多格骨牌游戲（上）

在往期的特別策劃欄目中，我們介紹過一些多米諾骨牌游戲。多米諾骨牌指的是一種用兩個正方形拼起來的長方形骨牌，其長是寬的兩倍。有人在多米諾骨牌的基礎上，將3個、4個、5個甚至更多的正方形拼成多格骨牌來進行游戲，其中有一款非常著名的游戲——俄羅斯方塊就是一種4格骨牌游戲。

在接下來的兩期雜志中，我們將給同學們介紹很多不同類型的多格骨牌游戲。其中提到的所有游戲，同學們都可以用硬紙板剪出多格骨牌來作為游戲道具。

2格骨牌

2格骨牌是由兩個相鄰的、大小相等的正方形組成的長方形。2格骨牌就是多米諾骨牌。

基本信息

形狀 有且僅有1種。

變化 骨牌可以旋轉和翻轉。順時針旋轉90°后，豎著的骨牌會變成橫著的骨牌；左右翻轉后，2格骨牌形狀不變。

游戲玩法

玩法1 網格填充

人數 1人或多人

規則

1 畫一個8×8的正方形網格（確保網格中每個方格和組成骨牌的正方形大小相同，下同），刪掉網格中任意兩個方格（可以用打叉或涂灰表示刪掉這兩個方格），余下62個方格。

2 玩家試著用31塊2格骨牌填滿這個8×8的網格。填滿之后，游戲結束。如果是多人參與，可以記錄每個玩家的游戲時間，看看誰最快完成游戲。

玩法2 對抗游戲

人數 2人

規則

1 畫一個8×8的正方形網格，再準備32塊2格骨牌。兩個玩家各自分得16塊2格骨牌。

2 兩個玩家決定誰先走，其中一個玩家只能水平放置2格骨牌，另一個玩家只能豎直放置2格骨牌。兩個玩家交替進行游戲。

3 游戲的目標是成為最后一個將2格骨牌放入網格的玩家，讓對手玩家無法再放置2格骨牌。

補充：該游戲也可以在其他大小的n×n正方形網格中玩，玩法不變。

數學奧秘

這兩種玩法都是根據“棋盤填充問題”改編而成的。把8×8的正方形網格看作黑白相間的國際象棋棋盤。每一塊2格骨牌將覆蓋一個黑格和一個白格。因此，對玩法1，想要用2格骨牌覆蓋國際象棋棋盤，刪掉的兩個方格必須是不同顏色的。對玩法2，到了游戲的后半程，網格中的空白區域變少，玩家可以通過準確計算自己和對手剩余的步數，來贏得游戲。

3格骨牌

3格骨牌是由3個相鄰的、大小相等的正方形組成的平面中的多邊形。相鄰的意思是正方形被共同的邊連接在一起。

基本信息

形狀 兩種，為了區別，可將之命名為I形和L形3格骨牌。

變化 骨牌可以旋轉和翻轉。L形3格骨牌旋轉和翻轉后，可以得到3個新的形狀。I形3格骨牌則只有旋轉90°后，可以得到1個新的形狀。

游戲玩法

玩法1 網格填充

人數 1人或多人

規則

1 畫一個8×8的正方形網格，刪掉網格中任意一個方格（可以用打叉或涂灰表示刪掉這個方格），余下63個方格。

2 用21塊L形3格骨牌填滿網格。如果是多人玩這個游戲，可以統計每個玩家的游戲時間，看看誰最快填滿。

補充：該游戲可以適用于任何2n ×2n 的網格。因為任何一個2n ×2n 的網格去掉一個方格后都可以由若干塊L形3格骨牌填滿。

玩法2 覆蓋圓點

人數 1人

規則

1 畫一個6×6的正方形網格，在其中的12個方格里畫一個圓點。這12個圓點是隨機分布的。

2 準備若干塊I形和L形3格骨牌，在這些3格骨牌的其中一個方格里也畫一個圓點?？紤]到翻轉和旋轉，如下圖所示的圓點一共有6種形式。

3 用這若干塊3格骨牌去覆蓋6×6的網格，使得3格骨牌的圓點和6×6網格里的圓點重合。

4 因為12個圓點是隨機分布的，所以有時可能會出現無法用骨牌完全覆蓋網格的情況。這時，只要在圓點重合的情況下，盡可能覆蓋住更多的方格就可以。

玩法3 棋盤競賽

人數 2人

規則

1 畫一個8×8的正方形網格，再準備若干塊I形和L形3格骨牌。

2 兩個玩家交替進行游戲，在網格中放置骨牌。兩個玩家用猜拳、抽簽等方式決定某個玩家用I形3格骨牌，另外一個玩家用L形3格骨牌。骨牌可以旋轉、翻轉。

3 游戲的目標是成為最后一個將3格骨牌放入網格中的玩家，讓對手玩家無法再放置3格骨牌。

補充：該游戲也可以在其他大小的n×n正方形網格中玩，玩法不變。其中，n最好大于等于5，小于等于10。

數學奧秘

3格骨牌比2格骨牌更復雜，數學家對3格骨牌的研究也更多。多格骨牌實際上是組合幾何的示例，組合幾何是研究幾何形狀組合方式的數學分支。數學家的主要研究方向有兩類：第1類是研究用某一種骨牌填滿某個圖形，如玩法1；第2類是研究用幾種多格骨牌填滿某個圖形，如玩法2和玩法3。

