“程”風破浪

何曉明

一元二次方程的應用是初中數學的重難點內容之一，也是中考的重點考查對象. 很多同學會發現，解一元二次方程并不難，然而一旦它與實際問題結合起來，有的時候就無處下手，找不到等量關系. 今天我們一起探討一下“一元二次方程的實際應用”問題.

[考點提煉]

考點1：一元二次方程與利潤問題

例1 某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個. 調查發現，售價在40元至60元范圍內時，這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個. 為了實現平均每月10 000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少？這時應購進臺燈多少個？

解題思路：找到等量關系是破解一元二次方程的關鍵所在. 本題中，等量關系為：總利潤 = 每件商品的利潤[×]銷售數量，可以設每個臺燈漲價x元，則每個臺燈的利潤為（40 + x - 30）元，臺燈銷售數量為（600 - 10x）個，根據題意，列方程為（40 + x - 30）（600 - 10x） = 10 000，解方程即可.

易錯點：沒有根據問題的實際意義檢驗方程的根是否符合題意. 如此題方程的兩個解為x1 = 10，x2 = 40，題目中要求售價在40元至60元范圍內，當x2 = 40時，售價為40 + 40 = 80（元），不符合題意，應該舍去.

解題要點：1. 找到等量關系；2. 檢驗根的合理性.

考點2：一元二次方程與增長（下降）率問題

例2 某公司2022年10月的營業額為2500萬元，按計劃第四季度的總營業額要達到9100萬元，求該公司 11月和12月兩個月營業額的月均增長率.

解題思路：本題中等量關系為：10月的營業額 + 11月的營業額 + 12月的營業額 = 第四季度的總營業額. 設該公司11月和12月兩個月營業額的平均月增長率為x，則11月的營業額為2500（1 + x），12月的營業額為2500（1 + x）2，根據題意，列方程為：2500 + 2500（1 + x） + 2500（1 + x）2 = 9100，解方程即可.

易錯點：1. 不能正確表示出12月的營業額；2. 審題不仔細，將第四季度主觀臆斷為12月.

解題要點：明確變化率問題的等量關系. 設a為基礎量，x為平均增長（下降）率，n為增長（下降）次數，b為增長（下降）后的量，則a（1 ± x）n = b.

考點3：一元二次方程與幾何圖形結合的實際問題（如與幾何圖形結合的面積問題、動點問題等）

例3 如圖1，在一塊長92 m、寬60 m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成面積均為885 m的6個矩形小塊，水渠應挖多寬？

解題思路：在幾何圖形的面積問題中，利用面積公式列出等量關系是解決此類問題的常用方法. 本題設小路的寬為x m，根據題意，得（92 - 2x）（60 - x） = 885 [×] 6，求解即可.

易錯點：1. 等量關系找得不好，導致列不出方程或者列出的方程很復雜；2. 沒有根據問題的實際意義檢驗方程的根是否為實際問題的解.

解題要點：如圖2，利用平移的方法將6塊矩形耕地拼成一個大矩形，再利用面積公式列方程.

[真題精講]

點評：解題關鍵是用一個未知數表示出長和寬，然后利用面積公式來列出一元二次方程.

例5 （2022·遼寧·盤錦）某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發現，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖4所示的一次函數關系.

（1）求y與x的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？

分析：（1）直接用待定系數法，求出一次函數的關系式；（2）根據題意，設當天玩具的銷售單價是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案.

解：（1）一次函數的關系式為y =? - 2x + 100（過程略）；

（2）根據題意，設當天玩具的銷售單價是x元，

由題意得（x - 10）（ - 2x + 100） = 600，解得x1 = 40，x2 = 20，

∴當天玩具的銷售單價是40元或20元.

點評：解題關鍵是理解題意，正確找出題目中的等量關系，列出方程或函數關系式.

[總結提升]

通過對2022年各地區中考中一元二次方程應用題的分析，我們發現試題普遍關注合理設置實際問題情境，突出對考生列方程與解決實際問題能力的考查，同時關注社會熱點，體現素養立意. 下面分享幾點解決此類問題的經驗.

（一）回歸教材，重視基礎

綜觀近年來各地區的此類考題，很多試題都源自教材例題、習題，或者是由教材例題、習題經過改編的變式拓展題. 因此，在平時的學習中，一定要重視教材的例題、習題.

（二）抓住關鍵，找好等量

要認真閱讀題目，分析題意，并能分解題目，各個擊破，從而找到已知的條件和未知問題. 必要時可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關系，找到一個或幾個相等的式子，從而列出方程求解，同時還要及時檢驗答案的正確性并作答.

（三）規范答題，養成習慣

1. 寫答案前，需先寫“解”；2. 嚴格按照“設、列、解、驗、答”的步驟書寫答案，避免漏寫步驟；3. 求得方程的兩個根后，務必檢驗，看是否符合題意，舍去不符合題意的根；4. 結尾處，勿忘作答.

（四）優化解法，準確計算

要結合方程特點，選取合適的解題方法，如增長率問題可以優先考慮直接開平方法. 另外，設不同的未知量，方程的計算量也有差別，比如例1中的利潤問題，若設臺燈的定價為x元，計算量就會增加很多.

（五）關注生活，發展能力

一些試題背景設計往往會結合當代熱點和時代潮流，因此我們應把重點放在如何分析和思考實際問題中的數量關系上. 例如，從關鍵字句中發現等量關系；發掘所涉及的基本數量關系，以此溝通不同量之間的關系；注意變化中的不變量，尋找隱含的等量關系.

如今，命題形式愈加多樣化，知識交匯融合較多，例如一元二次方程常和函數結合，將問題設計成兩問或三問，主要考查模型思想和分析問題、解決問題的能力，我們不必追求分類（如銷售問題、循環問題等）硬套題型，而是應該多積累數學經驗，不斷提升解決問題的能力.