基于摩擦模型的伺服系統模糊控制技術研究

王楚杏，史守峽

(北京遙感設備研究所，北京 100854)

0 引言

伺服系統在航空航天、船舶及武器系統得到了廣泛的應用，其主要功能是實現對輸入信號的快速響應與準確跟蹤，在實際的伺服系統中，由于傳動系統存在非線性因素，所以對伺服系統的性能有一定影響，特別是在高精度、超低速伺服系統中，由于非線性摩擦環節的存在，系統主要表現為低速時出現“跳動”或“爬行”現象[7]，穩態時出現較大的靜差或出現極限環振蕩現象，因此建立較準確的摩擦模型并選用合適的摩擦補償方法是提高伺服系統性能的重要環節。

為了實現此目標，常規的控制方法是經典PID控制[1]，其具有簡單、穩定性好、可靠性高的優點，在工程上得到廣泛的應用，但此控制方法中的參數是事先寫入程序不再變化的，所以具有一定的局限性，對高精度的伺服系統控制效果較差。而模糊控制是不基于摩擦模型的控制方法，不需要受控對象有精確的數學模型，對于參數變化有較強的魯棒性，適合具有高精度定位要求的伺服系統。本文基于實際模型的測量結果，建立伺服系統的摩擦模型，并通過Matlab/Simulink仿真驗證，得出與經典PID控制對比，模糊控制方法在超調量、調節時間等指標上表現出優越性的結論。

本文伺服系統以某武器系統制導設備導引頭伺服系統為例。

1 伺服系統的設計與仿真

1.1 伺服系統模型的設計

某導引頭伺服控制系統包括位置跟蹤回路和陀螺穩定回路。

1)位置跟蹤回路主要完成導引頭目標的位置預定和搜索。可以使導引頭回波天線在角度上自動跟蹤目標，使導引頭能連續地接收到目標的回波信號。

2)穩定回路實現目標在慣性空間的穩定與目標的跟蹤。回波天線接收到目標信號后傳遞給接收機檢測出跟蹤角度誤差信號，導引頭就根據這個誤差信號去控制天線旋轉，達到使誤差減小的目的，保證天線的指向保持正確，實現對目標位置的跟蹤。

兩個回路的工作過程為：角度預定回路工作來完成導彈在飛離發射裝置之前，對目標指示角度信息的裝訂，使視線對準目標。當導引頭截獲目標后，陀螺穩定回路開始工作。

圖2 速度環仿真模型圖

高性能的伺服控制系統主要由經典電流環、速度環及位置環組成[5]，反饋傳感器采用旋轉變壓器構成角位置回路，穩定回路反饋傳感器由陀螺儀組成，速度內回路和電流環是陀螺回路與位置回路共用部分[5]。導引頭伺服分系統工作原理框圖如圖1所示。

1)速度回路在系統中的主要作用是加大速度阻尼系數，減小伺服系統過渡過程的超調量，增加系統的相角裕量，提高伺服系統的低速平穩性能，提高回路的動態性能。其中電流環閉環傳遞函數通常可以近似為比例環節。

2)位置回路主要通過旋轉變壓器形成閉環控制。一般需要設計位置回路的校正環節來滿足系統快速性、超調量等性能指標。位置環是以速度回路為內環的角度預定回路，所以速度內環的設計及校正至關重要。

圖1 導引頭伺服控制系統原理圖

1.2 伺服系統模型的仿真

1)速度環仿真模型的系統參數如下：G1(s)為速度環的校正環節，電流環可近似為比例環節β=0.5 A/V，Cm=0.1 kg·cm/A，J=0.01 kg·cm·s2，K1=0.22 V·s/rad,i1=1。

圖4 位置環仿真模型圖

本系統采用滯后校正[12]。相位滯后校正主要利用負幅值段，使被校正系統高頻段衰減，幅值穿越頻率左移，從而獲得充分的相位裕量，其相位滯后部分要遠離預計的新的幅值穿越頻率，以達到提高系統的開環增益，減小穩態誤差，以達到提升相角裕度的目的。同時串聯一個比例環節，以滿足系統截止頻率的要求。

圖3 速度環開環頻率特性圖

當系統輸入階躍信號引導時，位置回路響應曲線如圖5(a)所示，由于系統非線性因素的存在，所以系統響應存在一定地振蕩現象。在正弦信號引導時，位置回路響應曲線如圖5(b)所示，可以看出此系統能比較好地跟蹤正弦輸入信號。

