融合反向學習和黃金正弦的改進粒子群算法

張慧峰 鄒德旋 劉樹趙 李夢迪

摘? 要： 提出一種融合反向學習和黃金正弦的改進粒子群算法。通過反向學習策略優化初始種群的質量，提高算法的收斂速度；結合黃金正弦算法優化位置更新公式，并通過雙面鏡理論處理邊界外的粒子，使粒子在搜索空間內分布更均勻，增強算法的搜索能力；利用柯西變異的方法對全局最優粒子的位置進行擾動，提高粒子跳出局部最優的能力。對8個測試函數進行實驗，并與其他的五種算法進行比較，結果表明，本文改進之后的粒子群優化算法有著更快的收斂速度和更高的尋優精度。

關鍵詞： 粒子群算法； 反向學習； 黃金正弦算法； 雙面鏡理論； 柯西變異

中圖分類號：TP391? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1006-8228（2023）04-48-05

Abstract： Aiming at the shortcomings that particle swarm optimization is easy to fall into local optimum and the search accuracy is not high， an improved particle swarm optimization algorithm combining opposition-based learning and golden sine is proposed. The quality of the initial population is optimized by the opposition-based learning strategy to improve the convergence speed of the algorithm. The golden sine algorithm is used to optimize the position updating formula of the algorithm， and the particles outside the boundary are processed with the double-faced mirror theory to make the particles more evenly distributed in the search space and enhance the search ability of the algorithm. Finally， the Cauchy mutation method is used to perturb the position of the global optimal particle to improve the ability of particles to jump out of the local optimum. Eight test functions are tested and compared with other five algorithms. The results show that the improved particle swarm optimization algorithm has faster convergence speed and higher optimization accuracy.

Key words： particle swarm optimization; opposition-based learning; golden sine algorithm; double-faced mirror theory; Cauchy mutation

0 引言

粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization， PSO）于1995年由Kennedy和Eberhart提出，是一種模擬鳥群覓食行為而發展起來的集群體協作和信息共享的群體智能優化算法[1]。具有參數較少、操作簡單、收斂速度快等優點，在神經網絡、圖像處理、電力系統經濟調度、工程技術的優化和最優控制等領域都有著廣泛的應用。但是在粒子群算法的搜索后期，由于種群多樣性的降低，算法容易面臨局部最優的問題，從而影響尋優效果。

為了解決上述問題，針對粒子群算法的改進主要在于以下幾方面：算法的參數調整、學習策略、拓撲結構、結合其他優化算法。Shahgholian等[2]采用改進的自適應慣性權重的方法，平衡算法的全局開發能力和局部搜索能力。蘇攀等[3]在初始化種群時，引入Logistic混沌映射，提高了初始種群的質量，優化了算法的性能。Zou等[4]對粒子進行柯西變異，利用柯西分布的特性來提高種群的多樣性，降低了粒子群算法陷入局部最優的可能性。梁田等[5]利用了萊維飛行策略來改進算法的位置更新公式，能有效地幫助粒子逃離局部最優。Lu等[6]提出了一種自適應模擬退火粒子群優化算法，結合退火操作，提高了算法尋找最優解的能力。

以上的改進策略在一定程度上提高了粒子群優化算法的性能，但依舊有所不足。為了增強算法的搜索能力，提高種群多樣性，本文提出了一種融合反向學習和黃金正弦算法的改進粒子群優化算法（IPSO）。采用反向學習策略優化初始種群，提升收斂速度；結合黃金正弦算法更新個體的位置，能有效提升算法的局部搜索和全局開采能力；結合雙面鏡反射理論，處理超出邊界之外的個體，使其均勻地分布在邊界內；利用柯西變異策略，對最優個體的位置進行擾動，提高算法跳出局部最優的能力。

