空間站宏微機械臂動力學建模與零反作用控制

尹旺 王翔 王為 劉冬雨

(北京空間飛行器總體設計部，北京 100094)

空間站艙外機械臂系統一般由大型柔性機械臂和固連在其末端的剛性靈活機械臂組成。如國際空間站上的加拿大2臂和專用靈巧手、日本實驗艙的遙控機械臂系統(JEMRMS)和中國空間站上的核心艙機械臂和實驗艙小臂[1]。宏機械臂用于實現大范圍轉移運動，微機械臂用于實現精細化操作。采用行星齒輪減速器的宏機械臂會表現出大撓度的特點，如果不采取措施，微機械臂運動時會在慣性力的作用下激起宏機械臂末端的大幅度振動，從而影響微機械臂末端的精度和效率。另外，為提高機械臂的靈活性和可操作性，微機械臂通常具有一定的冗余自由度，因此此類宏微機械臂最主要的特點是支撐結構的柔性和自由度的冗余性。

抑制柔性基座機械臂彈性振動的方法主要有被動控制方法和主動控制方法。被動控制方法是通過選用各種耗能材料及對機械結構進行優化設計，從而達到降低柔性結構彈性變形、控制結構振動的目的[2]。主動控制方法是通過外部能量的輸入以獲得期望的阻尼、剛度特性，從而抑制柔性結構的動態響應。主動控制主要有前饋控制(輸入整形[3]、軌跡規劃[4])和反饋控制[5]兩種典型方法，前者應用時只需要建立系統的動力學模型而不用測量基座振動量的傳感器設備，在工程中的應用時簡單可靠，但是前饋控制的調節時間長、魯棒性較差，當系統模型存在誤差時不再適用。反饋控制是根據系統振動狀態的反饋信息來產生作動力/力矩，從而實現柔性機械臂的軌跡跟蹤和振動控制。

諸多學者利用冗余機械臂的自運動能力進行了抑振研究。文獻[6]基于拉格朗日乘子法和最小二乘推導得到冗余機械臂的反作用最優控制，并從理論上證明了兩種控制方法的一致性，試驗證實所提方法能減微機械臂運動產生的反作用力矩。文獻[7]等人指出由于系統中柔性坐標遠多于機械臂的冗余度，基于上述方法求得的只是最小二乘意義上的反作用最優解，故提出一種新的算法，該算法利用機械臂冗余特性可消除在模態空間的低階模態力，因而具有更好的抑振效果。同時，國內的文獻[8]也對自運動優化選擇的復模態法進行了研究。文獻[9]將反作用零空間的思想應用到柔性基座機械臂中，并提出一種綜合控制律，該控制律充分利用逆動力學模型，能同時滿足柔性基座的振動抑制、反作用激振最小以及末端軌跡跟蹤等任務。文獻[10]將JEMRMS/小精細臂(SFA)系統的前三個關節視為柔性關節，后九個關節視為微機械臂，并將文獻[9]提出的綜合控制算法成功應用到該系統，仿真結果證實了這種綜合控制算法對于真實的宏微機械臂系統是有效的。

文獻[10]等并沒有將柔性宏機械臂等效為柔性基座，為了獲取更多的冗余自由度，將宏機械臂的部分關節與微機械臂關節同時控制，這在實際應用時難度較大。為了滿足空間站宏微機械臂分時獨立控制的任務需求，本文首先將宏機械臂等效為柔性基座，并對微機械臂進行了零反作用運動控制，使得微機械臂在完成任務的同時不對基座產生任何擾動。

1 柔性基座機械臂系統建模

1.1 問題描述

空間站建造完成進入運營階段后，空間機械臂主要用于艙外載荷照料、在軌可更換單元替換以及航天員轉移等，微機械臂末端是相對于空間站運動的，因此在運動學關系上空間機械臂相當于地面機械臂。另外，空間站自身質量遠大于機械臂系統，機械臂運動對站的姿態影響很小，因此本文將宏機械臂基座坐標系xIyIzI視為慣性參考系，宏臂和微臂末端的固連坐標系分別為xMyMzM，xeyeze，兩者的運動都是相對于xIyIzI而言的，如圖1所示。

