基于對數—雙曲正切函數的自適應濾波算法及異常點識別

凌俊，黃卓群，李陶勝，王淑芳，夏燕玲

（1.安慶職業技術學院，安徽安慶，246003；2.安徽電信規劃設計有限責任公司，安徽合肥，230031）

0 引言

輪式移動機器人通常采用磁條導航來預設行駛路線，將磁條粘貼在地面上，機器人循跡磁條來進行移動。在行駛過程中，由于實際環境較為復雜，例如磁條兩側會有各種不同的磁性物質而導致的磁條磁場發生變化使得傳感器獲取到包含異常點的信號，從而降低了機器人的行駛平穩性，嚴重時甚至會引起脫軌現象。目前基于最小均方誤差LMS 算法的自適應濾波器被廣泛的應用于系統辨識或系統建模、信號處理等多個領域，但在具體的應用中，始終存在收斂速度與穩態誤差兩者之間的矛盾，為了解決這一矛盾，多種改進的LMS 變步長算法被提出[1～7]，包括基于Sigmoid 函數變步長最小均方算法、歸一化的最小均方算法(NLMS)等，主要可以歸結為用誤差來控制濾波器迭代步長和利用梯度向量來控制步長。文獻[8]提出了一類基于Sigmoid 函數的魯棒自適應濾波算法，該算法優于相應階數的廣義最大熵準則。文獻[9]推導了Prob-LMS 算法的均值偏差和均方偏差，給出了算法的蒙特卡洛仿真，表明算法的優勢。文獻[10]提出了一種基于審查回歸的可變步長LMS，該算法的收斂速度相對于D-LMS 有所提升。文獻[11]提出了一種可變步進大小仿射投影符號算法(APSA)，其魯棒性可抑制脈沖噪聲。文獻[12]提出了一種魯棒的可變步長NLMS 算法，優化了后驗誤差的平方。另外，在文獻[13～17]中，研究了各種不同算法對自適應濾波的影響。表1 給出了幾種常見變步長權值更新的表達式。本文提出了一類基于對數-雙曲正切代價函數的魯棒自適應濾波算法，其權重更新是基于梯度最速下降法， 在所提出的代價函數框架的基礎上，實現了自適應濾波器更快的收斂速度和更小的穩態誤差[18～20]。本文的工作主要包括：提出了一類基于對數-雙曲線正切代價的魯棒自適應濾波算法，驗證該算法的穩定性，以及用仿真結果表明該算法的性能。

表1 常見變步長權值更新

1 代價函數設計

自適應濾波器的期望輸出定義如下：

定義估計誤差ke為：

其中 1kw-是optw在第 1k- 次迭代時的估計值。我們利用雙曲正切函數 tanh(x)和一個正常數α( 0 ＜α＜ 1)來定義所提出的代價函數，我們根據對數—雙曲正切函數，將新的代價函數JT(k)定義為：

其中，J(ek)是具有高階統計量的不同自適應濾波的常規代價函數。(4)中定義的tanh 代價函數框架關于權重向量wk-1的導數為：

其中， ?wk-1J(ek)是常規代價函數的梯度。當參數α選擇不同數值時，對數—雙曲正切代價函數JT(k)與誤差信號ek之間的關系如圖1 所示，梯度函數 ?wk-1J(ek)和誤差信號ek的關系如圖2 所示。

圖1 α 不同時代價函數和誤差信號關系

圖2 α 不同時梯度函數和誤差信號關系

另外，代價函數JT(k)有以下性質：

性質1：代價函數JT(k)在ek∈( -∞,+∞ )上是凹函數

2 對數—雙曲正切最速下降算法

本文提出的魯棒自適應濾波算法的權重向量的更新方程可以表示為：

其中，μ是濾波器的步長，0 1μ＜ ＜ ，將式(5)帶入(6)可得：

根據不同的常規代價函數，我們可以基于提出的代價函數框架得出不同的魯棒自適應濾波算法。

權重更新公式可以統一表示為：

其中，f(ek)是非線性誤差函數。fcon(ek)是相應的常規誤差非線性函數。使用不同的代價函數J(ek)，我們可以得到不同的誤差更新方法和自適應濾波器，其中包括對數-雙曲正切最小均方(LHTLMS)算法，對數-雙曲正切絕對(LHTA)算法，對數-雙曲正切均值第四(LHTF)算法。將這幾種算法進行對比，對比結果如表2 所示。

