讓學生在結構化的聯系中練習和梳理
——『用連乘、連除解決問題』復習課教學

執教|徐愛琴 評析|朱希萍

“用連乘、連除解決問題”是人教版三年級下冊的一節復習課。這節課是在學生學習了連乘、連除解決問題的基礎上進行的，學生已經會分別用連乘、連除進行問題解決。

本節復習課通過設計有結構的題組練習，引發學生對連乘問題改編成連除問題，讓學生在結構化的聯系中練習和梳理，感悟用連乘、連除解決的題目結構及解決此類問題的方法，溝通連乘與連除問題之間的關系，鏈接一步計算的問題與兩步計算的問題之間的關系，從而提高學生解決問題的能力。

一、梳理用連乘解決問題的結構特征

投影出示下面三個問題：

1.超市賣出5 箱礦泉水，每箱24瓶，每瓶2 元。一共賣了多少元錢？

2.跑道每圈長400 米，小紅每天跑2 圈。她一星期（7 天）跑多少米？

3.下圖用小方塊拼擺的立體圖，一共用了幾個小方塊？

同時提出以下練習要求：

請你列出綜合算式解答，解答后再想一想這三道題的解答有什么共同的地方？

（學生獨立解答后，教師組織集體交流）

師：誰先來說一說第1 題是怎樣計算的？

生1：我的計算方法是5×24×2=240（元）。

師：誰還有不同的列式方法？

生2：我的計算方法是2×24×5=240（元）。

師：這兩個算式的方法有什么不同呢？

生：第一種方法先算一共有多少瓶，再算一共多少元；第二種方法是先算一箱要幾元，再求5 箱一共要幾元。

師：誰來說一說第2 題是怎樣計算的？

生1：第2 題我的計算方法是400×2×7=5600（米）。

生2：我的計算方法是2×7×400=5600（米）。

師：這兩個計算方法的想法又是怎樣的呢？

生：第一種方法是先計算一天跑多少米，再求7 天跑多少米；而第二種方法是先計算7 天跑了幾圈，再求一共跑幾米。

師：那第3 題你們也有不同的算式嗎？

生：可以用4×5×3=60（個），也可以用3×4×5=60（個），還可以用5×3×4=60（個）。

師：你們能分別說一說每個算式的第一步計算的是大立體圖形的哪一個面嗎？誰來針對投影的圖指出你說的意思？

生1：算式“4×5×3”的第一步是計算這個大立方體前面的一個面用了多少個小方塊。

生2：算式“3×4×5”的第一步是計算這個大立方體右面的一個面用了多少個小方塊。

生3：算式“5×3×4”的第一步是計算這個大立方體的一層用了多少個小方塊。

師：那這三道題所用的計算方法都有什么共同的地方呢？

生：它們都用了連乘的方法。

師：連乘的方法也可以說成先算什么？再算什么？

生：先算幾個幾是多少，再算幾個幾是多少。

師：計算時先要搞清楚每一步計算的幾個幾表示實際的什么意思。

【評析：三道連乘問題涉及到“單價、數量和總價”“速度、時間和路程”以及幾何圖形等方面的應用。學生通過對三道題的獨立思考和解答，自然會領悟到這三道題的共同結構特征和解題方法。再通過教師引導學生進一步的質疑交流，在交流中教師有意識地讓學生匯報出不同的計算方法并進行說理。這樣，除了進一步認識題型的結構特征，還更加清晰地認識到連乘問題的解題關鍵，即每一步計算的“幾個幾”是表示計算了實際問題的什么意思，滲透了乘法中的運算定律。】

二、梳理用連除解決問題的結構特征

1.改編連乘問題為連除問題

師：這三題解決了，我們把問題變成已知條件，把其中一個條件變成問題，你會改編嗎？同桌之間相互交流一下。

【評析：這里讓學生將剛才的三道題的問題作條件，其中的一個條件當問題。三道連乘問題就變成了九道用連除解決的問題。這樣一改編，學生就明白連乘連除結構的可逆關系，為下一環節尋找連乘、連除問題之間的關系積累了活動經驗。】

