XM23膠的單軸拉伸試驗及超彈性本構模型構建

羅 鵬 孫 亮 程偉華 陳懷軍 羅海燕

（1 中國科學院合肥物質科學研究院，安徽光學精密機械研究所，合肥 230031）

（2 中國科學技術大學，合肥 230026）

（3 中國科學院通用光學定標與表征技術重點實驗室，合肥 230031）

文 摘 XM23膠廣泛應用于航天光學遙感器，用于粘接光學透鏡與金屬結構件，可以起到減振作用。目前對XM23 膠的力學性能的研究都是基于線彈性理論，但XM23 膠是一種高聚合物，表現出非線性特征，無法使用線彈性材料的楊氏模量和泊松比進行準確地表征。本文首先通過XM23膠的單軸拉伸試驗測試出該膠的應力應變數據，基于超彈性理論，嘗試運用3 種超彈性本構模型進行數據擬合。分析發現，Mooney-Rivlin 3 參數本構模型最適于表征XM23膠的力學性能，其本構模型材料參數C10為-0.205 9 MPa、C01為0.688 8 MPa、C11為0.055 7 MPa。利用此本構模型使用有限元軟件模擬了該膠的單軸拉伸試驗，仿真得到應力應變數據在誤差范圍內與試驗數據一致。XM23膠的超彈性本構模型構建為XM23膠的膠接結構有限元建模提供了理論和數據支撐。

0 引言

XM23 膠是一種室溫硫化聚硫密封劑，對金屬、玻璃等具有良好的粘接性能，耐濕熱和淡水浸泡，無毒、不易燃燒，能夠防止沖擊損傷和機械松動，起到減振、阻尼、防腐和阻燃等作用。

XM23 膠已廣泛地應用于航天光學遙感器，例如用于粘接光學透鏡與金屬結構件，形成柔性安裝結構，既有利于保證透鏡的面形精度，又可以在航天器的發射階段起到減振作用。為定量評估XM23 膠的減振能力，需要充分掌握其力學性能，運用適當的理論模型進行建模和仿真分析。高超［1］通過試驗測定了XM23 膠的楊氏模量，該試驗將XM23 膠作為彈性材料來處理，僅適用于小變形下的近似處理。在有限元仿真分析時，使用彈性理論中的楊氏模量和泊松比兩個參數，不能很好地定義XM23 膠的力學性能。XM23 膠作為一種橡膠，屬于聚合物材料，其存在彈性勢能函數，在卸載時應變能夠自動恢復，應力和應變不再是線性對應的關系，而是以彈性勢能函數的形式一一對應的關系，所以XM23膠屬于一種超彈性材料［2］。本文嘗試基于超彈性理論，采用超彈性本構模型描述XM23膠的力學性能。

1 超彈性基本理論

根據超彈性理論的不同可以將橡膠的超彈性本構模型分為兩種：基于統計熱力學理論的統計模型和基于連續介質理論的系統模型。前者的超彈性理論模型有高斯統計和非高斯統計兩種；后者的模型主要有多項式和Ogden 形式的模型［3］。XM23膠的變形可以視為超彈性材料的均勻變形，且XM23膠具備各項同性的性質，故選取基于連續介質理論的超彈性本構模型來表征XM23膠的力學性能。