圖5 位置回路輸入信號響應曲線

2 非線性摩擦

摩擦是一種普遍存在的自然現象，具有復雜性、非線性和不確定性等特點[6]。通過大量的摩擦研究表明，人類對摩擦過程的準確描述尚未實現。所以關于摩擦模型的研究已經持續了很長時間，從最簡單的Leonard模型到現在復雜的多參數摩擦模型，眾多研究者在這個領域做了很多工作[8]。目前工程中經常采用的模型如圖6所示。

圖6 常見的摩擦模型示意圖

可以看出，不同的摩擦模型都是在庫侖模型的基礎上發展而來的，下文將具體介紹工程中使用較多的Stribeck模型。

2.1 Stribeck摩擦模型

在任一機械傳動系統中，由于制造工藝的限制，每一對進行相對運動的物體接觸表面都有摩擦存在[10]。有關摩擦的研究表明，摩擦系數與眾多因素有關，如接觸表面特性、粗糙度、溫度、滑動速度、接觸時間等，且摩擦系數不能用常數簡單表述。對于具體的反饋系統來說，其輸出軸上的摩擦力矩是由系統整個機械傳動各部分的摩擦作用的綜合結果。摩擦力矩是影響轉臺低速運行跟蹤性能的重要因素，會造成低速爬行和過‘0’不平滑等現象，當正弦信號引導時還會出現“平頂”現象，所以非線性摩擦的消除對于提升系統性能來說至關重要。

人們結合大量實際經驗總結出改進方法,大致可概括為以下三類：

1)改變機械伺服系統的結構，盡量減少傳動環節，從而減少摩擦;

2)選擇合適的潤滑劑，從物理方面減小移動接觸面的摩擦力;

3)采取適當的控制策略對摩擦環節進行補償。

本文重點研究第三類方法，即如何通過選用合適的控制補償策略，對摩擦進行補償，提升伺服系統的性能。

通過對兩物體的接觸面的變化過程進行研究分析，研究者發現接觸面從相對靜止到相對運動經歷四個階段[4]，在不同的階段中, 接觸面之間的相對運動速度是不同的,所以多數系統的摩擦負載力矩具有圖7所示的Stribeck摩擦模型。模型具體分析如下：

1)第一階段：彈性形變階段。此階段雖然對接觸面施加了外力，但因為摩擦力的存在，接觸面之間只有微小的彈性形變，沒有相對滑動，此時摩擦力的大小與施加的外力大小相同，方向相反。并且此階段與速度無關，體現出的是結構的靜摩擦特性。

2)第二階段：邊界潤滑階段。當施加的外力達到臨界值后，外力大于摩擦力，接觸面間由直接接觸，逐漸地，在接觸表面之間形成一層液體油膜，直到接觸表面完全分離。

3)第三階段：部分液體潤滑階段。是第二到第四階段的過渡過程，在該階段時物體間相對速度通常比較小。

4)第四階段：完全潤滑階段。在此階段中，隨著速度的增加摩擦力開始減小, 對應曲線中斜率小于0的部分。當完全潤滑階段開始后，隨著速度的增加, 與速度成正比的粘滯摩擦力漸漸占據主導作用。[11]

這四個階段也可以簡單描述為摩擦力與轉速之間的對應關系，即靜摩擦力矩最大，隨著輸出速度的增加，摩擦力矩減小，當速度繼續增加時，摩擦力矩略有增加或保持不變，并且摩擦力矩與輸出速度線性相關。

圖7 Stribeck模型圖

Stribeck摩擦模型的表達式為：

(1)

其中：ωs為相對速度值；Tf為摩擦力矩；Ts為最大靜摩擦力矩，與2個接觸面的材料有關系；Tc為庫侖摩擦力矩，與轉臺的負載質量有關系；δ為粘滯摩擦系數，與2個接觸面的潤滑條件有關系；ωs為臨界速度值。

最大靜摩擦力矩Ts、庫侖摩擦力矩Tc和粘滯摩擦系數δ組成了基本的摩擦模型，不同的摩擦模型往往是在其中一項或幾項的基礎上建立起來的，比如在摩擦的基本特性上增加了Stribeck 效應就有了 Stribeck 模型。

2.2 摩擦模型的建立

為了研究摩擦因素對伺服系統的影響，首先建立Stribeck摩擦模型，其中摩擦力矩可以通過轉臺力矩平衡原理來測量[13]。直流電機驅動系統如圖8所示。

圖8 直流電機驅動系統圖

力矩平衡原理如下所示：

(2)

所以電機的運動可以分成兩個階段：

圖9 電機減速曲線圖

(3)

Tf=Ta=CMIa

(4)