2.梳理連除問題的結構特征和解題方法

師：同學們剛才編出了九道題，我們從中選擇三道來解決。出示如下三題：

（1）超市賣出5 箱礦泉水共240 元，每箱24 瓶，每瓶多少元？

（2）小紅一星期（7 天）共跑了5600 米，她每天跑2 圈，跑道每圈長多少米？

（3）用60 個小正方體擺成一個大長方體，每層擺3 行，每行擺5 個，可以擺幾層？

請你列出綜合算式解答，解答后再想一想這三道題的解答有什么共同的地方。

（學生獨立解答后，教師組織集體交流）

師：誰來說一說這三道題是怎樣解答的？

生1：第（1）題：240÷5÷24=2（元），先求每箱多少元，再求每瓶多少元。

生2：我有不同的方法240÷（5×24）=2（元）。先求5 箱一共是多少瓶，再求每瓶多少元。

生3：第（2）題：5600÷400÷2=7（天）。先求一共跑了幾圈，再求一共跑幾天。

生4：第（2）題我是這樣做的：5600÷（400×2）=7（天）。先求每天跑多少米，再求一共跑幾天。

生5：第（3）題我有三種做法：60÷3÷5=4（層），60÷5÷3=4（層），60÷（5×3）=4（層）。

師：解答這三道題有什么共同的地方？

（學生說出都可以用連除來解決，這時教師在課題“連除”兩字下面劃上一橫）

師：現在你能說一說為什么用連除解決嗎？

生：比如第（1）題把240 元錢平均分成5 箱，用除法計算得出每箱48 元，再接著把48 平均分給24 瓶，所以還是用除法。

師：第（2）題呢？為什么還是用除法？

生：因為這一題實際上是求5600 米里面包含幾個400 米，求出一共有14 圈，每2 圈一天，還是求14 里有幾個2，所以還是用除法。

師：現在你們知道解決這些問題為什么用連除嗎？

生：這些問題都是在不斷地分，有的是平均分，有的是求包含幾個幾。

（教師隨機板書“先分再分”）

師：另一種方法為什么要先乘再除呢？

生：這種方法是先求幾個幾再分。

【評析：這一環節的功能除了讓學生理清用連除解決的問題結構及解題方法，還讓學生探究了用連除解決的問題原理，都是先分再分。從而明白為什么用連除解決或者先乘再除解決的道理。】

三、梳理連乘問題和連除問題的聯系

師：回顧一下，這兩類問題有什么相同和不同之處？解答這類問題的關鍵是什么？

生1：都要認真審題，弄明白告訴了什么，要我們求什么。

生2：關鍵弄明白先求什么，再求什么。

生3：連乘與連除問題有一種“相反關系”。

生4：連乘是先求幾個幾，再求幾個幾，累加起來的；連除是先分再分，是不斷分下去的。因此剛好相反。

【評析：這一環節目的就是溝通連乘連除問題之間的聯系。學生有剛才改編的經歷，再加上通過問題情境、解題算式及方法算理的比較，發現連除與連乘是互逆關系的運算方法。第二個目的是在變中發現不變。解決兩類問題都需要認真審題、選取有用的信息，搞明白先求什么，再求什么，讓方法落到實處。】

四、在練習有聯系的題組中提升解決問題能力

1.在連一連中橫向鞏固題型結構

①張大伯摘的橘子裝了2 車，每車10 筐，每筐50 千克，一共摘了多少千克橘子？

②張大伯摘了10 筐橘子，每筐50 千克，每千克賣2 元，一共可以賣多少元？

③張大伯摘的橘子裝了2 車，每車10 筐，還剩下50 筐，一共摘了多少筐橘子？

A.2×（10×50） B.2×10×50 C.2×10+50

①張大伯共摘了1000 千克橘子，每筐50 千克，10 筐裝一車，可以裝多少車？

②張大伯賣了10 筐橘子，每筐50 千克，一共賣了1000 元，每千克賣多少元？

③張大伯共摘了1000 千克橘子，每筐50 千克，賣出10 筐，還剩多少筐？

A.1000÷50÷10 B.1000÷（50×10） C.1000÷50－10

（1）學生獨立完成，核對答案

（2）分析錯題

師：上面這組題目哪一題容易錯？

生1：第①題，只連了一個算式，沒考慮多種方法解決。

生2：第②題，我多連了一條，把它跟第②題連上了。而2×10×50是不能解決第②個問題的，因為10 筐橘子和每千克2 元這兩個條件沒有關聯。

生3：第③題要注意了，它是用乘加來解決的。我們前面往往用連乘解答，想當然都用連乘來解答了。

師：下面這組你覺得哪題要提醒大家？

生：這組題的第②題不能連A 這個算式，1000 元不能除以每筐50 千克，因為1000 元和每筐50 千克沒有關聯。

（3）總結收獲

師：解決了這幾道題，你有什么收獲？

生1：做題目要仔細審題。不能今天學習了連乘連除就想當然都用連乘連除來解決。有時不一定都是這樣做的。

生2：這些題目看起來都很相似，但是只要有一個信息發生變化，數量關系就會發生變化，所以我們在解決問題時要明確先求什么，再求什么。

生3：解決問題時要選擇有用的信息和有關聯的信息。

【評析：在這樣情境相似、數據相同的題組中放置一道不能用2×10×50 來解決的問題，因為10筐橘子和每千克2 元這兩個是不相關聯的信息，不能解決相關問題。在這樣情境相似、數據相同的連乘解決的題組中放置一個先乘后加；在連除解決的題組中放置一個先除后減。這樣會讓“認真審題”落到實處。】