以連續介質力學理論［4］為基礎的方法中，用變形張量的三個不變量來表征應變能密度函數W。應變能密度函數可以分為偏差項和體積項兩部分，其多項式形式為：

式中，i、j、N、k為多項式中的項數，可取1，2，3，…；Cij、Dk為材料參數；I1、I2、I3為三個主方向的變形張量不變量。

把一個質點鄰域的變形后坐標x看成變形前坐標X的函數，則變形梯度F如下式（2），它反映了該質點鄰域的變形和運動狀態。

變形梯度能表征剛體轉動和純變形，將變形梯度分解為先變形后轉動，可以得到左Cauchy-Green變形張量B：

式中，λ1、λ2、λ3為三個主方向的伸長比。

依據變形張量不變量與左Cauchy-Green 變形張量的關系，可以推導出三個主方向變形張量不變量與三個主伸長比的關系表達式，如下式：

因為橡膠是不可壓縮材料，故體積項為0，即：

則根據式（1）應變能密度函數為：

對于均勻的應變，應力、應變和應變能密度函數之間有如下關系：

式中，t1、t2、t3為三個主方向的真實應力，其值受到變形后尺寸的影響。

三個主方向的真實應力ti、伸長比λi及工程應變εi存在如下關系：

式中，ti、σi、λi中的i為項數，取值為1，2，3。

2 單軸拉伸試驗

單軸拉伸試驗具有試驗方法簡單、價格低廉和效率高等優點，在工程上和科研中被廣泛采用，用來測量材料的力學性能。本文通過單軸拉伸試驗來獲取XM23膠超彈性模型的材料參數［5］。

2.1 原材料

XM-23 膠由北京航空材料研究院研制，由4 個組分按一定比例混合而成：具體包括基膏（聚硫橡膠）、F-44增黏劑、28號硫化劑和促進劑D。

2.2 XM23膠試樣制備

XM23 膠試樣的成分占比和含量如表1所示，制作試樣，尺寸如圖1所示，固化時間為3 d［6］。

圖1 XM23膠試樣尺寸Fig.1 Size of XM23 glue sample

表1 XM23膠的組分含量Tab.1 Component content of XM23 glue

2.3 試驗過程

采用INSTRON6800系列多功能電子萬能材料力學性能實驗機進行，試驗規范依據GB/T 528—2009 硫化橡膠或熱塑性橡膠 拉伸應力應變性能的測定［7］，裝夾方式如圖2所示，試驗拉伸速率為10 mm/min，直到試樣被拉斷為止，每隔0.1 s采集一次數據，獲取試樣一端面的載荷和位移數據，進一步計算拉伸應力和拉伸應變的關系，得到的數據如圖3所示。

圖2 XM23膠的裝夾方式Fig.2 Fixing method of XM23 adhesive

圖3 試驗數據及3種不同超彈性本構模型擬合曲線Fig.3 Experimental data and fitting curves of three different hyperelastic constitutive models

3 單軸拉伸條件下三種超彈性本構模型參數的確定

3.1 單軸拉伸條件下的基本關系

假定單軸拉伸試驗的拉伸方向為方向1，由于該試驗中試樣只有一個拉伸方向，所以λ2=λ3，而對于中等程度伸長率，令λ1=λ，代入式（5），得：

將式（10）代入式（4），得：

單軸拉伸三個主方向的工程應力為：σ1=σ，σ2=σ3= 0，工程應變為ε1=ε，又由式（8），有t1=σ1λ1，t2=t3= 0，代入式（7）中，得：

將式（9）代入式（12），得：

基于連續介質理論超彈性本構模型有多種，如Neo-Hooken 超彈性本構模型［8］、Mooney-Rivlin 3 參數超彈性本構模型［9-10］和Yeoh 三階超彈性本構模型［11］，利用式（13），推導出3 種超彈性本構模型的應力和應變之間的關系式，利用XM23膠的單軸拉伸試驗數據進行擬合，計算出其材料參數及擬合的和方差。

3.2 Neo-Hooken超彈性本構模型

若設在j≠0 時，所有Cij= 0，根據式（6）得到多項式模型［8］，其應變能表達式如下：

當N=1 時，根據式（14）可得到Neo-Hooken 超彈性本構模型，其應變能表達式如下：

式中，C10=，μ為初始剪切模量。

將式（15）對I1、I2求偏導數，得：

把式（16）代入式（13）中，得：

3.3 Mooney-Rivlin 3參數超彈性本構模型

當N=2 時，根據式（6）得到Mooney-Rivlin 3 參數超彈性本構模型［9-10］，其應變能表達式如下：

將式（18）對I1和I2求偏導數，得：

把式（4）、式（9）和式（19）代入式（13）中，得：

3.4 Yeoh超彈性本構模型

當N=3 時，根據式（14）可得到Yeoh 超彈性本構模型［11］，其應變能表達式如下：

將式（21）對I1、I2求偏導數，得：

把式（4）、式（9）和式（22）中代入（13）中，得：

4 結果與討論

根據上述對單軸拉伸條件下應力和應變關系的分析，應用3種超彈性本構模型的應力-應變關系式，使用Matlab軟件對單軸拉伸試驗數據進行擬合，求解出這3種超彈性本構模型的材料參數和擬合的和方差，如表2所示，Matlab軟件中的擬合曲線如圖3所示。

