？

生：a+n。

師：對這個n 有什么要求？

生：n＜a。

生：倍數關系，比如2a、3a……

師：又有新的猜想，從多幾想到了倍數，非常了不起。還會有其他類型嗎？

生：我覺得還可以是幾倍多幾，比如2a+1。

師：幾倍多幾可以怎么來表達？

【設計意圖：通過對前面簡單鴿巢問題的研究，初次建模。然后引導學生大膽猜想鴿巢問題的其他類型，學生一邊猜想，一邊還能歸納出字母式，并在討論中得到取值范圍?！?/p>

任務三：編題驗證，運用模型

1.個人驗證

師：選擇剛才猜想的一種類型，編題驗證結果。

2.分組驗證

師：請尋找“志同道合”的小伙伴——選擇相同類型的同學一起討論研究。

師：我們先看看可以分成幾種類型？

生：第一類a+n，第二類ma，第三類ma+n。

師：每組領取研究任務、確定好場地、推選出組長。

3.分組匯報結果

師：小組討論很認真，請匯報你們的討論結果。

第一組：我們研究的是a+n的情況，我們發現只要a 大于n，不管物體數和抽屜數取多少，至少數都是2。

師：請問你們的表格中，為什么一開始寫著3，后來修改成了2？

生：第一個匯報的同學選了物體數是8，抽屜數是6，余數是2。他一開始覺得是2+1=3。

師：那后來怎么改了呢？

生：余數2，為了做到至少，也要平均分。

師：其他同學怎么看？有沒有同學能解釋得更具體一些？

生：余數是2，如果都放在同一個抽屜里，得到的結果就不是最少的數量，必須把多余的物體也平均分，這樣得到的結果才是至少數。

第二組：我們研究的是物體數是抽屜數倍數關系的情況。我們小組發現，不管怎么放，只要是倍數關系，放進抽屜的至少數都是那個倍數。比如2 倍，至少數就是2，5 倍至少數就是5。

師：你們的研究很深入，匯報簡單易懂，同學們的掌聲是對你們最好的肯定。

第三組：我們組研究的情況是ma+n 的情況。我們匯合了整個組同學的想法后，得到的結論是：不管物體數是抽屜數的幾倍多幾，只要a 大于n，至少數都是m+1。

生：（補充）因為前面的ma，相當于就是第二組研究的倍數情況，多幾，就是第一組研究的情況，所以綜合前兩個組的意見，我們組就是他們兩組的結合。

（全班同學和聽課教師給予了熱烈的掌聲）

師：同學們的學習能力真是太強大了。在個人獨立編題驗證過程中，已經有了初步的驗證結果；在小組討論后，更加確定；并且群策群力后得到了更明確的結論，具有一定的高度，老師為你們這樣的學習精神點贊。

【設計意圖：因為是學生自己提出的猜想，所以讓他們自己來驗證結果，學生很有興趣，在編題的過程中，學生都試圖從前面的題型中去尋找情境，然后自主選擇好研究類型進行編題。對學生們來說，這是一種自我提問。在個人獨立驗證，有了初步的結論后，尋找“志同道合”的小伙伴，就是研究同一類型的同學，一起驗證。這個時候，同學們都覺得是同一陣線的戰友，有共同話題，思維方式也很接近，討論很快就進入角色，不僅驗證了小組內每個同學的結果，最終還都討論出了一般模型，真不簡單。】

三、收獲與啟示

本節課以問題提出為主線開展教學，試圖通過“猜想、驗證”的方式來建立模型，并且通過個人自主驗證和同類型題目合并新小組來共同驗證的過程，解決不同層次學生問題提出的有效互動。主要體現以下幾個層面：

1.猜想是思維的出發點

如果說從“a+1”到“問題提出”是學生激活經驗、建立聯系的過程，是讓學生進行獨特的思維活動的話，那么“猜想”則孕育著數學思維與推理，從獨立探究有了初步的感知以后，讓學生根據大量的同類型題目進行充分感知，然后得出規律，并提出用這個規律解決問題的題目，學生在自我提問的過程中，再自我解答驗證，第一次建模就順理成章了。