1 基本粒子群算法

粒子群優化算法屬于進化算法的一種，通過適應度值來評價解的品質，追隨當前搜索到的最優值來更新個體[7]。基本粒子群優化算法的步驟主要有以下幾步。

步驟1 初始化種群，給定算法的各個參數。

步驟2 通過已有的目標函數，計算每個個體的適應度值。

步驟3 更新個體的速度和位置。更新公式：

步驟4 更新個體最佳位置和群體最佳位置。并判斷是否滿足終止迭代條件，若滿足，則停止并輸出最終結果；若不滿足，則返回繼續執行算法。

2 融合反向學習與黃金正弦算法的改進粒子群算法

2.1反向學習策略

進化算法的執行時間與初始種群中個體和最優個體的距離有關，若是個體在最優位置附近產生，那么此次迭代過程中種群會快速地收斂。隨機生成的個體，它的收斂速度是未知的，若是考慮其反向個體[8]，那么個體更靠近最優粒子的概率和反向個體更靠近最優粒子的概率都是50%，選擇更靠近最優粒子的個體放入初始種群中，這樣初始種群的質量得到提高，算法的收斂速度得到提升。反向個體的計算公式：

其中，[X]是隨機產生的個體位置，[X]是反向個體的位置，lb和ub分別是搜索范圍的邊界。

初始化種群的具體步驟為：

步驟1 隨機生成種群大小為N的種群IP；

步驟2 通過公式⑶生成每個個體的反向個體，組成反向種群OP；

步驟3 計算所有個體的適應度值，按照從大到小的方式排序，選取適應度值靠前的N個個體組成參與優化的初始種群。

2.2 位置更新方式改進

⑴ 黃金正弦算法

Tanyildizi于2017年提出了黃金正弦算法（Golden Sine Algorithm，Golden-SA）[9，10]。根據正弦函數和單位圓的關系，黃金正弦算法可以遍歷正弦函數上所有的點，對整個單位圓的掃描類似于優化問題中對空間的搜索。同時，在搜索的過程中使用黃金分割法以便掃描產生較好結果的區域，縮小搜索空間，既能提高收斂速度，也能夠平衡全局搜索能力和局部搜索能力，提高求解的精度。

融合黃金正弦算法的位置更新公式⑷如下：

式⑸、式⑹中，[τ]是黃金分割數，取值為[1-5/2]，a和b是黃金分割搜索方法的范圍，文中[a=2-2（2?t）/T]，b的值為1。

⑵ 雙面鏡反射理論邊界優化

一般優化算法處理超出邊界的個體時，會直接賦予個體上邊界或下邊界的值，這也導致了解在邊界處聚集，在其他區域分布稀疏。算法的個體分布不均，也會直接影響算法的性能。

一般優化算法在處理邊界問題時的方法如下：

其中，y是邊界處理后的個體的位置，ub是上邊界，lb是下邊界，通過公式⑺將所有超出邊界的個體投影至邊界上。

本文采用的雙面鏡反射邊界處理方法[11]，把上下邊界ub、lb當作兩面鏡子，y當作傳播的光束，y的大小為光強。光束經過多次反射后，由于中間介質損耗，最終在邊界內的[y']處消失，如圖1所示。因此，[y']就是y在邊界內的投影。通過此方法，可以有效解決邊界處理時分布不均的問題。

雙面鏡反射邊界處理方法為公式⑻：

2.3 柯西變異

在算法的迭代后期，由于種群多樣性的減少，粒子群優化算法容易陷入局部最優。本文采用柯西變異[12]對最優粒子的位置進行擾動，提高其跳出局部最優的能力。如圖2所示，相比于高斯變異，柯西變異的兩端有著更長的分布，這增加了種群個體之間的差異性，使算法有更大的可能跳出局部最優。同時，柯西分布的峰值相較于高斯分布的峰值更小，這意味著在搜索空間的時候，柯西變異所花費的時間更少。