表2 3種超彈性本構模型的材料參數和擬合的和方差Tab.2 Material parameters and fitting sum variances of the three hyperelastic constitutive models

比較這3 種模型擬合和方差發現，Neo-Hooken模型的和方差較大，Yeoh 三階模型和方差較小，Mooney-Rivlin 3 參數模型的和方差接近于零，故使用Mooney-Rivlin 3 參數超彈性本構模型表征XM23膠的力學性能。此外，在小應變下（0～0.1%），XM23膠的應力-應變呈線性關系（圖3），斜率約為2.51，即XM23 膠的楊氏模量約為2.51 MPa，這與高超［1］測得的XM23膠的楊氏模量在誤差范圍內一致。

5 有限元模型驗證

基于以上試驗和擬合，可知利用Mooney-Rivlin 3 參數超彈性本構模型來表征XM23 膠的力學性能，使用Ansys有限元軟件模擬單軸拉伸試驗，單軸拉伸試驗試樣如圖1所示，由于試驗試樣兩端為夾持部分，對模型進行簡化，在模擬時忽略，得到的有限元仿真模型如圖4所示。

圖4 有限元仿真模型Fig.4 Finite element simulation model

試樣采用3D 四面體進行網格劃分，單元尺寸為0.5 mm。試樣的材料屬性定義為Mooney-Rivlin 3參數超彈性本構模型，其參數為：C10=-0.205 9 MPa、C01=0.688 8 MPa、C11=0.055 7 MPa。在試樣一端固定約束，在試樣的另一端施加位移，位移速率為單軸拉伸試驗的速率，其值為10 mm/min。施加時間為210 s。其仿真得到的應力云圖和應變云圖如圖5所示，應力和應變分布比較均勻。

圖5 應力和應變云圖Fig.5 Stress andstrain nephogram

得到施加位移一端面的拉伸力和拉伸位移，將拉伸力除以試樣初始的橫截面積，將拉伸位移除以初始試樣的長度，得到拉伸應力和應變，利用Mooney-Rivlin3參數模型進行擬合，得到的擬合曲線如圖3所示，其材料參數及誤差如表3所示，三個材料參數的誤差均小于工程應用中的10%誤差數值，利用試驗的應力和應變數值作為基準，計算仿真數據擬合和試驗數據擬合的應力誤差，將不同應變下的應力誤差繪制成曲線，如圖6所示。單軸拉伸試驗數據點幾乎落在Ansys 仿真的應力-應變曲線附近，驗證了XM23膠超彈性本構模型的正確性。

表3 使用試驗數據合和仿真數據擬合的材料參數Tab.3 Material parameters fitted with test data and simulation data

圖6 應力誤差曲線Fig.6 Stress error curves

6 結論

（1）應用超彈性本構模型能夠更準確地表達XM23 膠的力學性能，XM23 膠的應力與應變的關系在小應變下呈線性關系，其楊氏模量為2.51 MPa；在大應變下，呈非線性關系。

（2）通過對比分析，發現Mooney-Rivlin 3 參數模型擬合的和方差最接近于零，故選用Mooney-Rivlin 3參數超彈性本構模型來表證XM23膠的力學性能。

（3）使用Mooney-Rivlin 3 參數超彈性本構模型來表征XM23 膠的力學性能，其材料參數為：C10=-0.205 9 MPa、C01=0.688 8 MPa、C11=0.055 7 MPa。

（4）將得到的XM23膠的超彈性本構模型參數在ansys軟件中進行單軸拉伸試驗仿真，得到的應力-應變曲線能夠與單軸拉伸試驗的應力應變數據吻合，驗證了XM23膠超彈性本構模型的正確性。

XM23 膠的力學行為復雜，用Mooney-Rivlin 3 參數模型能夠準確表達XM23 膠的力學性能，為XM23膠的膠接結構力學分析提供了理論和數據支撐，可以運用于相關部組件的建模和力學分析。