而根據已有的經驗“猜想”鴿巢問題可能還有的規律，學生從最基礎的“a+2”開始，逐漸地放開思維，如“a+3”“a+4”等等，在這個過程中，教師不停地追問：“物體數比抽屜數多幾？最多可以多幾個？”學生慢慢從隨意的猜測中思考，“a+n”中a 和n 的大小，必須是a 比n 大。教師繼續追問：“如果一樣大呢？”學生異口同聲得出“物體數是抽屜數倍數的可能，2a”。突破了倍數的概念后，很多學生的思路被打開，他們不滿足于多幾和幾倍，開始大膽猜想幾倍多幾的可能，并且很自然地用字母式表示自己的想法。在這個過程中學生的思路是開放的，也是活躍的，一直在挑戰，一直被超越，一直在迸發火花。

2.驗證是思維的保障機

在經歷了充滿挑戰的猜想后，學生的學習熱情被點燃，因為這些猜想都是他們自己發現的，自己創造的，不是書本直接呈現的，也不是教師直接給出的。所以教師得“潑點冷水”：這么多的猜想都是正確的嗎？誰來驗證這些猜想？主人就是你們自己。

學生選擇一類猜想規律，通過自己編題來驗證是否成立。學生積極性很高，都在極力證明自己的猜想是正確的，以最簡單的“a+n”為例，很多同學都在挑戰不同的數來驗證，有的甚至舉出兩位數和三位數。倍數關系也是，情況有很多種。我覺得學生個人驗證的力量不夠有力，學生可能也會受自己能力所限，舉的例子或者編的題目缺乏典型性，所以，在學生獨立驗證的基礎上，再一次讓全班同學根據剛才的猜想分成三類，每個學生根據自己驗證的類型自發組成小組，每人發表自己的見解，臨時推選的組長記錄大家的想法后，全組共同討論每一個例子是否正確，然后在匯報墻上記錄典型的例子，并最終討論出自己組研究的成果。

根據全班學生的分組驗證，將學生的學習熱情和思維燃到了最高點，每個學生都是參與者，都是每組的證明者，所以每個人都積極發表見解，熱烈討論，并在這個過程中互相指出問題及時修正。第一小組遇到了鴿巢問題中余數為2 的特殊情況，前面的教學中我沒有作任何說明，所以有學生在舉例時，余數2 直接和商相加。所以墻上的一個答案“至少數”是3。我預料到了，也覺得這是一個容錯和學生自我糾錯的好時機，沒有給予輔導和糾正，想讓他們在匯報的過程中全班同學來發現錯誤然后進行教學。可是沒一會兒小組內已經自我否定了，把“3”劃掉，改成了“2”。所以在最后匯報的時候，教師只需問：“為什么這里3 改成了2？發生了什么小故事？”匯報的同學講完故事的時候，就把教材中的難點“余數為2”也需平均分的知識點化解了。

在學生獨立編題以后，再根據選擇同一類型的同學臨時組建小組，就是讓不同層次的學生能有效地進行互動，并在“志同道合”伙伴的引領下，自主發表見解，互相修正自己的想法，并逐漸真正感悟鴿巢問題的本質。

學生在經歷了猜想———驗證之后，靈活運用鴿巢問題，培養了思維的靈活性，學生對鴿巢問題的理解由最初的形象理解上升為抽象層面的數學模型理解。

《數學課程標準（2022年版）》要求數學學習應注重讓學生經歷數學證明的過程。在小學階段，雖然并不需要學生對涉及抽屜原理的相關現象給出嚴格的、形式化的證明，但仍可鼓勵學生用直觀的操作，比如借助學具、實物操作或畫草圖、填表格等方式，以自主探究方式對抽屜原理進行解釋，并解決問題，從而讓學生感悟數學的思維和數學方法。前面的“問題提出、猜想驗證、小組交流、總結規律”的過程就是在感悟數學思想，建立模型思想。很多數學廣角是相通的，鴿巢問題就像植樹問題一樣，它們的數學建模一般路徑都是：結論出來后，建議讓學生嘗試編題，這個過程就是運用模型，期望學生能將具體問題和抽屜問題聯系起來，找到問題中的具體情境和抽屜問題的一般化模型之間的內在聯系，提高解決實際問題的能力。