個體變異的概率計算：

其中，[w2，w1]取值分別為0.5和0.1，T為最大迭代次數，t為當前迭代次數。

個體最優位置擾動由公式⑽計算而來：

其中，[Gbest]為當前群體最優位置，[Gbest]為經柯西變異后的群體最優位置，[rCauchy]為柯西隨機數，通過公式⑾計算而來。通過適應度函數計算變異后的群體最優粒子的適應度，與原本的群體最優粒子的適應度作對比，若是效果更好，則保留；反之，則舍棄，保持原本的結果。

2.4 算法實現

算法的實現步驟如下：

步驟1 初始化參數。包括種群規模N，最大迭代次數T，維度D，搜索空間的上下邊界ub和lb，速度限制Vmax和Vmin；

步驟2 隨機生成一個種群IP，利用反向學習策略生成它的反向種群OP，計算IP與OP中每個個體的適應度并排序，選擇排名靠前的N個個體組成初始種群；

步驟3 結合黃金正弦算法對粒子群優化算法的位置更新公式進行改進，利用雙面鏡反射原理，處理超出邊界之外的個體；

步驟4 通過柯西變異策略對群體最優位置進行擾動，計算擾動之后的適應度，若得到的結果更好，則替換原本的群體最優；否則，保持原本的結果；

步驟5 更新個體最優與群體最優的位置；

步驟6 判斷算法是否滿足終止條件，若滿足，則停止算法，輸出最終結果；若不滿足，則返回步驟2。

3 仿真實驗與結果分析

3.1 基本測試函數

為了驗證本文算法的有效性，選取8個不同特性的基本測試函數，與粒子群優化算法（PSO）、均值粒子群優化算法（MPSO）[13]、基于競爭學習的粒子群優化算法（CLPSO）[14]、一種自適應模擬退火粒子群算法（ASAPSO）[15]和具備自糾正和逐維學習能力的粒子群算法（SCDLPSO）[16]在30維、60維、100維不同維度上進行對比。8個測試函數的詳細信息如表1所示。其中，[f1、f2、f3、f4、f5]是單峰函數，主要用于檢驗改進之后算法的收斂性能和尋優性能；[f6、f7、f8]是多峰函數，目的是檢驗算法逃離局部最優的能力。

3.2 參數設置

本文采用Matlab軟件進行仿真，每個算法設置相同的種群規模[N=30]，最大迭代次數[T=500]，維度D分別為30維、60維、100維，其余參數與原文保持一致，具體可見表2。每個算法獨立運行50次，取其平均值和標準差兩項數據作對比，來評價算法的性能，具體見表3。為了更直觀地展示每個算法的優劣，圖3～圖8給出了在[D=60]時，各個算法求解8個測試函數時的適應度曲線。

3.3 與其他算法對比

從表3可以看出，當維度是30時，在[f1、f2、f3、f4、f5]這幾個單峰函數測試上，IPSO算法的尋優能力優于其他5個對比算法，并且在[f1、f2、f3、f4]上有著不小提升；在[f6、f7、f8]這幾個多峰函數上， IPSO算法的搜索結果也都是最優秀的，且在函數[f6、f7、f8]上都能尋找到最優解。結合圖3至圖8可以看出，當維度是60維時，相比于其余5種算法，IPSO算法在每一個測試函數上性能依舊都是最優的。IPSO算法在[f6、f7、f8]這幾個函數上尋得最優值的同時，收斂速度也更快，收斂性也更好。當維度是100維時，多峰函數的局部極小值會隨著維度的增加而增加，相應的求解難度也會增加，但IPSO算法仍然在這六種算法中保持著最佳的尋優能力。從表3數據看，無論是對比平均值還是標準差，IPSO算法都證明了其優秀的求解能力和較強的穩定性，再結合仿真圖，不難看出在保證搜索精度的同時，算法也有著很好的收斂性能。