其中：CM為轉矩系數，Ia為電樞電流，J為總負載轉動慣量。

所以只要獲得電機電樞電流及轉動慣量，計算出加速度便可以計算出靜摩擦力矩和動摩擦力矩。

在實際轉臺上利用以上原理對數據進行測量并計算。具體操作如下：首先使電機加速轉動，達到一定的角速度并保持一段時間后，斷開電樞回路，使伺服系統在摩擦力的作用下停止轉動[13]。選取角速度分別為ωm=50°/s和ωm=80°/s時，測量減速過程中電機角速度和電樞電流的數據，繪制曲線如圖9所示。

圖中具體數據如表1所示。

表1 轉臺測量數據表

2.2.1 靜摩擦力矩計算：

直流力矩電機的轉矩系數為：Cm=7.33 N·m/A。

1)當電機以勻速ωm=50°/s轉動時，由圖9(a)(b)電流數據計算得到正向電樞電流的平均值為0.4 A；負向電樞電流的平均值為-0.43 A。

正向靜摩擦力矩為:

T1=CMIa=0.4 A×7.33 N·m/A=2.93 N·m

負向靜摩擦力矩為:

T2=-0.43 A×7.33 N·m/A=-3.15 N·m

2)當電機以勻速ωm=80°/s轉動時，由圖9(c)(d)電流數據計算得到正向電樞電流的平均值為0.41 A；負向電樞電流的平均值為-0.44 A。

正向靜摩擦力矩為：

T1=CMIa=0.41 A×7.33 N·m/A=3.01 N·m

負向靜摩擦力矩為:

T2=CMIa=-0.44 A×7.33 N·m/A=-3.23 N·m

從計算結果可以看出，勻速轉動時的速度對靜摩擦力矩影響很小，并且正負向的電樞電流是不同的，表明靜摩擦力矩具有不對稱性，這個特點也體現在后文建立的摩擦模型中。

2.2.2 動摩擦力矩計算

由圖9曲線可以得到摩擦模型的動態特性，可以看出，天線的減速過程基本上是在做勻減速運動，起作用的力矩主要是摩擦力矩，因此可以得到摩擦力矩在動摩擦階段基本不變的結論[14]。

系統參數：

反饋放大系數為k=1；

外框總負載轉動慣量J=1.5×101kg·m2。

1)當電機在速度ωm=50°/s時斷開電樞回路，計算結果如下。

正向動摩擦力矩為：

t1=11.04 s-4.92 s=6.12 s

-8.17°/s2=-0.14 rad/s2

-0.04 A×7.33 N·m/A-(-2.1 N·m)=1.8 N·m

負向動摩擦力矩為：

t1=10.78 s-4.54 s=6.24 s

8.01°/s2=0.14 rad/s2

-0.04 A×7.33 N·m/A-2.1 N·m=-2.39 N·m

2)當電機在速度ωm=80°/s時斷開電樞回路，計算結果如下。

正向動摩擦力矩為：

t1=12.34 s-2.96 s=9.38 s

-8.52°/s2=-0.15 rad/s2

7.33 N·m/A-(-2.25 N·m)=1.95 N·m

負向動摩擦力矩為：

t1=12.18 s-2.54 s=9.64 s

8.31°/s2=0.14 rad/s2

7.33 N·m/A-2.1 N·m=-2.36 N·m

通過上述計算可以看出，正負動摩擦力矩與電機轉動角速度的大小無關，與電機本身的制造工藝相關較大。取兩個速度轉動時計算的力矩平均值，可以得到本文導引頭伺服結構的摩擦模型，如圖10所示。

圖10 摩擦力數學模型

與圖10的標準Stribeck模型相比，本文使用的摩擦模型近似為靜摩擦+庫侖摩擦+粘滯摩擦的組合。表達式為：

Tf(ω)=Tcsgn(ω)+Bω

下文以此模型為基礎，分析非線性摩擦對系統性能產生的影響。

2.3 摩擦對伺服系統的影響

本文基于圖10的摩擦模型，在位置回路加入摩擦模型后對伺服系統進行Matlab/Simulink仿真。仿真模型如圖11所示，仿真結果如圖12所示。

階躍信號引導時，對比圖5(a)，由于摩擦力矩的存在，對于系統的振蕩起到一定的緩解效果，但系統的超調量還是比較高。正弦信號引導時，對比圖5(b)，由于摩擦力矩的存在，信號跟蹤出現“平頂”現象[15]，影響了系統的跟蹤精度。