表2 比較基于LHT成本的自適應濾波器

3 性能分析

為了驗證算法的效果，并使后文的分析易于處理，我們先給出以下五個假設：

(1)測量噪聲kv是零均值獨立且均等分布高斯隨機序列，并且與輸入信號kX無關。

(2)先驗誤差ea,k為零均值，并且獨立于測量噪聲vk。

(3)自適應濾波器足夠長，使得對于任何常數矩陣∑以及對于所有k、都為高斯聯合，而f2(ek)不相關。

(4)輸入信號{Xk}為零均值，即具有自相關矩陣

3.1 穩定性分析

我們定義權重向量誤差，先驗誤差、加權先驗誤差分別為：

其中∑表示對稱正定權矩陣。 因此，系統輸出誤差與先驗誤差之間的關系為：

根據上式(15)能夠得到需要估計的穩態超額均方誤差（EMSE）。對(15)式取極限k→∞，再帶入其中可求得EMSE，為了便于表達,我們將得到的穩態EMSE 通過ξ表示為：

其中ξT表示所提出算法的穩態EMSE，而ξcon表示相應常規算法的穩態EMSE。因為我們知道 - 1 ＜ tanh (αek2)＜ 1，所以能夠得到：

接下來，我們研究穩態均方差（MSD）。首先，將MSD 定義為：

選擇 ∑ =R-1，再運用假設(4)，MSD 可以表示為：

其中L 是濾波器長度，Tr(R)是矩陣R 的跡，當MSD滿足上述條件時，濾波器能夠達到穩定。

3.2 均方穩定性

將濾波器的形式表示為：

其中：λ是與使用估計隨機量的相關的克拉美-羅下界。將常數矩陣∑設置為I,最終可以得到：

當濾波器的步長滿足上述條件時，濾波器能夠達到均方穩定。

4 算法驗證

在本文的設計中，我們選取的輪式搬運機器人的簡易模型如圖3 所示。

圖3 整車樣機圖

在本節中，我們通過仿真來驗證LHTLMS 算法，學習曲線與迭代次數之間的關系如圖4 所示。根據仿真結果可以看出，在選取 =1α時，曲線的效果較好，且迅速下降并趨于穩定。

圖4 LHTLMS 算法在α=1 時的學習曲線

根據實驗結果仿真圖，可以看出，對于LHTLMS 算法，當 =1α時，算法的收斂速度要比 =0.1α時更快，在達到收斂后的曲線平穩性更好，并且權值w更新在達到一個相對穩定的狀態后的效果是要優于 =0.1α時的效果的，在 =0.1α時，權值迭代后的曲線并不是很穩定，產生的波動較大。在相同的環境下，對LHTA 和LHTF 算法仿真后，根據仿真結果，可以得出，在改進的這一類算法中，對數-雙曲正切均值第四算法（LHTF）的收斂速度和穩定性都要優于另外兩個算法，在進行少數迭代之后，學習曲線就能達到穩定狀態，不產生任何波動，并且權值更新的穩定性也更好，曲線更加平穩，接近于直線。因此在對磁導航信號的濾波過程中，LHT類算法能夠起到較好的濾波效果，在這類算法中，LHTF 算法能的較于另外兩種算法更好。

圖5 LHTLMS 算法在α=1 時權值更新

將所提出的算法與具有相同迭代次數的LMS算法比較，可以看出，在相同的迭代次數下，與傳統的LMS 算法相比，新提出的算法具有更好的收斂性和穩定性，能在迭代次數很小時就達到較小的穩定誤差和收斂條件。

5 總結

在本文中，根據仿真結果，與LHT 類算法對比,在相同的模擬含野點信號的混合信號的采集情況下，LHT 類算法的收斂速度是要優于LMS 和signLMS 的速度，尤其是LHTF 算法的收斂速度，且在達到穩定狀態之前，LHT 類算法的波動是小于LMS 和signLMS 算法的。LMS 算法的權值w更新的速度和效果比LHTLMS 更快，但效果與LHTF算法在 =1α時相比時相差無幾，且優于signLMS 算法。signLMS 算法的權值更新結果在達到穩定后仍然會在一個小范圍內波動，當α取0.1 和1 時，算法的權值更新結果基本相同，但 =1α時的收斂速度是快于 =0.1α的，這個結果與LMS 算法的結果是相似的。另外，我們對提出的算法進行了均方誤差分析，求解出均方穩定性的條件。同時，仿真結果驗證了理論推導的正確性。仿真結果表明，新提出的一類算法的穩態誤差保持在一個較小的區間，比LMS 算法等具有更好的穩定性和更快的收斂速度。

圖6 LHTLMS 算法在α=0.1 時的學習曲線

圖7 LMS 算法在α=1 時的學習曲線