圖1 空間站宏微機械臂示意圖Fig.1 Macro-micro manipulator mounted on space station

地面實驗表明，由碳纖維增強基復合材料制作而成的臂桿剛度遠大于關節剛度，宏機械臂的柔性主要來源于柔性關節[11]，因而本文不考慮宏機械臂臂桿柔性的影響。

1.2 柔性基座機械臂運動方程

柔性關節宏機械臂的動力學模型為

(1)

文獻[12]中和[13]中分別給出了宏機械臂末端的慣量特性和等效剛度矩陣為

(2)

(3)

式中：JM為宏機械臂末端在固定基下的雅克比矩陣。由此可見，宏機械臂末端的慣量特性和剛度矩陣隨其構型的變化而變化，當宏機械臂處于某一固定構型時，A(q)和Ke(q)可近似為常值矩陣。此時柔性宏機械臂等效為六自由度柔性基座與空間站相連，根據拉格朗日方程可求得柔性基座的受迫振動方程為

(4)

式中：xb∈R6×1為柔性基座的位姿矢量；Fb(t)為柔性基座受到的廣義外力。

剛性微機械臂的動力學方程為

(5)

式中：Hm為微臂的慣性矩陣；Cm為微臂的哥氏力和離心力；τm為微臂的驅動力矩。式(4)和式(5)分別給出了剛性微機械臂與柔性基座的動力學模型，兩個子系統有著各自的動力學特性，當結合在一起后會相互影響。由于兩者之間存在動力學耦合作用，因此柔性基座機械臂系統不是柔性基座和剛性機械臂之間的簡單結合，而是通過耦合項將兩者耦合在一起的。根據拉格朗日方程和牛頓—歐拉法推導得出柔性基座機械臂的動力學方程為

(6)

2 零反作用運動控制

當微機械臂自由度大于柔性基座的自由度時，微機械臂具有反作用零空間，即微機械臂在運動過程中各連桿產生的反作用力相互抵消，從而不對柔性基座產生任何擾動，從而實現微機械臂與基座之間的運動解耦。微機械臂的零反作用運動控制可基于關節加速度的控制律實現。

(7)

(8)

式中：Jm和Jb分別為微機械臂和柔性基座的雅克比矩陣；xd是期望的跟蹤路徑；e=(xd-x)為路徑的跟蹤誤差；Gd和Gp為合適的增益矩陣。式(8)代入式(7)即可得到基于加速度的零反作用軌跡跟蹤控制律。該控制律應用的前提是微機械臂自由度大于柔性基座自由度，另外慣性耦合矩陣應該行滿秩，否則會發生動力學奇異。

3 仿真分析

3.1 等效模型驗證

由圖1知，宏機械臂具有7個自由度，等效為柔性基座后具有6個自由度(3個平動，3個轉動)，為表明等效前后動力學特性不變，首先分析兩者的固有頻率。宏機械臂肘部關節(關節4)連接的兩臂桿跨度最大，因而對宏機械臂末端的動力學特性最大，其他連桿跨度較小，影響較小。為分析宏機械臂肘關節對柔性系統各階固有頻率的影響，設宏臂構型為q=[0,0,-30,θ4,90,90,0]°，其中θ4在-180°～+180°之間變化。計算結果如圖2所示，紅色虛線代表柔性宏機械臂固有頻率，藍色實線為柔性基座固有頻率。

7自由度的柔性宏機械臂等效為6自由度的柔性基座，會丟失1階固有頻率。由圖2(e)知當肘關節小于-60°時，柔性基座和柔性宏機械臂的第5階固有頻率對應相同，相當于丟失了第6階頻率；當肘關節大于-60°時，柔性基座的第5階固有頻率與宏機械臂的第6階相同，相當于丟失了第5階頻率。由于柔性宏機械臂的5、6階固有頻率相差很小且遠大于基頻，因此，宏機械臂等效為柔性基座后丟失的1階固有頻率對動力學特性的影響很小。

由圖2(c)和(d)可知，等效柔性基座模型與機械臂3、4階頻率相差稍大，原因在于當肘部關節位于0°和180°附近時，宏機械臂雅克比矩陣的最小奇異值較小，即宏機械臂接近奇異構型，此時進行動力學等效時會造成一定誤差。但出現誤差的頻率都在3 rad/s以上，而基頻在1 rad/s以下，因此該誤差對整體的動力學特性影響也可接受。