實際工程應用中，高性能的伺服系統要求盡可能無超調，而且對于輸入信號要能很好地復現。下文主要研究通過摩擦摩擦補償策略如何提升含摩擦的伺服系統性能。

3 摩擦控制方法

3.1 摩擦補償研究

摩擦補償的方法主要有:基于摩擦模型的補償、非基于摩擦模型的補償、基于智能控制的摩擦補償和基于復合控制的摩擦補償。

圖11 含摩擦環節的位置回路仿真

圖12 含摩擦環節的位置回路響應曲線

3.1.1 基于摩擦模型的補償方法

基于摩擦模型的補償方法的本質是前饋補償，即針對實際伺服系統中存在的非線性摩擦建立合適的摩擦模型，或選擇合適的摩擦模式，基于該模型來估計摩擦力矩的值，然后將摩擦力矩的估計值與系統自身的控制力矩相加，從而消除摩擦連桿對系統的影響。基于摩擦模型的補償可分為兩類：固定模型補償和自適應補償。對于固定摩擦補償，摩擦模型的具體參數應通過參數識別獲得，并在控制過程中保持不變。對于自適應補償，摩擦參數通過線性迭代獲得，并且在控制過程中是可變的。目前常用的基于摩擦模型的補償方法有：單純基于庫侖摩擦模型的補償方法、基于庫侖摩擦和靜摩擦模型的補償方法、基于Karnop摩擦模型的補償方法、基于指數摩擦模型的補償方法、基于LuGre摩擦模型的補償方法等。

3.1.2 不依賴于摩擦模型的補償方法

因為模型模型參數獲得比較困難，所以常用的補償方法就是不基于摩擦模型的補償方法， 方法有很多種。其實質是將系統摩擦視為一種外界擾動，通過改變系統的控制結構或控制參數來提高系統抑制擾動的能力，從而抑制非線性摩擦。主要方法有:傳統PID控制方法、脈沖控制方法、信號抖動法、轉矩反饋法、基于擾動觀測器的控制方法、變結構摩擦補償法等。

3.1.3 基于智能控制策略的補償方法

智能控制理論在20世紀90年代有了很大的發展。與傳統控制方法相比，智能控制策略不需要被控對象的數學模型，因此對模型建立的精度要求不高。在智能控制策略的基礎上，主要通過研究模糊控制、神經網絡控制、重復控制等方法來解決摩擦對系統的影響。此類補償策略雖然對摩擦模型的要求不高，但是在具體實施過程中也存在一些問題，比如模糊規則難以確定、神經網絡算法實時性較差、控制效果未到達預期等。

綜合考慮各種補償策略的優劣以及可實施性后，本文選取傳統PID法和基于智能策略的模糊控制法分別對伺服系統中存在非線性摩擦進行補償，并通過實例Matlab/Simulink仿真對比兩種不同方法的優劣。

3.2 模糊控制基本原理

模糊控制[17]就是把人類對控制對象積累的控制經驗集合化后，轉換為清晰直觀可數學實現的控制器，從而在計算機上實現對被控對象的控制。模糊控制策略的系統原理框圖如圖13所示。

圖13 模糊控制系統原理框圖

虛線框中的4個部分組成了模糊控制器，其是模糊控制系統的核心所在，一般包括模糊化、知識庫、模糊推理、解模糊四個部分。模糊控制的基本思想是用計算機或其它裝置模擬人對系統的控制過程。在人的控制過程中，控制策略是用自然語言來描述的，因此具有模糊性。將輸入的信號經過模糊化后變成模糊量，利用知識庫進行模糊推理，再經過解模糊形成清晰的控制量，然后通過執行元件控制被控對象。這就是模糊控制器工作的基本原理。

3.3 模糊控制器的設計

模糊控制器的設計概括為以下幾個步驟：

1)確定模糊控制器的結構；

2)選擇并確定模糊控制規則；

3)解模糊化。

3.3.1 模糊控制系統器的結構

選擇和確定模糊控制器的結構，包括確定系統輸入輸出、模糊語言變量、隸屬度函數。

1)模糊控制器(Fuzzy Control)一般以向量x為輸入變量，其分量(如e、ec)的個數稱為模糊控制器的維數。本研究采用二維控制器，輸入量為速度偏差e和速度偏差變化率ec，輸出量為控制量u。

2)常用的模糊語言變量有{NVB,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB,PVB}，依次代表負很大、負大、負中、負小、零、正小、正中、正大、正很大。輸入輸出變量的描述準確與否與模糊語言變量的數量有關，變量個數越多，描述越準確，控制器的補償效果就越好，但是不能一味地追求數量多，因為過多的變量數會增加控制規則的復雜度。所以要選取合適的模糊語言變量數，以達到準確而簡單的效果。

本文輸入e、ec的模糊集合為{NB,NS,Z,PS,PB}，輸出u的模糊集合{NVB,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB,PVB}。

