形似質異難辨析 物含妙理總堪尋
——例談電磁感應現象中的安培力做功問題

許冬保

(江西省九江第一中學)

在電磁感應現象中,存在著發電機中的電動機效應以及電動機中的發電機效應,這涉及對發電機模型及電動機模型的建構與認知。其中,安培力做功問題,在學生中有著多方面的困惑,發電機與電動機模型形似質異,如何辨析?值得堪尋。

1 發電機模型與電動機模型

在電磁感應現象中,安培力既可以做負功,也可以做正功,前者對應發電機模型,后者對應電動機模型。以下討論直流發電機與直流電動機的簡化模型,分析中不計電磁輻射及導軌自身電阻引起的能量損失。

1.1 直流發電機簡化模型及其分析

如圖1為簡化的直流發電機模型,足夠長的光滑導軌上放有一金屬導體棒,導軌左側連接電阻R,導體棒的電阻為r。閉合開關S,同時給導體棒施加水平向右的恒力作用,使導體棒開始運動,穩定后導體棒以速度v0做勻速運動。在該過程中,安培力做負功,使機械能減少,電能增加。

圖1

1.1.1 微觀分析

金屬導體棒中的載流子為自由電子(以下簡稱電子),設電子的電荷量為e,閉合開關S,達到穩定狀態時,導體棒中的電子隨棒平動的速度為v0,其受到的洛倫茲力為f1=eBv0,方向如圖2所示。在f1作用下,電子相對導體棒定向移動,設移動速率為vy,則以該速率運動的電子也受到洛倫茲力f2=eBvy作用,方向與v0方向相反。

圖2

圖2表明:電子受到兩個洛倫茲力作用。其中,f1做正功,在一段極短時間Δt內,有W1=f1vyΔt=eBvyv0Δt;f2做負功,在相同的一段極短時間Δt內,有W2=-f2v0Δt=-eBvyv0Δt。可見,W1+W2=0,即洛倫茲力的兩個分力做功的代數和為零。因此,f1、f2的合力f的方向與v0、vy的合速度v的方向一定相互垂直。

由于導體棒兩端有電荷積累,因此,導體棒就相當于一個電源。設ab兩端電壓為U,導體棒有效長度為l,若棒中正離子對電子的平均阻力為f0,則由平衡條件,有

1.1.2 宏觀分析

如上所述,f1使電子相對導體棒定向遷移,宏觀上表現為“非靜電力”作用,導體棒相當于電源,將電子由棒的a端移到b端,非靜電力所做的功為W非=eBv0·l,由電動勢的定義,有

該電動勢即為動生電動勢,所得結果與微觀分析一致。

1.2 直流電動機簡化模型及其分析

圖3

1.2.1 微觀分析

圖4

設導體棒ab兩端電壓為U,導體棒有效長度為l,棒中正離子對電子的平均阻力為f0,則由平衡條件,有

1.2.2 宏觀分析

“反電動勢”反映電動機中的發電機效應,所得結果與微觀分析一致。

2 問題分析

關于發電機與電動機的教學要求,《普通高中物理課程標準》(簡稱“課標”)指出:“了解發電機和電動機工作過程中的能量轉化。認識電磁學在人類生活和社會發展中的作用”。對于反電動勢,“課標”未作要求,教材上的介紹比較簡潔。有鑒于此,以下實例主要是對直流發電機模型進行分析。

2.1 直流發電機模型(單棒運動)

【例1】如圖5,固定于水平面的U形導線框處于豎直向下的勻強磁場中,金屬直導線MN在與其垂直的水平恒力F作用下,在導線框上以速度v做勻速運動,速度v與恒力F方向相同;導線MN始終與導線框形成閉合電路。已知導線MN電阻為R,其長度L恰好等于平行軌道間距,磁場的磁感應強度為B。忽略摩擦阻力和導線框的電阻。

圖5

(1)通過公式推導驗證:在Δt時間內,F對導線MN所做的功W等于電路獲得的電能W電,也等于導線MN中產生的焦耳熱Q;

【解析】(1)金屬直導線MN產生的動生電動勢為E=BLv

導線勻速運動,由平衡條件,有F=F安=ILB

在Δt時間內,外力F對導線所做的功為

W=F·vΔt

即W=ILB·vΔt=BLv·IΔt=BLv·q

電路獲得的電能

W電=qE=IEΔt=IBLv·Δt=BLv·q

可見,F對導線MN做的功等于電路獲得的電能W電

導線MN中產生的熱量

Q=I2RΔt=IΔt·IR=qE=W電

因此,電路獲得的電能W電等于導線MN中產生的焦耳熱Q。

(2)由于回路中的電流保持不變,因此,從微觀上分析知,電子相對導線做勻速直線運動。

【評述】導體切割磁感線的運動可以從宏觀和微觀兩個視角來認識。根據能量守恒定律可知,克服安培力所做的功等于電路獲得的電能。對于純電阻電路,電能全部轉化為焦耳熱。關于電子定向運動中受到的平均阻力還可以由能量、動量觀點來處理。

2.2 直流發電機模型(雙棒運動)

【例2】如圖6,在兩光滑水平金屬導軌上靜止放置a、b兩根導體棒,整個裝置處于豎直向下的勻強磁場中。用水平恒力F拉動a棒,在運動過程中,a、b棒始終與導軌接觸良好,若不計導軌電阻。下列說法正確的是

圖6

( )

