函數構題　抓住本質　重在審題

劉玉晶

一次函數是初中所學函數部分最為基礎且非常重要的一個類型，在中考命題中占據了一定的分量. 其中考的考點主要集中在一次函數的定義、圖象性質、求解析式，與不等式和方程的結合，最終落腳點為一次函數的實際應用.主要采用以函數為主線，將函數圖象、性質、方程及不等式等相關知識綜合運用，利用數形結合的思想解決相應的實際問題.

考點分析

考點1：一次函數圖象及性質、確定一次函數的解析式

解題思路：首先要理解題意并觀察圖象，從中獲取信息，正確理解自變量和函數所代表的實際意義，并且要常常進行“數”與“形”之間的互換，如函數圖象如何轉化為函數解析式；然后利用一次函數圖象及性質、解析式等知識解決問題，從而將問題轉化為方程與函數問題，這里涉及函數、方程的綜合運用.

易錯點：對自變量或者函數所代表的實際意義理解不準確；忽視一次函數圖象的性質.

解題要點：掌握一次函數圖象及性質是解決這類題型的基礎.解題時要讀懂題意，理順關系，要全面分析關系，領悟實質，即良好的審題能力和讀圖能力以及處理和轉化條件的能力也是解決一次函數圖象應用題的重要因素.

考點2：利用一次函數、方程、不等式等知識解決現實生活中的優惠方案問題

解題思路：解這類題，需要在了解實際問題中各個量關系的基礎上，先確定一次函數的解析式，然后找到相關的信息建立與方程或不等式的聯系，計算出可能的方案選項，然后根據一次函數的增減性確定解決方案.

易錯點：忽略不等式模型的建立；沒有注意到自變量的限制條件.

解題要點：首先要根據題目中的條件列出解析式，其次通過分析題意找出自變量的取值范圍，再次根據一次函數的增減性及取值范圍，確定自變量的值，作出決策，最后把數學結果回歸到實際問題中去，通過分析、判斷、驗證得到實際問題的結果.注意：回歸時要利用實際意義的條件進行檢驗取舍，找出正確結果.

真題分析

例1 （2022·黑龍江·牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，到達A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計）按原路原速前往C地，結果乙比甲早2分鐘到達C地，兩人均勻速運動，圖1是兩人距B地路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數圖象．請解答下列問題：

（1）填空：甲的速度為______米/分鐘，乙的速度為______米/分鐘；

（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）出發多少分鐘后，甲、乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．

解析：（1）利用速度 = 路程 ÷ 時間，找準甲、乙的路程和時間即可得出結論.答案：300；800.

（2）根據（1）中的計算可得出點G的坐標，設直線FG的解析式為：y = kx + b，將F，G的坐標代入，求解方程組即可.直線FG的解析式為：y = 800x - 2400（3 ≤ x ≤ 6）.

（3）根據題意可知存在三種情況，然后分別計算即可．

當0 ≤ x ≤ 1時，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地；

當2 ≤ x ≤ 3時，甲從B地繼續往C地走，乙從A地往B地走；

當x > 3時，甲從B繼續往C地走，乙從B地往C地走.

綜上，出發[6/11]分鐘或[18/5]分鐘或6分鐘后，甲、乙兩人之間的路程相距600米．

例2 （2022·山東·濟寧）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運輸成本如下表：

（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛.

（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往B地．設甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．

①寫出w與t之間的函數解析式；

②當t為何值時，w最小？最小值是多少？

解析：（1）設甲種貨車用了x輛，可得：16x + 12（24 - x） = 328，即可解得甲種貨車用了10輛，乙種貨車用了14輛.

（2）①根據題意得：w = 1200t + 1000（12 - t） + 900（10 - t） + 750[14 - （12 - t）] = 50t + 22 500；

②根據前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，可得4 ≤ t ≤ 10，由一次函數性質可得當t為4時，w最小，最小值是22 700元．

總結提升

方法提煉：

1.用一次函數解決實際問題的一般步驟為：

（1）根據題意，設定問題中的變量；

（2）建立一次函數關系式模型；

（3）利用與方程或不等式（組）的知識，結合實際問題，確定自變量的取值范圍；

（4）利用一次函數的性質來解決實際問題

2.用待定系數法求一次函數的解析式：

已知兩點A（x1，y2），B（x2，y2）（x1 ≠ x?），求直線AB的解析式.

注意：利用[k=y1-y2x1-x2]可快速求出k的值.

專題精練

某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品. 若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．

（1）求購進A、B兩種紀念品的單價.

（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮到市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且購進B種紀念品數量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？

（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．

答案：（1）25元，150元；（2）5種；（3）購進A種紀念品226件，B種紀念品29件獲利最大，最大利潤為5390元.