從圖2(a)發現柔性宏機械臂的基頻隨著肘關節角的變化而變化，當肘關節角度為±180°時基頻最高，當肘關節角度為0°時基頻最低，表明宏機械臂折疊程度越高，基頻越高，等效成的柔性基座穩定性越好；伸展程度越高，基頻越低，柔性基座穩定性越差。

為驗證所建立模型的正確性，采用ADAMS商業軟件進行仿真對比。宏機械臂初始時刻處于靜止狀態，關節鎖定時角度為q=[0,0,-30,-60,90,90,0]°，假設宏機械臂柔性關節剛度為100 Nm/(°)，ADAMS提取的固有頻率和基于模型的計算結果如表1所示。剛性微機械臂進行空間點到點的運動，初始時刻關節角度為θ0=[0,0,-90,0,90,0,0]°，終止時刻構型為θf=[90,-90,-90,120,90,0,0]°，仿真時長為10 s，采樣周期為0.02 s，各關節角位移采用五次多項式的軌跡，起止時刻的關節角速度、角加速度均為零，如圖3所示。對于柔性基座而言，激勵載荷即為微機械臂各關節的角位移，如圖4所示，柔性基座的振動響應如圖5所示。

圖3 柔性宏剛性微機械臂仿真模型Fig.3 Simulation model of flexible macro-rigid micro manipulator

圖4 微機械臂關節角位移Fig.4 Joint angle of micro manipulator

表1 柔性宏機械臂及柔性基座各階固有頻率Table 1 Natural frequencies of flexible macro manipulator and flexible base rad/s

從仿真曲線可以看出柔性基座振動位移曲線完全吻合，分析結果說明了本文給出的柔性基座機械臂動力學建模的正確性和合理性。給出的動力學方程可作為空間站宏微機械臂級聯控制的基礎模型。

3.2 零反作用運動控制

假設宏機械臂處于完全伸展構型，即q=[0,0,-90,0,90,0,0]°，此時宏機械臂為奇異構型，考慮到各關節的彈性變形沿軸線方向，則宏機械臂末端具有3個柔性自由度，即宏臂末端只能在沿著x軸、繞著y軸和繞z軸的方向發生彈性位移。

微機械臂具有7自由度，此時柔性基座機械臂的反作用零空間是4維的，不考慮姿態的變化，基于式(7)和式(8)所示的控制律，微機械臂末端可跟蹤三維空間內任意軌跡而不引起基座的振動。假設微機械臂初始構型為θ0=[0,-90,-60,60,135,60,0]°，末端沿著直線從(1.6，-2.4，-3.1)運動到(1.0，-1.8，-2.5)，該坐標是末端固連系xeyeze相對于慣性系xMyMzM的描述，過程中微機械臂對柔性基座的反作用及彈性位移如圖6所示。

圖6 柔性基座振動位移及其反作用Fig.6 Vibration deformations and reaction of the flexible base

由圖6知，對機械臂采用零反作用的軌跡跟蹤控制時，基座在3個柔性自由度方向所受的反作用力/力矩均為零，因此微機械臂能在完全不激起基座擾動的前提下完成軌跡跟蹤任務，圖7給出了微機械臂在不同視角下的運動軌跡。

圖7 基于零反作用的末端軌跡跟蹤控制Fig.7 Trace of end-effector based on reaction null-space control

4 結束語

本文將柔性關節宏機械臂等效為柔性基座，經數值仿真證實兩者動力學特性的一致性。基于該簡化模型能方便地得到柔性宏機械臂在各種構型下的固有頻率，宏機械臂伸展程度越高，固有頻率越低，反之。將零反作用軌跡跟蹤法成功應用于真實結構的柔性基座機械臂的運動控制中，使得微機械臂在不引起基座擾動的前提下完成軌跡跟蹤任務，為我國空間宏微機械臂在軌級聯操作提供了借鑒意義。本文中的仿真是以大臂位于奇異構型為例進行的零反作用控制，因為奇異構型下的大臂柔性自由度減少，柔性基座機械臂的反作用零空間維度相應增大，因而小臂在完全不引起基座擾動的前提下能完成更高維度的軌跡跟蹤任務。對于大臂其它非奇異的構型，可采用模態截斷技術略去柔性基座的高頻響應，利用文中方法可完全消除小臂在運動過程中激起的低頻振動，從而實現基座的抑振控制，提高組合臂末端操作穩定性。