A.拉力F做的功等于a、b棒增加的動能與a、b棒中產生的焦耳熱之和

B.安培力對b做的功等于b棒增加的動能與b棒中產生的焦耳熱之和

C.安培力對a、b棒做功的代數和的絕對值小于a、b棒中產生的焦耳熱之和

D.a棒克服安培力做功等于b棒增加的動能與a、b棒中產生的焦耳熱之和

【解析】在拉力F作用下,a棒產生動生電動勢,閉合電路中形成逆時針方向的感應電流。a棒所受安培力FBa方向與F反向,水平向左;b棒所受安培力FBb方向水平向右。研究a、b棒組成的系統,某一時刻,由功能關系,有WF=Eka+Ekb+Qa+Qb。式中,Eka、Ekb分別為某一時刻a、b棒的動能;Qa、Qb分別為該過程a、b棒產生的焦耳熱。設安培力在一段時間內,對a、b棒做的功分別為Wa、Wb。對b棒,安培力FBb做正功,由動能定理,有Wb=Ekb。對a棒,安培力FBa做負功,由動能定理,有WF+Wa=Eka。安培力對a、b棒做功的代數和Wa+Wb=-(Qa+Qb),即|Wa+Wb|=Qa+Qb。因此,a棒克服安培力做的功|Wa|=WF-Eka=Ekb+Qa+Qb。綜上,正確選項為AD。

2.3 直流發電機模型(動生電動勢與感生電動勢并存)

【例3】如圖7,兩根平行金屬導軌固定在水平桌面上,每根導軌單位長度的電阻為r0,導軌的端點P、Q用電阻可以忽略的導線相連,兩導軌間的距離l。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面,已知磁感應強度B與時間t的關系為B=kt,比例系數k為常量(k>0)。一電阻不計的金屬桿可在導軌上無摩擦地滑動,在滑動過程中保持與導軌垂直。在t=0時刻,金屬桿緊靠在P、Q端,在外力作用下,桿以恒定的速度v從靜止開始向導軌的另一端滑動,求經過時間t克服安培力所做的功及回路產生的焦耳熱。

圖7

【解析】分析可知,無論磁場方向是垂直紙面向里,還是向外,動生電動勢與感生電動勢的方向總是相同的。

設回路中的總電動勢為E,經過時間t,金屬桿與初始位置的距離L=vt,此時桿與導軌構成的回路的面積S=Ll,相應的總電阻R=2Lr0

由法拉第電磁感應定律,有

作用于桿的安培力F=BlI

【評述】該題中克服安培力所做的功等于回路中產生的焦耳熱的一半。其原因是,安培力做功與感生電動勢的存在與否無關,只與動生電動勢有關。

2.4 直流發電機模型(含有電容器元件)

【例4】足夠長的光滑平行金屬導軌固定在絕緣水平面上,導軌左端連接電容為C的電容器,導軌間距為l,磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場穿過導軌所在平面。一質量為m的導體棒垂直靜置在導軌上,如圖8所示。t=0時刻導體棒在水平拉力作用下從靜止開始向右運動,電容器兩極板間電勢差U隨時間t變化的圖像如圖9所示,不計導軌及導體棒電阻,則

圖8

圖9

( )

【評述】克服安培力做功,使其他形式的能量減少,電容器儲存的電場能增加。若回路存在電阻,則還會產生焦耳熱。關于電場能也可以按以下方法來處理。

2.5 直流電動機模型

【例5】如圖10,電源的電動勢為1.50 V,內電阻0.50 Ω;金屬導軌間距0.50 m,導體AB桿電阻為0.10 Ω,導軌的電阻不計。磁感應強度為0.50 T,金屬導軌對AB桿的滑動摩擦力大小為0.25 N。解答以下問題:

圖10

(1)分析一下,當開關S閉合后,會發生哪些電磁現象;

(2)當AB桿的速度達到穩定時(即速度最大時),電路中的電流多大;

(3)AB桿的最大速度;

(4)穩定狀態時電源消耗的電能轉化為什么形式的能?通過計算驗證一下:能的轉化是否符合守恒定律。

【解析】(1)當開關S閉合后,會發生如下一些電磁現象:其一是閉合電路中的電流在周圍空間激發磁場;其二是AB桿通電在磁場中受到安培力作用,其方向水平向右;其三是當AB桿開始運動后,因切割磁感線而在其上產生動生電動勢,它的方向與AB桿中電流的方向相反。

因此,可得

(4)穩定狀態時電源消耗的電能一部分轉化為電路中的內能,使電阻發熱;另一部分通過導體克服摩擦力作功轉化為內能。注意這時AB桿速度達到穩定,導體AB桿的動能無變化。

電源消耗的功率

P=IE=1.00×1.50 W=1.50 W

AB桿克服摩擦力做功而消耗的功率

P′=Ff·v=0.25×3.60 W=0.90 W

電路中電阻上消耗的功率為

P熱=I2(R+r)=1.002×(0.10+0.50)W=0.60 W

根據計算可知,P=P′+P熱,符合能的轉化與守恒定律。

【評述】該例源于早期人教社出版的甲種本物理教材第三冊上的習題。從解析中可以發現,該題重視物理現象的分析,強化基礎知識的理解,凸顯思維方法的應用,滲透能量觀念分析問題。今天看來仍具有重要的價值,與物理核心素養的理念是一脈相承的。安培力做功的功率即安培力做功的快慢,本例題在穩定狀態時安培力做功的功率等于克服摩擦力做功的功率;若考查從初始狀態至穩定狀態的過程,則安培力所做的功等于AB桿增加的機械能及因摩擦產生的內能之和。