4 結束語

本文針對原始粒子群算法的缺陷，提出一種融合反向學習和黃金正弦的改進粒子群算法。算法利用反向學習策略優化初始種群，引入黃金正弦算法改進位置更新公式，并結合雙面鏡反射理論處理邊界問題，同時，采用柯西變異方法對最優位置進行擾動。通過對八個基準測試函數仿真實驗，證明改進之后的粒子群算法，在面對低維度和較高維度的問題時，其在收斂速度和尋優精度方面都有著良好的性能。在接下來的研究中，可以將改進算法應用在復雜的優化問題當中，擴展本文算法的應用領域。

參考文獻（References）：

[1] 孫毅，張璐，趙洪磊，等.基于動態自適應粒子群算法的非侵入式家居負荷分解方法[J].電網技術，2018，42（6）：1819-1826

[2] Ghazanfar Shahgholian，Hamidreza Hamidpour，Amir?Movahedi. Transient Stability Promotion by FACTS Controller Based on Adaptive Inertia Weight Particle Swarm Optimization Method[J]. Advances in Electrical and Electronic Engineering，2018，16（1）

[3] 蘇攀，張偉.混沌映射的禁忌同步隨機學習因子粒子群算法[J].小型微型計算機系統，2022，43（8）：1675-1680

[4] Yanni Zou，Peter X. Liu，ChunshengYang，ChunquanLi，Qiangqiang Cheng. Collision detection for virtual environment using particle swarm optimization with adaptive cauchy mutation[J]. Cluster Computing，2017，20（2）

[5] 梁田，曹德欣.基于萊維飛行的改進簡化粒子群算法[J].計算機工程與應用，2021，57（20）：188-196

[6] Lu Jianzhang，Zhang Zhihao. An Improved Simulated Annealing Particle Swarm Optimization Algorithm for Path Planning of Mobile Robots Using Mutation Particles[J].Wireless Communications and Mobile Computing，2021

[7] Zou Dexuan， Li Zongyan， et al. A new global particle swarm optimization for the economic emission dispatch with or without transmission losses[J]. Energy conversion & management，2017，139

[8] Younas Irfan，Naeem Ameera. Optimization of sensor selection problem in IoT systems using opposition-based learning in many-objective evolutionary algorithms[J]. Computers and Electrical Engineering，2022，97

[9] TANYILDIZI Erkan. A novel optimization method for solving constrained and unconstrained problems： modified Golden Sine Algorithm[J]. Turkish journal of electrical engineering & computer sciences，2018，26（6）.

[10] TANYILDIZI E，DEMIR， G. Golden Sine Algorithm： A Novel Math-Inspired Algorithm[J].Advances in Electrical and Computer Engineering，2017，17（2）

[11] Wen-xiang Wang， Kang-shun Li， Xing-zhen Tao， Fa-hui Gu. An improved MOEA/D algorithm with an adaptive evolutionary strategy[J]. Information Sciences，2020，539

[12] 郭振洲，王平，馬云峰，等.基于自適應權重和柯西變異的鯨魚優化算法[J].微電子學與計算機，2017，34（9）：20-25

[13] 李二超，高振磊.改進粒子速度和位置更新公式的粒子群優化算法[J].南京師大學報（自然科學版），2022，45（1）：118-126

[14] 張鈺，王蕾，周紅標，等.基于競爭學習的粒子群優化算法設計及應用[J].計算機測量與控制，2021，29（8）：182-189

[15] 閆群民，馬瑞卿，馬永翔，等.一種自適應模擬退火粒子群優化算法[J].西安電子科技大學，2021，48（4）：120-127

[16] 張津源，張軍，季偉東，等.具備自糾正和逐維學習能力的粒子群算法[J].小型微型計算機系統，2021，42（5）：919-926

*基金項目：江蘇師范大學2022年度研究生科研與實踐創新計劃項目“一種用于熱電聯產動態經濟調度的改進粒子群算法研究”（2022XKT0186）

作者簡介：張慧峰（1999-），男，江蘇省鹽城市人，碩士研究生，主要研究方向：群體智能優化算法。

通訊作者：鄒德旋（1982-），男，遼寧省大連市人，副教授，碩士研究生導師，主要研究方向：數字圖像處理、最優化的算法研究。