2.在擴縮變換中縱向感受題型的演變

師：你能把兩步計算的問題改成一步計算的問題嗎？先自己輕輕說一說，再集體匯報。

生1：把張大伯摘了“10 筐橘子，每筐50 千克”，這兩個條件合并為“每車載500 千克”。求一共摘了多少千克橘子？（如下圖所示）

列式就由2×10×50→2×500，兩步計算就成了一步計算。

生2：第二組中的“每框50 千克，10 筐裝一車”改為“每車裝500 千克”也就成一步計算了。（如下圖所示）

算式也由“1000÷50÷10”變成了“1000÷500”，從兩步計算縮成了一步計算。

師：兩步計算我們能縮成一步計算，那么，一步計算問題怎么擴成兩步、三步計算呢？

學生回答把其中的一個條件不直接告訴，例如把“10 筐裝一車”改為“左邊放8 筐、右邊放2筐”就成了三步計算的問題。

師：通過剛才的改編你有什么發現呢？

學生各抒己見后，教師小結：兩步計算的問題，將其中的兩個條件合并為一個條件就成了一步計算。兩步計算的問題，將其中的一個條件不直接告知擴成兩個條件告知的形式就成了三步解決的問題，以此類推。

3.在補條件選問題中提升信息提取能力

師：剛才我們會擴縮變換了，現在你會根據算式補上條件和問題嗎？出示下面練習。

蘋果每箱有2 層，每層15個。

①2×15×20（ ）

②2×15-20（ ）

③600÷15÷2（ ）

A.一共有600 個蘋果，可以裝多少箱？

B.食堂買來600 箱蘋果，一共有多少個？

C.食堂買來20 箱蘋果，一共有多少個？

D.吃掉20 個，還剩多少個？

【評析：這一環節能讓學生充分經歷連乘連除應用問題解決題目結構演變形成的全過程。經歷了學生就有感悟，經歷了學生就有話可說，經歷了學生對一步解決的問題與兩步三步應用問題的結構特征就會了然于胸。】

4.在解答非良構問題的過程中提升問題解決能力

剛才我們用三條信息解決了問題，課件保留下面信息①②③，現在再給你一些信息，然后逐步增加④～⑧信息。再提出：你能選擇一些信息提出問題并解決嗎？請完成《學習單》。

①學校食堂買了20 箱蘋果，

②每箱有2 層，

③每層有15 個，

④全校有6 個年級，

⑤每個年級有3 個班，

⑥平均每班有36 人，

⑦每4 個蘋果約重1 千克，

⑧每千克蘋果5 元錢。

我選信息（序號）問題算式例如①②③一共有多少個？2×15×20

【評析：問題解決的核心目標是提升學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。而培養學生這樣的“四能”需要有特定的環境，需要給學生創設特定的素材，讓學生在自主選擇有用信息解決相應問題中提升，讓學生在根據算式選取有用信息中提升。本環節通過在上一環節已經熟悉的三條信息中加入5 條信息。在多個信息中選取有用的信息需要學生甄別、取舍。也就在這個非良構的問題情境中，學生的問題解決能力得到了提升。】

五、全課總結（略）

【總評】

本節課我們力求體現結構化視域下的教學設計，關注元素特征中發現問題本質，關注關聯中建構知識體系，關注循環中提升問題解決能力。

元素是指構成事物的最基本結構。功能是由它構成的基本結構決定的。連乘連除解決問題最基本的元素就是乘了再乘、除了再除。為什么要乘了再乘、除了再除呢？因為連乘問題解決的是先求幾個幾再求幾個幾。而連除指的是先分再分的事情，因此要先乘再乘、先除再除。這樣在發現元素特征中掌握問題本質。

關聯是指事物之間的聯系。這里的聯系有橫向、縱向；有顯性、隱性的關聯。本節課讓學生通過有效的題組練習后發現連乘、連除解決問題的可逆聯系。通過一步到兩步到三步的擴縮變換中發現題目結構的凝聚與演變，建構了知識體系。

循環是數學教學必須遵循的原則。因為數學知識是一個不斷螺旋上升的過程。這就需要我們在教學中循序漸進。本節課從單一題型的連乘解決問題→連除解決問題→乘加→除減→再到題型的擴縮→自主選擇有用信息的綜合應用。每一環節都圍繞著提升學生問題解決這一核心素養展開教學。

總之，這節課充分體現了在結構化視域下進行有結構的練，促進學生有聯系的學。