活用勾股定理　探究一題多變

蔡忠平

一、應用勾股定理探究圖形面積

例1 如圖1，在直線l 上有三個正方形，面積分別為a，b，c，若a = 5，c = 11，則最大正方形的面積b是多少？

思路點撥：根據“AAS”可證Rt△ABC ≌ Rt△BED，則BC = ED，

由勾股定理易得b = a + c = 16.

變式1：如圖2，以Rt△ABC的三邊為斜邊，分別向外作等腰直角三角形BFC、等腰直角三角形AHC、等腰直角三角形AEB，面積分別為S1，S2，S3，則S1 + S2 = S3. （請同學們嘗試證明）

變式2：如圖3，在Rt△ABC中，AB = 4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1 + S2 = 2π. （請同學們嘗試證明）

二、應用勾股定理解決折疊問題

例2 如圖4，一長方形紙片ABCD中，AD = 4，AB = 8，將長方形沿EF折疊，使點B與點D重合，求DE的長.

思路點撥：由折疊可知DE = BE.

設DE = BE = x，則AE = 8 - x.

在Rt△ADE中，AD2 + AE2 = DE2，

即42 + （8 - x）2 = x2，可得x = 5.

故DE的長是5.

變式1：如圖5，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點G，連接AG，且AG平分∠BAF，則BG的長為2.? （請同學們嘗試證明）

變式2：如圖6，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點，連接AM，DM，將△DCM沿DM折疊，使點C落在AM上的點E處. 若DE = DC = 1，AE = 2EM，則BM的長為[2√5/5]. （請同學們嘗試證明）

三、應用勾股定理探索最短距離

例3 圖7是一個長為4 cm、寬為3 cm、高為12 cm的長方體無蓋盒子，將一根長15 cm的細吸管放入盒內，吸管露出盒子的最短長度能是多少？（牛奶盒的厚度、細吸管的粗細均忽略不計）

思路點撥：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC = 5（cm）.

在Rt△ACD中，可得AD = 13，15 - 13 = 2 （cm）.

因此，吸管露出盒子的最短長度是2 cm.

變式1：如圖8，長方體的長和寬均為3 cm，高為10 cm，一只螞蟻從點A出發，經過4個側面繞2圈到達點B，則螞蟻爬行的最短路線是26 cm. （提示：側面展開圖如圖9所示. 請同學們嘗試證變式2：如圖10，圓柱形玻璃杯的高為14 cm，底面周長為32 cm，在杯內壁離杯底5 cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3 cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處爬到內壁B處的最短距離為20 cm.? （提示：側面展開圖如圖11所示. 請同學們嘗試證明）