構建開放性課堂　促進學生自覺體悟

李琳琳

開放性的課堂有利于提升學生的想象、發散、概括等思維能力，主動探究問題、自主解決問題的能力。其關鍵在于引導學生在具體課堂情境中進行自覺體悟，獲得知識經驗，提升思維品質。在立足課堂開放的基礎上，以“一次函數、一元一次方程和一元一次不等式”為例，筆者對自覺數學課堂教學模式進行了實踐與思考。

一、教學目標

經歷一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間關系的探究過程，理解和掌握這三者之間的轉化關系；在探究三者關系的過程中，體會方程、不等式、函數中蘊涵的模型思想，并且對這三種數學模型間的關系有本質的理解；在探究問題的過程中，感受數學模型的價值，體會數學知識之間的聯系、數學與生活的聯系，激發學生興趣，培養學生執著的探究態度。

二、教學重難點

重點：理解并掌握一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系，體會數學知識之間的聯系。難點：結合圖像理解一次函數、一元一次方程與一元一次不等式之間的關系。

三、教學過程

1. 自覺思考

師：同學們，開學以來我們主要學習了一元一次不等式，那么在這之前我們還學習過哪些和“一次”有關的數學知識？

生1：一次函數。

生2：一元一次方程，一元一次不等式組。

……

師：同學們回答得都很好，一次函數、一元一次方程和一元一次不等式之間有什么關系呢？今天我將和大家一起來探索它們之間的內在聯系。

設計意圖：這一環節的設計一方面在于激發學生的好奇心，進而產生學習的興趣；另一方面讓學生感到新內容是“有備”而來的，新內容是由數學知識的內部結構“自然生發”的，是“數學自身發展”的需要。

師：在生活中我們可能會遇到這樣的情境。一根長20cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體，在彈簧伸長后的長度不超過30cm的限度內，每掛1kg的物體，彈簧伸長0.5cm。如果所掛物體的質量是x kg，彈簧的長度是y cm，你能寫出y與x之間的函數關系式嗎？

生3：y=0.5x+20。

生4：我認為還要寫出x的取值范圍，20[≤]x[≤]30。

師：這兩位同學回答得都很棒，在考慮實際問題的函數關系式時，我們通常要考慮自變量的取值范圍。

設計意圖：從熟悉的生活情境彈簧問題入手，引出本課的問題，回顧函數相關知識，同時使學生感受函數模型是探討實際問題的基礎模型；問題起點較低，全部學生都能夠順利、有效地進入課堂探討氛圍，讓每個學生都有學好的信心。

2. 自主探究

師：剛才同學們成功列出了函數表達式，下面請同學們來求一求此彈簧所掛物體的最大質量，把你的想法寫出來并和小組其他同學交流方法的異同。（教師巡視并對有困難的小組給予指導。）

設計意圖：首先，讓學生進行獨立思考和探索，在自我嘗試的過程中，提高自己分析問題和解決問題的能力；其次，小組內部的交流過程是學生思維火花的碰撞過程，可以幫助學生從多角度、多方面來思考問題，從而助推思維的提升。

師：同學們都用自己的方法求出了此彈簧所掛物體的最大質量，小組內有不同意見的請小組長來給大家展示小組成果。

生5： 因為彈簧伸長后的長度不超過30cm，所以0.5x+20[≤]30，得x[≤]20。所以最大質量為20kg。

生6： 因為彈簧伸長后的長度最大為30cm，彈簧最長的時候所掛的物體的質量是最大的，所以0.5x+20=30，得x=20，最大質量為20kg。

生7：還可以畫出函數圖像，通過觀察圖像來解決。

設計意圖：將學生的方法和想法充分挖掘并進行比較，讓學生感受不同方法之間的內在聯系，初步感受函數、方程、不等式這些數學模型的關系并建立聯系，體會數學方法和數學模型的本質。

