紙杯游戲

同學們都使用過一次性紙杯，這是在家庭和公共場所常見的飲水用具。一般來說，紙杯由紙杯體和紙杯底組成，沒有蓋子，外觀是圓臺模樣。什么是圓臺呢？圓錐的底面和平行于底面的一個截面之間的部分，就是圓臺。

除了用來喝水，人們還發明了很多可以用紙杯來玩的數學游戲，比如將紙杯按照一定的規律壘起來，再計算使用的紙杯的數量；再比如，將紙杯重疊起來，在紙杯外壁寫上數字和運算符號來計算的游戲……除此之外，數學家還發明了一種“翻杯游戲”，這種游戲就有一定難度了，我們可以用接下來的數學實驗感受一下。

動動手

準備材料：

若干個紙杯、筆、紙

實驗步驟：

1 準備2個紙杯，把它們的杯口朝上放置。

2 翻轉這2個紙杯，每次翻1個、2個，讓紙杯最后全都變為杯口朝下放置。通過動手實驗，相信同學們能很快得出結論：每次翻1個紙杯，最少需要2次；每次翻2個紙杯，最少需要1次。把數據記錄在下面的表格中。

3 準備2個紙杯，其中一個杯口朝上放置，一個杯口朝下放置。

4 再次翻轉紙杯，每次翻1個、2個，讓紙杯最后全都變為杯口朝下放置。通過動手實驗，相信同學們能很快得出結論：每次翻1個紙杯，最少需要1次；每次翻2個紙杯，無論如何都不可能將紙杯全都變為杯口朝下放置。繼續把數據記錄在下面的表格中。

5 接下來，增加杯子的數量。準備3個紙杯，將它們全都杯口朝上放置。

6 翻轉這3個紙杯，每次翻1個、2個、3個，讓紙杯最后全都變為杯口朝下放置。試著找到最少需要翻轉的次數，再把數據記錄在下面的表格中。

7 繼續準備3個紙杯，將其中兩個杯口朝上放置，剩下的那個杯口朝下放置。

8 同樣，翻轉這3個紙杯，每次翻1個、2個、3個，讓紙杯最后全都變為杯口朝下放置。試著找到最少需要翻轉的次數，再把數據記錄在右面的表格中。

9 準備3個紙杯，將其中1個杯口朝上放置，其余2個杯口朝下放置。

10 翻轉這3個紙杯，每次翻1個、2個、3個，讓紙杯最后全都變為杯口朝下放置。試著找到最少需要翻轉的次數，再把數據記錄在下面的表格中。

11 再增加杯子的數量。準備4個紙杯，將它們全都杯口朝上放置。

12 翻轉這4個紙杯，每次翻1個、2個、3個、4個，讓紙杯最后全都變為杯口朝下放置。找到最少需要翻轉的次數，再把數據記錄在表格中。

13 接著，調整4個紙杯的杯口方向。調整完后翻轉紙杯，每次翻1個、2個、3個、4個，讓紙杯最后全都變為杯口朝下放置。試著找到最少需要翻轉的次數，再把數據記錄在表格中。表格格式同前。

14 接下來，按照之前的邏輯，繼續增加紙杯的數量，調整杯口的方向。每次翻轉若干個紙杯，讓紙杯最后全都變為杯口朝下放置。試著找到最少需要翻轉的次數，再把數據記錄在表格中。

15 你還可以繼續增加紙杯的數量，然后翻轉紙杯，在表格中填入數據。

知識課堂

在數學競賽中，翻杯問題是一個常見的問題，數學實驗能讓我們更好地理解“翻杯問題”。同學們拿出填好數據的表格，開始分析。

假設紙杯的數量是n個，其中有m個紙杯開始時杯口朝下，剩下的紙杯杯口朝上。每次翻a個紙杯，將紙杯全部翻轉為杯口朝下的最少次數是x次。

通過實驗數據，同學們會得出一些有趣的結論：

1.如果每次只翻1個紙杯，那么，將紙杯全部翻轉的最少次數x=n-m。

2.如果n-m是偶數，a是偶數，我們總是可以把全部紙杯翻轉為杯口朝下。

3.如果n-m是偶數，a是奇數，我們也總是可以把全部紙杯翻轉為杯口朝下。

4.如果n-m是奇數，a是偶數，那么，無論我們怎么翻都無法全部翻轉為杯口朝下。為什么呢？因為一個紙杯想要被翻轉過來，其被翻的次數一定是奇數次，在n-m為奇數的情況下，所有紙杯總共被翻的次數就是奇數個奇數相加，結果還是個奇數，而奇數是無法整除a這個偶數的，所以這種情況無法完成目標。

5.如果n-m是奇數，a是奇數，我們也總是可以把全部紙杯翻轉為杯口朝下，當然，需要的步驟可能稍多，但總能做到。

練一練

1. 有8個杯口全部朝下的紙杯，每一輪可以翻轉3個紙杯，最少需要幾次才能讓紙杯全都杯口朝上？

2. 有7個杯口全部朝下的紙杯，每一輪可以翻轉3個紙杯，最少需要幾次才能讓紙杯全都杯口朝上？

3. 有12個杯口全部朝上的紙杯，每一輪可以將其中5個同時翻轉，最少經過多少次翻轉，杯口可以全部朝下？