4格骨牌

4格骨牌是由4個相鄰的、大小相等的正方形組成的平面中的多邊形。著名的俄羅斯方塊就是4格骨牌。

基本信息

形狀 5種（翻轉和旋轉后視為同一種）。為了方便區分，人們還給每一種骨牌取了名字。

變化

在上面5種骨牌中，I形、方形、T形4格骨牌是左右對稱的，左右翻轉后形狀不變。但L形和S形4格骨牌左右翻轉后發生了變化。

5種自由4格骨牌加上J形和Z形這2種4格骨牌，這7種骨牌通常被叫作“單面4格骨牌”。

游戲玩法

玩法1 拼出正方形

人數 1人

規則

1 畫一個n×n的正方形網格，要求n大于等于4且必須是偶數。這樣的網格的總方格數一定是4的倍數。下面給出了3個例子。

2 準備若干塊T形和L形4格骨牌（兩種骨牌的數量不等），用這兩種骨牌填滿正方形網格?？梢灾皇褂肨形和L形中的任意一種，也可以兩種都用。骨牌可以旋轉和翻轉。下面展示了兩個例子。

玩法2 拼出長方形

人數 1人

規則

1 準備一組自由4格骨牌（共5塊），用這組自由4格骨牌拼成一個7×3的長方形。要求長方形中有一個空方格。

2 準備兩組自由4格骨牌（共10塊），用這兩組自由4格骨牌拼成一個8×5或10×4的長方形。

3 準備兩組單面4格骨牌（共14塊）。用這兩組單面4格骨牌拼成一個8×7或14×4的長方形。

這是一個成功的例子！其中，I形、方形、T形、L形、J形、Z形和S形4格骨牌各出現了兩次。

玩法3 數字競賽

人數 2人及以上

1 游戲在一個10×10的正方形網格中進行，在網格的左側和上方隨機寫下1～10這10個數字。這些數字表示得分。如下圖所示。有多少人參與游戲就準備多少張這樣的網格。

2 每個玩家準備兩組單面4格骨牌（共14塊）。每個玩家把自己的4格骨牌填到10×10的網格中，某一行、某一列的10個方格完全被骨牌填滿，就可以獲得這一行、這一列的得分。例如下面這個例子。

3 在相同時間里，每個玩家不斷把4格骨牌填入自己的網格中，骨牌可以旋轉，不能翻轉。填完之后，統計每個玩家的得分，誰的分高誰就獲勝。在下面的例子中，玩家A填滿了1行和3列，得到8+10+8+9=35（分），玩家B填滿了3行和2列，得到10+6+9+10+9=44（分）。玩家B獲得勝利！

玩法4 圓周率求和

人數 2人

規則

1 畫一個如下圖所示、由64個半徑相同的圓組成的數字盤。在圓中寫入圓周率的前64位數字。每個圓的直徑和組成骨牌的正方形的邊長相等。

2 兩個玩家各準備一組自由4格骨牌（共5塊），兩個玩家輪流拿起自己的一塊4格骨牌覆蓋在數字盤上，骨牌可以旋轉和翻轉。玩家可以通過抽簽、猜拳等方式決定誰先開始。下面展示了一個例子。

3 就這樣，兩個玩家交替進行游戲，選擇合適的骨牌覆蓋在數字盤上，直到最后，兩個玩家的骨牌都已經放完或者誰無法再放置任何骨牌時，游戲結束。最后，統計兩個玩家覆蓋的數字之和。誰的數字和大，誰就獲得勝利。

對玩家A，數字和是：

13+33+31+12+25=114。

對玩家B，數字和是：

8+33+18+31+25=115！

玩家B以微弱的優勢獲得了勝利！

數學奧秘

拜俄羅斯方塊這個風靡世界的游戲所賜，4格骨牌是數學家研究得最多的一類骨牌。4格骨牌雖然只有5種形狀，但每一種形狀都有很豐富的變化，特別適合與數學運算知識結合起來進行游戲。玩法3和玩法4不但可以鍛煉玩家的空間想象能力，還可以鍛煉玩家的邏輯推理、速算能力。