師：下面，我們將方程和不等式這兩種方法做比較，對于函數y=0.5x+20，方法①，當y=30時，0.5x+20=30，得x=20；方法②，當y[≤]30時，0.5x+20[≤]30，得x[≤]20。兩種方法分別是借助一元一次方程和一元一次不等式解決的，那么請同學們觀察這里的①和②，什么情況下可以借助方程來解決，什么情況下可借助不等式來解決呢？

生8：在函數表達式中，當一個變量的值確定時，可以利用一元一次方程來求另外一個變量的值。

生9：當一個變量的取值范圍確定時，可以利用一元一次不等式來求另外一個變量的取值范圍。

師：這兩位同學總結得都很好，下面我們進行小組合作，小組長指定變量的值或取值范圍，組員們合作求解另一個變量的值或取值范圍。

（教師巡視小組合作的情況。）

設計意圖：教師適時點撥和引導，充分展開新知的發生和發展過程，給學生足夠的時間進行探索和交流。這里的交流不僅是師生的交流，生本的交流，更重要的是生生的交流。一方面讓新知在自然而然的情況下滲透到學生的認知中，另一方面讓團隊合作的意識在學生頭腦中樹立起來。

師：通過剛才的合作，你們有什么疑問嗎？

小組長1：對于一元一次方程中變量的確定，我們沒有什么問題，但對于一元一次不等式，當我指定x<10時，我們小組在求解y的取值范圍時遇到了困難。

師：你的問題提得太有價值了。哪位同學來幫他解答一下？

小組長2：先對函數表達式y=0.5x+20進行變形，用y來表示x為x=2y-40，再根據x<10，所以2y-40<10，得y<25。

師：這位同學解答得太棒了！以上我們從數值計算角度了解了這三個“一次”之間的關系，下面再讓我們通過圖像來觀察三者關系的玄妙。

（教師利用PPT和幾何畫板展示。）

設計意圖：教材上的內容比較淺顯，此處借助動畫從函數圖像角度觀察值確定和范圍確定的內容是筆者在二次備課中添加進去的，一方面讓學生感受數與形的結合，增強學生的形象思維能力，引導學生從直觀的角度來深化新知；另一方面為解答九年級二次函數的綜合性題目打基礎，更好地培養學生借助圖像來分析問題和解決問題的能力。

3. 自覺內化

師：下面就讓我們試著用以上方法來解決一些問題。

例1 已知一次函數y=2x+4，（1）你能分別說出當y=0、y>0、y<0時，對應的x的值嗎？（2）你還能寫出當-2<y<8時，對應的x的值嗎？

設計意圖：使學生能夠熟練運用數值計算的方法（借助一元一次方程、一元一次不等式和一元一次不等式組）來解決問題，進一步促進學生深入理解三個“一次”之間的關系這個核心知識。

4. 變式引領

例2 根據一次函數y=2x+4的圖像，你能說出2x+4=0、2x+4>0、2x+4<0的解（或解集）嗎？（圖像略。）

變式1 根據一次函數y=2x+4的圖像，你能說出2x+4=2、2x+4>2、2x+4<2的解（或解集）嗎？（圖像略。）

變式 2 如圖1，函數y=ax+b，則ax+b=0的解為__________，ax+b≥0 的解集為__________， ax+b<0的解集為__________。

師：通過以上練習，你對三個“一次”又有了哪些新的理解？

生10：不用解方程和不等式，只要借助函數圖像也可以解出一元一次方程和一元一次不等式。

設計意圖：這里的變式引領是例1解法策略的變式，旨在引導學生借助函數圖像來解決一元一次方程和一元一次不等式的問題。八年級的學生比較擅長利用數值計算解方程和不等式，對于借助圖像來分析問題和解決問題的能力還比較薄弱。變式引領從簡入難，打破學生思維上的封閉性，滲透數形結合的思想方法。尤其是變式2，只能借助圖像來解決。