3)隸屬度函數應該是能夠準確、客觀、科學地反映出模糊概念或者是事物的漸變性、穩定性和連續性。本文隸屬度函數形狀均采用三角形。

4)論域：

本文所用的模糊控制器中誤差e的論域選擇為[-10，+10]，誤差變化ec論域為[-15，+15]，控制輸出u的論域需要依據系統實際運行的動態范圍選擇和確定為[-10，+10] 。

3.3.2 模糊控制規則

模糊控制的核心是模糊規則和模糊邏輯推理。模糊規則反映了人們在大量實際操作中累計的經驗，又被稱為模糊控制算法。建立合適的模糊規則是模糊控制器設計的核心工作，確定模糊控制規則的原則是使控制器的輸出能夠使系統輸出響應的動態和靜態性能達到最佳。控制規則的多少視輸入及輸出量數目及所需的控制精度而決定。

模糊控制規則一般用若干條“IF…is…AND…is…THEN…is…”這樣的模糊語句表示，可以體現出輸入量與輸出量之間的變化關系。為了易于查算，一般采用表格的形式呈現。

本文建立了25條控制規則，得到輸入輸出變量的控制規則表如表2所示。

表2 模糊控制規則表

為了直觀清晰，本文所使用的控制規則所對應形成的控制曲面圖，如圖14所示。

圖14 模糊控制規則曲面圖

3.3.3 解模糊化

經過模糊控制器處理后的結果是模糊量，是計算機語言的體現，不能被實際控制對象所識別，因此必須對模糊推理的結果進行處理。這一過程就是解模糊化，又被稱為清晰化，就是實現將計算機模糊語言轉變為精確的數值的過程，也就是根據輸出模糊子集的隸屬度計算出確定的數值，從而實現對控制對象的控制。

常見的清晰化方法有以下幾種分：最大隸屬度法、重心(加權平均)法和取中位數法。通過大量的研究表明，加權平均法具有更佳的性能。所以本文采用控制效果較好的加權平均法，又稱重心法。控制量的清晰值由下式決定:

(5)

由上式求出模糊控制量的清晰值之后，再乘以控制量的比例因子即得到施加給被控對象的控制作用。本文所用的比例因子ke=5,kec=0.05,ku=0。

4 系統仿真實驗

在Matlab/Simulink環境下，對圖4伺服系統采用常規PID和模糊控制兩種方法進行仿真[21-22]，常規PID控制仿真模型如圖4所示，模糊控制仿真模型如圖15所示，模糊控制器位于位置回路中。

單位階躍信號引導時，對比不同參數摩擦模型的控制效果，仿真結果如圖16所示。當輸入幅度為，頻率為的正弦信號時，仿真結果如圖17所示。

由仿真可以看出，在含有摩擦因素影響的伺服系統中，輸入階躍信號時，系統超調量較大，響應時間較長，而模糊控制的輸出明顯優于常規PID控制，能將系統超調量控制在內，并且響應時間不超過，表明該方法有很好的控制效果。當輸入正弦信號時，常規PID控制的輸出波形變形嚴重，且存在“平頂”現象，而模糊控制能較好地跟蹤輸入信號，說明此控制方法能補償非線性摩擦對系統性能的影響。

考慮到伺服系統在可控范圍內變化的情況，當速度回路增益分別為180、190、200時，對比PID控制和模糊控制的補償效果，仿真結果如圖18所示。

圖15 位置回路模糊控制仿真模型

圖16 含摩擦時位置回路階躍響應曲線

圖17 含摩擦時位置回路正弦響應曲線

圖18 位置回路增益不同時階躍響應曲線

由仿真結果可以看出，模糊控制相比常規PID控制不受被控對象變化而影響，具有較強的魯棒性，對于伺服系統實際工程應用有較大的幫助。

5 結束語

本文通過對伺服系統的設計及仿真，首先建立起了滿足實際工程需求的導引頭伺服系統，考慮到非線性摩擦因素對實際系統的影響，利用力矩平衡的原理，通過測量實際轉臺的數據建立起系統的摩擦模型，并在此模型基礎上進行Matlab/Simulink仿真后，對比仿真曲線，得出在考慮摩擦環節對伺服系統的影響時，在階躍信號引導時，采用傳統PID控制算法不能很好地跟蹤輸入信號，模糊控制策略可以降低系統超調量，響應時間也符合系統設計要求；在正弦信號引導時，傳統PID控制算法的結果中位置跟蹤存在“平頂”現象，波形失真嚴重，而模糊控制策略可以有效地消除“平頂”等現象，可以達到高精度跟蹤的要求，在可控范圍內變化時，模糊控制的效果相比傳統PID更優越，更適合實際工程應用。