5. 回歸生活

一艘輪船以20km/h的速度從甲港駛往160km遠的乙港，2h后，一艘快艇以40km/h的速度也從甲港駛往乙港。（1）分別列出輪船行駛的路程（y1）和快艇行駛的路程（y2）與輪船時間（x）之間的函數表達式。（2）何時輪船行駛在快艇的前面？（3）哪一艘船先駛過60km處？哪一艘船先駛過120 km處？

設計意圖：設置有一定生活背景的實際問題，讓學生感受數學來自生活，數學也服務于生活，數學無處不在，進而增加學生學習數學的興趣。同時，對于同一個背景，學生們給出了不同的解題方法。

6. 回歸基礎

讓學生再次瀏覽教材，并完成課后練習。教師批改組長作業，組長批改小組成員作業，及時反饋。小組內部合作，對學有疑惑的學生進行及時點撥。

7.平等對話

師：通過本節課的探究，你有哪些收獲？

生11：我明白了一元一次不等式、一元一次函數、一元一次不等式的關系。

師：你還掌握了哪些數學方法？

生12：數形結合的思想方法。

生13：轉化的思想方法，比如：將函數的問題轉化成方程或不等式問題。

師：大家總結得真棒！你還有哪些疑惑？

生14：一道題目既然可以用不同的方法進行解決，那么哪種方法比較簡便呢？

師：同學們，你們對他的這個問題有哪些想法？

生15：直接解方程和不等式比較簡單。

生16：我的看法不同，有的題目是不能直接解方程或不等式的，要借助函數圖像。

生17：綜合這兩位同學的經驗，我進行一個綜合，要看具體的問題而定。如果題目中已經給出了圖像就用圖像的方法。

師：大家的發言都很精彩，老師都忍不住要為你們鼓掌了！

8.自覺生成

師：這節課的內容我們已經探究完了，現在請同學們將這節課中你最感興趣的一道題仿編成一道新題，選擇你喜歡的方法進行解答，并與同桌交流自己的想法。

五、教學反思

1. 以學生自主參與為基礎，讓學生獲得體驗

本節課的設計立足學生的“自覺學習”，通過一系列教學環節為學生量身打造更加符合學生認知規律的課堂，把核心知識的探究交給學生。本節課由熟悉的彈簧問題，引出問題，回顧函數相關知識，同時使學生感受函數模型是探討實際問題的基礎模型；問題起點較低，吸引全部的學生都能夠順利、有效地進入課堂探討氛圍，讓每個學生都有學好的信心。

2. 以學生活動思考為主線，讓學生主動建構

獨立探索、小組合作、組間互助、平等對話，本節課用這些學習方式的有機融合來提升學生的學習力，讓學生的學習有趣、有味，同時也達到了活動“動而有得”的目的。在學生活動中，不僅充斥著學生們別樣的激情和靈氣，更體現了學生的活力和創造力，有助于造就學生良好的陽光品質。

3. 以學生獲取知識為目的，讓學生形成技能

“學生獲取知識”和“教師完美講授”，兩者何為課堂的重心？筆者更贊同的是前者，《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調的也是學生獲取知識和形成技能。本節課的各個環節均立足于學生對知識的接受程度，以學生的“學”來確定教師應當如何“教”。環節“變式引領”則讓學生在獲取知識的基礎上，形成真正屬于自己的技能。另外，函數圖像的強化，則更多地考慮學生的長遠發展，提高學生借助圖像分析問題的能力。

4. 以學生經歷過程為根本，讓學生獲得發展

在環節“自覺思考、自主探索、自覺內化、回歸生活、回歸基礎”中，學生可以充分體會數學知識的形成與發展過程。數學知識的發展不是零碎的，也不是空降的，而是遵循著一定的規律自然而然生成的，這也有利于學生建立自己的知識模塊。

（作者單位：江蘇省常州市麗華中學）